多周期企业不确定性的分离与评估

事件强度函数通过Sk（t）=expn连接到生存函数Sk（t）=P（Tk>t-Rtλk（u）duo；有关强度函数的更多详细信息，请参见[28]。除了观察到强度λk（t）是时间的函数外，很自然地，预计包括财务健康、盈利能力、增长前景等在内的特征会影响未来违约的发生。同时，宏观经济状况也会对未来违约产生影响。从预测角度来看，公司特定特征和宏观经济条件也是随机的，这也是造成公司违约预测不确定性的原因之一。因此，充分结合动态特征对于预测违约和评估相关的不确定性水平至关重要。我们在此描述如何将动态特征作为解释协变量信息纳入强度函数。第2.4节将讨论随机协变量的建模和估计。我们用一个随机向量xt=（x1t，…，xpt）t表示，该向量由时间t表示，包含维数p的一般协变量。观察到的协变量过程是x（t，t）={xs:t<s≤ t} 代表来自tto t的可用协变量信息。随后，时间t时公司事件类型k（k=1，…，k）的强度函数，协变量xt以λk（t；xt）为特征。这种不确定性函数根据协变量值对时间t后立即发生的公司违约风险7k事件不确定性的比率（即单位时间的概率）进行建模。通过指出竞争风险事件是相互排斥的，公司在t时的总事件强度（即发生的事情）为λ（t；xt）=PKk=1λk（t；xt）。

我们还将事件类型k的累积强度函数f定义为∧k[t；x（0，t）]=Rtλk（s；xs）ds，（k=1，…，k）。那么聚集的累积强度函数是∧[t；x（0，t）]=PKk=1∧k[t；x（0，t）]。2.2. 参数强度函数及其估计。对于实际应用，通常假设参数强度函数λk（·）（k=1，…，k），以有效分析事件时间数据，并进行有意义的实际解释。在我们的工作中，我们认为时间t时事件类型k的强度函数具有指数加性形式λk（t；xt）=exp（βk0+βk1x1t+····+βkpxpt）。在[20]中，对于公司违约预测，该框架被认为是双重随机的。参数β=（β，…，β1p，…，βK0，…，βKp）未知，需要根据历史违约数据进行估计。因此，与参数估计相关的不确定性导致了故障预测中的不确定性。现在，我们描述了估计强度函数中参数的最大似然（ML）方法。对于每个公司，事件数据的时间用{ti，δi，xi（0，ti）}（i=1，…，n）表示，其中n是公司的数量。这里，如果K个事件中有一个发生，则Ti是公司i的事件时间；如果在数据收集期间没有发生事件，则Ti是最后一次观察时间τ。companyi的事件指示器是δi=（δ1i，…，δKi）T，其中δKi=1，δli=0，如果事件k发生在company i，则l 6=k，δli=0，l=1，K、 如果没有事件，则在最后一次观测时间τ之前，h ap持续。最后，从公司i的起源时间开始观察到的协变量历史表示为xi（0，ti）={xi，s:0<s≤ ti}，xi表示时间s时公司i的协变量。

在本次调查中，我们考虑以下K=2类事件，即公司违约（K=1）或因其他事件退出市场（K=2）。我们注意到，给定一家公司的协变量历史x（0，T），ran DOM变量T的累积分布函数（cdf）为FT（T）=P（T≤ t） =1- e-RtPk=1λk（s；xs）ds=1- e-∧[t；x（0，t）]。时间到事件类型k的临界cd f表示为Tk，为FTk（t）=1-e-Rtλk（s；xs）ds=1-e-∧k[t；x（0，t）]。Tkis fTk（t）=λk（t；xt）e的概率密度函数（pdf）-∧k[t；x（0，t）]。为了区分不同类型的观察事件，让k、 k=1，2为事件指示器。也就是说，= 1.= 0如果是默认值，= 0, = 1如果由于其他原因而存在，以及= = 如果在数据集中最近的观测时间（表示为8 M.YUAN、C.Y.TANG、Y.HONG和J.YANGbyτ）未发生任何事件，则为0。由于存在两种类型的竞争风险，因此，公司事件的观测时间为T=min（T，T）。k型事件导致的故障概率分数isFk（t）=Pr（t≤ t，k=1）=Pr（Tk≤ t、 Tl>Tk；对于所有l 6=k）=ZtfTk（tk）Yl6=k[1- FTl（tk）]dtk=Ztλk（s；xs）e-∧[s；x（0，s）]ds。给定协变量过程xi，tiat Tian和协变量历史xi（0，ti）（i=1，····，n）的事件时间或最后观察时间ti’s的联合可能性然后由t（β|数据）=nYi=1Yk=1nλk（ti；xi，ti）e给出-∧[ti；xi（0，ti）]oδki！×ne-∧[ti；xi（0，ti）]oQk=1（1-δki）,（2.1）式中，λk（t；xt）与公司在时间t和t+dt之间发生k类事件的可能性成正比，其中dt是时间的极小值，e-∧[t；x（0，t）]给出了观察公司生存时间t的可能性。然后通过最大化（2.1）中事件时间的联合可能性来估计参数β。实际上，公司i的协变量历史xi（0，ti）只能离散地观察到。

