基于数据的非参数分布自动离散化

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英文标题：
《Data-based Automatic Discretization of Nonparametric Distributions》
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作者：
Alexis Akira Toda
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Although using non-Gaussian distributions in economic models has become increasingly popular, currently there is no systematic way for calibrating a discrete distribution from the data without imposing parametric assumptions. This paper proposes a simple nonparametric calibration method based on the Golub-Welsch algorithm for Gaussian quadrature. Application to an optimal portfolio problem suggests that assuming Gaussian instead of nonparametric shocks leads to up to 17% overweighting in the stock portfolio because the investor underestimates the probability of crashes.
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中文摘要：
虽然在经济模型中使用非高斯分布已变得越来越流行，但目前没有一种系统的方法可以在不施加参数假设的情况下从数据中校准离散分布。基于高斯求积的Golub-Welsch算法，提出了一种简单的非参数标定方法。对最优投资组合问题的应用表明，假设高斯冲击而非非非参数冲击会导致股票投资组合中高达17%的权重过高，因为投资者低估了崩溃的概率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Data-based_Automatic_Discretization_of_Nonparametric_Distributions.pdf (203.53 KB)

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关键词：非参数 离散化 distribution Increasingly Quantitative

基于数据的非参数分布自动离散化Alexis Akira Toda*2019年5月13日摘要尽管在经济模型中使用非高斯分布已变得越来越流行，但目前还没有一种系统的方法可以在不施加参数假设的情况下，从数据中校准离散分布。本文基于Golub和Welsch（1969）算法，提出了一种简单的非参数标定方法。对最优投资组合问题的应用表明，假设高斯冲击而非非非参数冲击会导致股票投资组合中高达17%的权重过高，因为投资者低估了崩溃的概率。关键词：校准、离散近似、高斯求积。JEL代码：C63、C65、G11.1简介本文研究应用理论家经常遇到的以下问题。一位研究人员想校准随机模型的参数。其中一个模型输入是冲击的概率分布，它近似于离散分布。出于计算方面的考虑，研究人员希望此分布具有尽可能少的支撑点（节点），例如五个。鉴于冲击数据，研究人员应如何校准这五个点分布的节点和概率？虽然有许多已建立的高斯冲击圆盘重定时过程的方法，如Tauchen（1986）、Tauchen和Hussey（1991）和Rouwenhorst（1995），但非高斯分布的离散化仍然相对未被探索。然而，在经济学中，研究具有非高斯冲击的模型变得越来越普遍。例如，罕见灾害模型（Rietz，1988；Barro，2006；Gabaix，2012）使用s-ra-re但较大的向下跳跃来解释资产定价难题。消除非高斯分布的一个问题是如何校准它们。

如果我们有一个参数密度，可以使用Miller和Rice（1983）中的高斯求积或最大*加州大学圣地亚哥分校经济系。电子邮件：atoda@ucsd.edu.SeeFarmer和Toda（2017）以及其中的参考文献，以进行详细的文献综述。Tanaka和Toda（2013、2015）中的熵方法提供了我们可以计算一些矩的方法。然而，如何在不施加参数假设的情况下获得能很好地逼近数据的N点分布并不明显。因为N点分布的自由度很大（2N- 1） ，提供一种自动离散化方法很有价值，因为它消除了校准的任意性。给出数据后，本文提出了一种简单的方法，用于自动校准具有指定数量网格点的离散分布。该方法基于这样一个观察结果，即使用Golub和Welsch（1969）算法计算具有某些加权函数的N点高斯求积的节点和权重，只需知道2N阶加权函数的矩。将非参数分布离散化的一种自然方法是将2N个样本矩输入Golub-We-lsch算法。由于该方法不涉及优化（这是一个求解稀疏矩阵的特征值/向量的问题），因此实现起来既简单又快速。作为一个应用，我将美国历史股票收益数据离散化，并用恒定的相对风险厌恶效用来解决一个最优投资组合问题。我考虑了投资者使用非参数和高斯分布的两种情况。这就是为什么当投资者错误地相信股票收益率分布是对数正态分布时，股票投资组合的权重会被高估17%，因为他低估了崩溃的可能性。

