多周期企业不确定性的分离与评估

在动态因素模型的推动下，协变量过程的未来动态可以有效地纳入违约预测和不确定性评估中。我们用θx={u，Θ，∧，A，P，Q}表示经济变量过程中的所有参数。我们开发了一种期望最大化（EM）算法，用于估计（2.3）和（2.4）规定的动态因子模型中的参数，其详细信息在补充材料中给出。特别是，ourEM算法在这个具有高维时间序列和高度不平衡观测的大规模p问题中有效地结合了隐藏因子FTI。在我们的E-M算法中，E-step和M-step都可以方便地执行，以便于实际实现。最值得注意的是，EM算法中的矩阵求逆只涉及sizeq×q的矩阵求逆，这使得它对于这种大规模的违约预测问题具有最高的计算效率和可行性。预测和不确定性评估s.3.1。未来默认预测程序。在我们的研究中，根据现有信息预测未来的公司违约概率是关键目标。

对于不同级别的利益，如评估信贷风险的总体水平，可能还需要预测整个市场体系和某些市场部门的违约总金额。让我们从单个公司违约预测的方法开始，然后是聚合违约预测的方法。根据第2.2节和第2.4节中描述的强度模型和协变量模型，在最后一次观测时间τ之后的s时间单位内，i公司的未来违约概率为，ρi（s；θ）=E{Pr[τ<Ti≤ τ+s，= 1 | T>τ]| Fτ}=EZτ+sτλ（t；xi，t）exp(-{∧[t；xi（0，t）]- ∧[τ；xi（0，τ）]}）dtFτ,（3.1）其中θ=（θTT，θTx）T包含协变量模型θx的参数和事件时间模型θT的参数。在这里，期望被理解为对时间τ之前的信息的条件，用Fτ表示，以及= 1表示它是默认的兴趣概率，因此相应的强度函数λ（·）和累积危险函数为14 M.YUAN、C.Y.TANG、Y.HONG和J.Yang（3.1）。我们注意到ρi（s；θ）是一个子分布函数，因为ρi(∞; θ） <1取决于是否存在其他类型的比赛项目。由于没有简单的解析表达式f或（3.1）中的期望，我们使用蒙特卡罗模拟方法来计算ρi（s；θ）。以下算法用于计算^ρi（s；bθ），估计bθ来自第2.2节和第2.4节所述的方法。算法1:1。模拟X*（τ′，τ′+s），即第2.4.2节规定的所有具体和宏观经济协变量分布X（τ′，τ′+s）| Xτ′的未来差异协变量过程。

通过反转微分算子，模拟的协变量过程由X表示*（0，τ+s）由组合差分数据X重新构造*（0，τ′+s）={X（0，τ′），X*（τ′，τ′+s）}，其中X（0，τ′）和X*（τ′，τ′+s）分别为历史数据和模拟未来数据。3、对于每个公司i，数值计算ρ*i（s；bθ）=Zτ+sτλ（t；x*i、 t）经验值(-{∧[t；x*i（0，t）]- ∧[τ；xi（0，τ）]}）dt。4、重复步骤1-3 M次以获得ρ*mi（s；bθ），m=1，···，m，其中m是预先规定的模拟复制次数。ρi（s；θ）的预测由ρi（s；bθ）=M得出-1PMm=1ρ*mi（s；bθ）。在算法1的第一步中，为了预测差异协变量过程，我们计算s=1、2、·ετ′+s=b∧bFτ′+s+^eτ′+s和Xτ′+s=^u+bΘXτ′+s的以下值-1+～ετ′+s，其中bfτ′+s根据bfm预测，eτ′+s根据N（0，bP）预测。对于利息市场覆盖范围内违约总数的预测点，设Ns为最后一个观察时间τ后的累计违约数，RS（t）为t时存在违约风险的利息集合公司。如下所示，Ns=Pi∈RS（τ）Ii（s）和Ii（s）~ 伯努利[ρi（s；θ）]。点预测forNsisbNs=Pi∈RS（τ）ρi（s；bθ）。虽然ρi（s）的点预测和NSA都是衡量实际违约风险的信息，但它们并没有反映我们之前讨论过的预测的不确定性。在下文中，我们描述了如何评估与预测相关的不确定性。公司违约风险的不确定性153.2。评估总体层面的不确定性。预测区间（PI）用于量化未来随机量预测中的不确定性。设Ns为未来某一点的累计事件数。A100（1- α） NSI定义为Pr的PI百分比国家科学基金会≤ Ns系列≤fNs公司= 1.- α.