因此，事件类型k（即Rtiλk（s；xi，s）ds）的强度函数的积分可以通过离散化来近似。我们注意到，与参数估计相关的不确定性通常可以通过反转观测到的Fisher信息矩阵，使用标准误差进行量化。在文献中，这类标准误差通常被报告为不确定度水平的度量。然而，仅考虑参数估计中的不确定性还不足以评估与多周期公司预测相关的不确定性。原因是参数估计过程是一个静态的过程，条件是协变量过程，因此它无法在协变量过程中纳入任何未来的动态。2.3. 协变量过程和离散时间观测。一方面，强度函数的定义是连续时间的函数。另一方面，用于建模强度函数的协变量只能在离散时间点的网格上观察到。因此，生存函数（与强度函数的积分相关）通常是公司违约风险9中的不确定性，通过将强度函数在两个相邻观察时间之间取为分段常数来近似。这种近似实际上是将强度函数建模为具有logit或其他Link函数的多周期二元响应变量回归分析；例如，参见[42]和[20]。此外，使用logistic回归方法的一个提前期违约预测也可以看作是强度函数逐段常数近似的结果；参见[24]和[9]的研究。

显然，两次观测之间的时间间隔越长，近似值的精度越差，使用logistic回归类型的应用程序进行预测的精度也越差。因此，多期公司违约预测需要对未来动态做出更准确的解释；参见【20】和【16】。在构建我们的程序时，协变量过程的动力学显然在公司违约预测中起着重要作用。例如，[20]的多周期近似依赖于协变量过程的简约高维向量自回归时间序列模型，需要对未来动力学的积分进行数值近似，以评估多周期未来公司违约概率。本研究中的高维向量时间序列模型包含一个自回归分量，用于捕获条件均值函数中的预测信息。自回归结构是一种基准结构，在时间序列分析中有着广泛的应用；参见专著【44】、【21】和【45】中的概述。为了进一步利用协变量之间的系统/结构动力学，我们进一步将向量时间序列的创新与动态因子模型相结合，该模型将系统因子分量和非同步分量的贡献分离开来。在统计学和金融计量经济学中，动态因素模型有利于其节约，并已在广泛领域证明了其良好的预测性能；有关概述，请参见专著[21]。在信用风险建模文献中，动态因素模型已经得到了有效的证明，并有许多成功的应用。

其中，例如，动态因子模型与[31]中带有参数基线风险的强度函数模型一起应用于信用评级转换，结合了动态失效，以解释违约之间的依赖关系。[32]调查不同部门和集团公司违约之间的动态脆弱性相关性，并验证潜在动态因素的影响。通过对潜在因素进行有吸引力的实际解释，如宏观、行业、区域因素等的影响，动态模型能够为评估违约风险带来1000万元、唐建勇、洪永康和杨家强等多方面的贡献。[33]考虑纳入多种影响的动态因素模型，用于2008年cr编辑危机的默认计数建模。最近，[41]调查了涉及多个国家的全球cr编辑风险，并展示了国家和行业因素的影响。动态因子模型的一个吸引人的特点是其方便的不计算。对于高斯模型，可以方便地应用卡尔曼滤波器，我们的动态因子模型就是这样。卡尔曼滤波器还能够处理丢失数据和混合频率数据；有关使用混合频率数据进行预测的最新调查，请参见【11】。当其他非高斯观测值与动态模型结合时，基于重要性抽样的技术被证明可用于估计。例如，默认计数数据与[30]、[32]和[41]的动态因子模型中的其他协变量一起处理。我们的协变量过程建模的主要目标是结合自回归和动态因素结构，在个体企业层面上预测公司违约的动态。

我们的方法将协变量模型与第2.1节中概述的动态强度函数模型相结合，并在此基础上进行多期公司违约预测。在这里，我们的目标是在企业层面预测企业的违约率，这与现有研究中预测的违约率不同，例如，[32]、[33]、[41]。从计算上来说，这显然是一个更为苛刻的目标。因此，在这种情况下，利用潜在动态因素的影响和益处显然是可取的。使用公司违约预测建模设备的OUR方法有一些新的方法学特征，符合他们自己的兴趣。首先，利用潜在因素对公司违约的系统贡献，结合动态函数中的自回归结构，捕捉预测公司违约的动态。其次，协变量过程和默认机制的分离处理允许使用动态因子模型对单个企业进行多周期预测的可行性和便利性——当从数千家企业中提取高维时间序列时，只涉及计算效率更高的卡尔曼滤波器。2.4. 参数随机协变量过程及其估计。我们现在描述我们框架中考虑的协变量过程的参数模型。具体而言，我们用Xt表示，t=1，τ所观察到的协变量过程，包括所有公司的具体协变量和时间t时的宏观经济协变量。公司违约风险的具体和宏观不确定性11经济协变量，作为公司资产负债率和杠杆率的有效反映，并利用国家经济状况指标对违约风险进行建模。