这些示例表明，校准方法的选择可能会在数量上产生影响。1.1相关文献与我密切相关的是Miller和Rice（1983），他们使用高斯分布来离散分布。虽然他们只考虑参数分布的离散化，但我的重点是从数据估计的非参数分布的离散化。Tanaka和Toda（2013）通过使用最大熵原理匹配矩，考虑了预先分配节点上分布的离散化，Tanaka和Toda（2015）证明了收敛性并得出了误差估计。Farmer和Toda（2017）通过将Tanaka-Toda方法应用于条件分布，对一般非高斯马尔可夫过程的圆盘重定时进行了简化。在其中一个应用中，他们在预先指定的网格上用高斯混合近似非参数密度，从而将其离散化。由于计算高斯分布的节点和权重不需要对参数进行优化（不同于高斯混合参数的最大似然估计或解决最大熵问题），因此我的方法更容易实现，速度更快，网格是内生的。另一方面，Farmer和Toda（2017）方法可以离散一般马尔可夫过程，而本文提出的方法旨在离散单个分布。2离散非参数密度假设非参数密度f（x）已知。

由于随机模型通常涉及期望，我们希望找到节点{xn}Nn=1，权重{wn}Nn=1，即[g（X）]=Z∞-∞g（x）f（x）dx≈NXn=1wng（xn），（2.1），其中g是一般被积函数，X是密度为f（X）的随机变量。（2.1）右侧定义了一个N点求积公式。当（2.1）为事后（即。，≈ 变为=）对于阶数达到toD的所有多项式，我们说求积公式具有精确度D。由于N点求积公式中的fre edom阶数为2N（因为有Nnodes和N个权重），我们不能期望积分超过2N个单项式SF（x）=1，x，x2N型-1正确。当这些单项式的求积公式（2.1）是精确的，或当其精确度为2N时，相等- 我们称之为高斯公式。下面的Golub-Welsch算法提供了计算高斯求积的节点和权重的有效方法。（附录B提供了更多的理论背景。）算法1（Golub和Welsch，1969）。1、选择多个正交节点N∈ N、 2。对于k=0，1，2N，计算密度的k阶矩mk=Rxkf（x）dx。确定矩矩阵M=（Mij）1≤i、 j≤N+1，由Mij=mi+j-2.4. 计算Cholesky分解M=R′R。设R=（rij）1≤i、 j≤N+1.5。定义α=r/r，αn=rn，n+1rnn-注册护士-1，nrn-1，n-1（n=2，…，n）和βn=rn+1，n+1rnn（n=1，…，n- 1). 定义N×N对称性矩阵=αβ0 · · · 0βαβ......0 βα...............βN-10··0βN-1αN. (2.2)6. 计算tn的特征值{xn}Nn=1，以及相关的特征向量{vn}Nn=1。{xn}Nn=1是高斯q值的节点，权重{wn}Nn=1由wn=mvn1/kvnk>0给出，其中vn=（vn1。

，vnn）′。一旦我们计算出节点{xn}Nn=1和权重{wn}Nn=1，我们就可以使用它们作为密度f的离散近似值。请注意，Golub-Welsch算法1的唯一输入是节点数N和密度f的矩mk=Rxkf（x）dx，其中k=0，第2条。因此，如果da ta{xi}Ii=1，对非参数密度进行离散化的一个自然想法就是将s充分的矩输入到GolubWelsch算法1中。总结以上观察结果，我们得到以下基于数据的非参数分布自动离散算法。算法2（无参数分布的自动离散）。1、给定数据{xi}Ii=1和所需的离散点数量N，对于k=0，2N计算第k个样本动量bmk=IIXi=1xki。(2.3)2. 将这些矩{bmk}2Nk=0输入Golub-Welsch算法1，以计算节点{xn}Nn=1和权重{wn}Nn=1。所需的离散化将概率wn分配给点'xn。因为N点高斯求积的精确度为2N- 1，通过构造，N点圆盘重定时匹配数据的样本矩，最大为2N阶- 1（最大数值误差）。由于根据高斯-马尔可夫定理，样本矩（2.3）是总体矩的最佳线性无偏估计量（蓝色），也就是说，bmkha是formPIi=1aixki的所有估计中的最小均方误差，其中{ai}Ii=1是一些权重，因此算法2在某种意义上是最优的。附录A表明，当参数分布不准确时，拟议方法的精度超过了使用参数分布的精度。3应用：最优投资组合问题在本节I中，使用最小经济示例说明拟议方法的有用性。