为了评估与预测违约次数相关的不确定性，自然选择是提供一个由HNSF、fNsi表示的PI。通过求解FNs（Nsf；bθ）=α和FNs（FNs；bθ）=1，可以获得用于此目的的原始（插件）PI-α.（3.2）这里FNs（ns；θ），ns=0，1，·····，n′是NSCDF，其中n′是RS（τ）中的公司数，1- α是期望的覆盖概率。注意，NSI是非同分布的Bernou lli随机变量之和。FNs（ns；θ）的显式形式是FNs（ns；θ）=n′+1n′Xl=0（1- 经验值[-iωl（ns+1）]1- 经验值(-iωl）Yi∈卢比【1】- ρi（s；θ）+ρi（s；θ）exp（iωl）]，（3.3），其中i=√-1和ω=2π/（n′+1）。（3.3）中的cdf来自Ns特征函数的adiscrete Fourier变换，可以将其视为具有同质违约概率的公司集合的二项分布的推广。有关计算FNs（ns；θ）的推导和有效实现的更多详细信息，请参阅[25]。或者，可以使用一些近似方法，例如普通法线近似或带二阶校正的法线近似（例如，[47]）。（3.2）中的PI忽略了不确定性inbθ。因此，覆盖概率通常小于标称1- α水平。可以校准这些PI以提高覆盖概率。我们将使用参数引导的重采样方法进行校准。使用[35]中的预测分布，100（1-α） Ns的%PI，表示为yhnsf，fNsi，由nsf=vα/2和fns=v1获得-α/2.（3.4）这里vα是随机变量N的α下分位数*由分布FNs（·；bθ）指定的S，在w中，Hθ也被视为随机变量。实际上，可以通过模拟计算出16 M.YUAN、C.Y.TANG、Y.HONG和J.YANGvα。也就是说，vα近似于N的α样本分位数*bs，b=1，···，b。

具体而言，我们获得N*bsfromFNs（ns；bθ*b） 给定nbθ*b=（bθ*bTT，bθ*bTx）T，其中bθ*从n（bθT，∑bθT）和bθ模拟bt*Bx由模拟的协变量过程估计。基于参数引导的仿真过程如下所示。算法2:1。模拟不同的协变量过程X*（1，τ′）来自模型（2.2），（2.3）和（2.4），带bθ。对于每家公司，保留第一个月的差异观测值，我们不会推断原始数据集中没有观测值的任何时期。2、重新估计协变量模型Bθ中的参数*X基于通过附录中EM算法模拟的过程。3、随机抽取Bθ样本*T根据其渐近分布N（bθT，∑bθT），其中bθ和∑bθ皮重根据第2.2.4节中的方法根据观测数据进行估计。使用模拟数据X*（1，τ′）和新的参数估计SBθ*= （bθ*TT，bθ*Tx）T，算法1用于预测违约概率ρ*i（s；bθ）*), i=1，···，n.5。随机抽取样本N*S从其分布（3.3）与参数值Bθ*.6、重复步骤1至5 B次以获得N*bs，b=1，···，b.7。100（1-α） NsisnN的校准PI百分比*（[（α/2）B）]s，N*([(1-α/2）B]），其中N*（·）sis是N的订购版本*bsand[·]是第二个函数。上述算法和下一节中的算法的基本原理是纳入前面讨论的所有不确定性来源，即来自随机默认机制、随机协变量过程和参数估计程序的不确定性来源。3.3. 评估公司违约概率的不确定性。通过应用算法1，可以预测单个公司的多重提前违约概率，以评估未来违约风险。显然，所有不确定性来源都在点违约概率估计中起作用。