受【20】的启发，我们将重点放在两个特定的公司变量上，即公司iat时间t的违约距离（Di，t）和后续一年期股票对数回报率（Vi，t）。在这里，违约距离【37】是公司信贷风险分析中的一个经典衡量标准，尤其是从结构模型的角度来看。粗略地说，违约距离定义为年度资产增长的标准差数，其中对数资产水平超过了企业的长期负债。在[37]的经典模型中，公司的条件违约概率完全由其违约距离决定。在我们的研究中，我们使用了根据【16】中提出的方法计算的默认距离。对于宏观经济变量，我们选择标准普尔500指数（St）的后续一年收益率和三个月国债利率（rt）。因此，我们有Xt=（DTt，VTt，rt，St）T，T=1，···，τ，其中Dt=（D1，T，…，Dn，T）T，Vt=（V1，T，…，Vn，T）T，τ是时间点的总数。也就是说，x是m×1向量，其中m=2n+2，n是公司数量。在我们研究的数据集中，obs er vations每月可用。为了调整时间序列中明显的季度季节性影响，我们采用了顺序3的差异，并得出了一个新的m-d指数向量时间序列Xt=Xt+3- Xt（t=1，…，τ′），其中τ′=τ-3、XT的动力学建模是违约预测和评估相关不确定性水平中最具挑战性的任务，因为XTI的维数非常高。以美国市场为例，自1990年以来，公司总数已超过10000家。

此外，在一个活跃的市场中，新公司几乎不断形成，而许多现有公司由于各种原因退出市场，导致时间序列的观察结果极不平衡，即X中组件的起始时间和结束时间不同，在一段时间内可能会丢失数据。此外，XT中组件的行为以一些复杂的方式相互关联。因此，对高维时间序列进行联合建模变得非常重要，而进一步的专门工作对于开发参数估计方法和评估相关的不确定性水平也是必要的。我们考虑了一个具有两个关键成分的高精度时间序列模型f或Xt，具体用于默认预测：a）给定先验观测值的Xt条件均值中的均值回复自回归结构，以及b）用于创新的动态因子模型，以捕捉Xt中各成分之间的相关性。我们参考文献[44]作为对向量值时间序列建模的介绍，并参考文献[39]和文献[34]了解最近的发展12 M.YUAN、C.Y.TANG、Y.HONG和J.YANGof多元时间序列因子模型。具体而言，条件平均模型是【20】：Xt中考虑的模型的修改版本- u=Θ（Xt-1.- u）+εt，t=2，τ′.（2.2）模型（2.2）是一个向量自回归模型，主要用于捕捉条件依赖性和所有协变量的均值回复效应。系数矩阵Θ按照[20]asΘ以节约的方式设计=κD0 b 00κV0 00 0κr0 0 0κS,式中，κD=κDIn，κV=κVIn，b=b1n。Inis是一个n×n恒等式m矩阵，1nis是一个n维向量，其所有元素的值为1。在此，我们将平均回复向量定义为κ=（κD，κV，κr，κs，b）T。

前四个元素κD、κV、κr、κsofκ捕获了四个选定协变量过程的均值回复效应。当前违约距离由之前价值的均值回复和国债利率偏离的影响共同建模-1从上一个月的平均值到参数b。为了进一步捕捉X中各成分之间的序列和横截面相关性，我们建议对新息向量εt应用以下动态因子模型（DFM）：εt=∧Ft+et，（2.3）Ft=AFt-1+ηt，t=2，τ′（2.4），其中潜在因子fti是一个q×1向量，遵循一个阶数为1的自回归过程（即VAR（1））。主成分分析（PCA）是因子模型结构的一种便捷工具（2.3）；例如，参见[43]。（2.4）引入的动态因素结构在众多信用风险建模中显示了其优点；参见2.3中的讨论。状态空间方法【21】便于处理（2.3）和（2.4）中的模型设置。这里，对于某些正有限矩阵Q，ηt被假设为独立且相同分布（iid）的N（0，Q）正态随机向量。这里∧是因子载荷的m×Q矩阵，是自回归系数的isa Q×Q矩阵。随机向量ηtandetare是独立的正态随机向量。Etis的协方差m矩阵被认为是对角矩阵P。在这里，公司违约风险13中具有加载∧不确定性的因子模型非常节约，因为公因子q的数量通常非常小，这大大减少了εT协方差m矩阵中的参数数量。正如我们的数据分析中所示，使用[3]中的方法选择q=2的因子数。