考虑相对风险规避γ>0的CRRA投资者。假设R>0是股票收益率，Rf>0是总无风险率，θ是投资于股票的财富（投资组合份额）的分数，投资者的最优投资组合问题是maxθ1- γE[（Rθ+Rf（1- θ))1-γ]. （3.1）我从Amit Goyal的电子表格中获得了1927年至2016年期间美国名义股票收益率、无风险利率和NDI的年度数据。对于股票收益，我使用包括股息在内的CRSP成交量加权指数。电子表格位于http://www.hec.unil.ch/agoyal/docs/PredictorData2016.xlsx.Using月度或季度数据给出的结果在质量上相似，但极端程度稍低。将这些返回值转换为实际日志返回值，并将日志无风险率校准为样本平均值。结果为Rf=1.0045。然后，我将算法2应用于log excess returns log R- log Rfto获得一个离散分布，其中节点{xn}Nn=1，权重{wn}Nn=1，其中我选择点数N=5（进一步增加点数不会改变结果）。n状态下的总股票收益率由Rn=Rfe'xn定义，其发生概率为wn。最后，我数值求解了最优投资组合问题（3.1）。图1显示了在γ范围内改变相对风险规避时的结果∈ [1, 7].-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15对数消耗增长直方图非参数高斯（a）直方图和密度。相对风险规避0.51.5非参数高斯（b）最优投资组合。1相对风险规避（c）投资组合错误。图1：超额收益分布和数值解。图1a显示了对数超额收益分布的直方图，以及非参数核密度估值器和高斯分布的最大似然分布。

我们可以看到，直方图和非参数密度有一条与股市崩盘对应的左长尾，而高斯分布忽略了这一点。图e 1b显示了这两个模型的最优投资组合θ。我们可以看到，当投资者错误地认为股票收益率分布是对数正态分布时，他会高估股票投资组合的权重，因为他低估了崩溃的概率。图1c显示了这种超重（投资组合误差）的百分比θG/θNP-1，其中G和NP表示高斯密度和非参数密度。投资组合误差很大，在4-17%的范围内。本文提出了一种简单、自动的非参数分布离散化方法。以资产定价模型和非最优投资组合问题为实验室，我证明了使用非参数分布（如高斯分布）的误差可能很大。一个自然的扩展是考虑无参数冲击的马尔可夫过程的离散化。例如，人们可能会尝试在Tauchen和Hussey（1991）方法中应用核密度估计和高斯求积来离散AR（1）processxt=ρxt-1+εt，其中|ρ|<1和新值{εt}∞t=0是根据某个概率密度函数f独立且相同分布的。然而，众所周知，当持久性ρ中等偏高时，Tauchen-Hussey方法并不准确（Flod\'en，2008）。

使用Farmer和Toda（2017）在线附录中的AR（1）资产定价模型评估解的精度，我发现，当冲击分布为非参数时，基于高斯平方e的圆盘重定时马尔科夫过程方法的精度更低。因此，对于此类过程，最好使用Farmer和Toda（2017）的最大熵方法，并使用均匀间距的网格（示例见第4.3.3节）。最后，虽然我提出了我的方法作为椎间盘再矿化的工具，但它也可以作为一种求积方法。例如，Pohl et al.（2018）使用投影方法和高斯-埃尔米特求积求解了theBansal和Yaron（2004）长期风险模型，但这是因为假设模型具有高斯冲击。相反，如果研究人员希望使用非参数冲击，我的方法可以直接用于从数据构建正交规则。参考Ravi Bansal和Amir Yaron。长期风险：资产定价混乱的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：1481–1509，2004年8月20日。内政部：10.1111/j.1540-6261.2004.00670。x、 罗伯特J。巴罗。二十世纪罕见的灾难和资产市场。《经济学季刊》，121（3）：823–8662006。内政部：10.1162/qjec。121.3.823.Leland E.Farmer和Alexis Akira Toda。用exac t条件矩离散非线性非GaussianMarkov过程。《定量经济学》，8（2）：651–683，2017年7月。内政部：10.3982/QE737。马丁·弗洛登。关于高持久AR（1）过程马尔可夫链逼近精度的注记。《经济学快报》，99（3）：516–520，2008年6月。内政部：10.1016/j.econlet。2007.09.040.泽维尔·加拜克斯。变量r是灾难：macr金融中十大难题的精确解决框架。《经济学季刊》，127（2）：645–700，2012年5月。内政部：10.1093/qje/qjs001。Gene H.Golub和John H.Welsch。高斯四元规则的计算。

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