例如，最终点预测是一系列可能违约概率的平均值，这些重新生成的违约概率之间的不同变化水平反映了与点违约概率预测相关的不同程度的不确定性。为了反映与违约概率预测相关的不确定性水平，我们建议根据存在风险的公司的历史数据，在公司违约风险17VAL中构建校准的预测不确定性，包括所有不确定性来源。构建预测区间的过程基于大规模参数引导，类似于f或聚合默认预测。具体而言，为了将不确定性纳入参数估计，在每次重采样迭代中，我们首先模拟已确定协变量模型的不同过程，并使用模拟数据估计参数。为了考虑与事件时间模型参数估计相关的不确定性，我们从估计的联合渐近分布重新生成模型参数。最后，我们用重新估计的p参数模拟了历史数据中最后一次观察到的协变量过程的多期提前值。然后，对于每一个重抽样程序的应用和每一个有风险的公司，都可以得到一个多周期的提前违约概率。通过多次重复该过程，我们获得了预测违约概率的分布，并相应地构造了预测区间。更具体地说，我们有以下算法。算法3:1。模拟不同的协变量过程X*（1，τ′）来自模型（2.2），（2.3）和（2.4），带bθ。

对于每家公司，保留第一个月的差异观测值，我们不会推断原始数据集中没有观测值的任何时期。2、重新估计协变量模型Bθ中的参数*X基于通过附录中EM算法模拟的过程。3、随机抽取Bθ样本*T根据其渐近分布N（bθT，∑bθT），其中bθ和∑bθ皮重根据第2.2.4节中的方法根据观测数据进行估计。使用模拟数据X*（1，τ′）和新的ML估计SBθ*=（bθ*TT，bθ*Tx）T，算法1用于预测违约概率ρ*i（s；bθ）*), i=1，···，n.5。重复步骤1至4 B次以获得ρ*bi（s），b=1，···，b.6。100（1-α） 最后一次观测时间后s时间单位第i家公司违约概率f的%PIτisnρ*（[（α/2）B）]i（s），ρ*([(1-α/2）B）i（s）o，其中ρ*（·）i（s）是ρ的有序版本*bi（s）和[·]是圆函数。4、美国公司违约数据分析。18 M.YUAN、C.Y.TANG、Y.HONG和J.YANG4.1。数据概述。我们现在举例说明我们的预测框架在一个包含1990年1月至2009年11月观察结果的美国公司数据集上的应用。该数据集包含美国（US）公共企业的违约和其他creditevents信息，以及来自CRSP（即证券价格研究中心）数据库的股票市场数据和来自Compustat数据库的会计数据。整个数据集有大约12000家美国公司和超过1000000家公司的月度观察结果。由于我们的资源有限，很难处理整个数据集，而且可能需要很长时间，因为我们需要执行合理数量的重复研究以进行验证和评估。因此，我们选择了三个行业部门的数据子集——电子产品制造商、控股和投资办公室以及商业服务部门。

这三个工业部门拥有3271家美国市场公司，并经历了大量违约。具体而言，从1990年1月到2009年10月，在3271家上市公司中，164家违约，2049家因其他原因退出，使得1058家公司在2009年11月面临风险。数据集中提供了事件发生时间信息，该信息根据事件的发生时间及其类型来确定它是默认事件还是由于其他原因导致的退出。对于企业特定协变量，我们根据第2.4节中的讨论，考虑每家公司的违约距离（Dt）和后续一年股票回报率（Vt）。为了考虑宏观经济状况，我们还考虑了标普500指数后续一年期收益率（St）和三个月期国债b利率（rt）的月度数据作为协变量。4.2. 模型估计。通过使用第2.4节中描述的协变量，应用第2.2节中介绍的比例风险模型，默认和其他出口强度函数由λk（t；xt）=exp表示（βk0+βk1Dt+βk2Vt+βk3rt+βk4st，其中k=1，2分别对应于违约和其他退出。我们通过最大化第2.2节所述的对数似然函数来估计事件时间模型中的参数。通过反转观测信息矩阵来计算ML估计的标准误差。点估计和95%置信区间基于渐近否rmality在表1中给出。从表1中，我们看到负的^β，但正的^β，这表明较低的风险与较大的违约距离值相关，但在这种情况下，由于其他原因，该公司与较高的退出市场变化相关。

负的^β和^β表明，较高的股票回报率意味着违约和其他形式的退出风险较低，这可能是因为后续一年的股票回报率是公司在公司违约风险19中确定性的一个重要指标。表1ML基于1990年1月至2008年12月数据的参数估计及其渐近标准误差。默认其他ExitsPara。美国东部时间。SE95%西帕拉。美国东部时间。SE95%功率上下上β-6.9126 0.2018-7.3081-6.5171β-5.2646 0.0666-5.3950-5.1341β-0.6803 0.0867-0.8502-0.5105β0.0504 0.0084 0.0339 0.0669β-1.1467 0.0646-1.2734-1.0200β-0.3295 0.0401-0.4081-0.2509β-0.3091 0.0542-0.4153-0.2028β-0.048 50 0.0160-0.0763-0.0137β1.9431 0.3974 1.1642 2.7219β-0.0839 0.1404-0.3590 0.1913稳定性。至于宏观经济变量的影响，负β和β表明，三个月期国债利率的提高表明，无论是违约还是其他退出，风险都会降低，这表明了整体经济环境对信贷事件的影响。至于标准普尔500指数的后续一年收益率对控制其他协变量水平的影响，其价值的增加与较高的违约风险相关，但其对其他退出的影响在统计上并不显著。负面影响可能是由于个人股票收益率与标准普尔500指数之间的相关性；另见【20】中的讨论。为了预测协变量的未来动态，我们采用了第2.4节（2.2）、（2.3）和（2.4）中规定的动态因子模型。为了估计参数，我们采用第2.4节中讨论的EM算法，补充材料中给出了详细信息。（2.2）中的平均回复参数估计为^κ=（0.63766，0.63551，0.89208，0.63546，-0.00714）T估计标准误差（0.0031、0.0049、0.0343、0.0333、0.0176）T。

隐藏因子FTI的向量自回归模型（2.4）中的参数A估计为asbA=0.3734 0.2144-0.0599 0.4803,对于^A、^A、^A和^Awhere^Aijis（A的第i个分量），其输入估计标准误差分别为0.0955、0.1368、0.0364、0.0598。EMalgorithm还返回etin（2.3）的载荷矩阵∧和协方差矩阵P的估计值，其中包含此处省略的许多分量。4.3. 总违约预测和不确定性。在下面的内容中，当我们进行多期预测时，在应用我们的预测框架时，仅使用2000万元以下的原始预测数据，唐C.Y.唐、洪Y.HONG和杨J.YANGof p。对于每个预测期，预测起源后的实际观察到的默认值和协变量过程被保留下来，仅用于随后的验证和评估。例如，1990年1月至2008年12月的观察数据被用来预测2009年一年前的违约风险，以此类推。我们首先考虑2006-2009年期间的四个一年期，并对每个期间的违约总数提前一年进行预测。我们应用第3.2节中的算法2来获得总数的预测间隔。图1总结了结果。具体而言，对于每一年，图1显示了预测的累计违约次数和相关的90%双侧PI。在图1的每个面板中，带点的solidstep图表示每月的实际累计违约数，而s-Solid直线表示预测的平均违约数。从图1中，我们发现，这四年对整体信贷风险水平的预测评估有所不同，例如，2006年的违约预测总数远远小于2007年。这样的观察结果与实际发生的情况非常吻合。