基于延迟因子模型的投资组合优化

我们可以用Ito\'s公式来表示（γОX（t））1/γ=X^π（t），d（γОX（t））1/γ=γ（γ）1/γ（~X（t））γ-1dX（t）+1-γ2γ（γ）1/γ（~X（t））γ-2(γ1-γ） （￠X（t））|θ（t）+σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）| dt，在对方程进行模拟后，我们得到了（γОX（t））1/γ=（γОX（t））1/γ{（r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）dt+^π（t）*σ（t）dW（t）}。这里，^π（t）由（13）给出。对于任意策略π，通过将It^o公式应用于▄Xπ（t）p（t），我们可以得到d▄Xπ（t）p（t）=p（t）d▄Xπ（t）+▄Xπ（t）dp（t）+d▄Xπ（t）dp（t）=-γ1 - γИXπ（t）p（t）(1 - γ） π（t）*σ（t）+θ（t）*+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dt+~Xπ（t）p（t）γπ（t）*σ（t）-q（t）p（t）dW（t）≤~Xπ（t）p（t）γπ（t）*σ（t）-q（t）p（t）dW（t）。（16） 通过使用∧Xπ（t）p（t）>0表示0≤ t型≤ T，~X（T）p（T）是非负上鞅。我们可以归纳为[~Xπ（T）p（T）]≤ ~xp（0）=E[~X^π（T）p（T）]。由于p（T）=1且▄Xπ（T）=U（Xπ（T）），▄X（T）=U（Xπ（T）），▄X=U（X）=γXγ，我们得到了[U（Xπ（T））]≤ E[U（X^π（T））]=γXγp（0）=γXγexp（p（0）），这意味着^π的最优性。注意，最优投资组合策略可以写成^π=1- γ(σσ*)-1(u - r1）+1- γ(σσ*)-1σ^q，（17），其中第一项与夏普比率（σσ）成比例*)(u -r1）独立于财富X^π（t），等于原始默顿问题的解，第二项是通过求解BSDE（12）。4完整的市场分析在第3节中，我们使用BSDE ap方法开发了优化问题（4）的解决方案。应该注意的是，我们的一般结果是成立的，并不要求市场是完整的。在本节中，我们发展了另一种不同的鞅方法来解决完全市场假设下的原始问题（4）。这一结果为FBSDE和鞅方法之间的联系提供了一个全面的研究，类似于Horst等人的讨论。

(2014).如果市场是完整的，则σ（t）-1存在，则（9-10）变为▄X^π（t）=γ1- γИX^π（t）{（（1- γ） r（t）+θ（t）|-|^q（t）|）dt+（θ（t）+^q（t））*dW（t），（18）和dp（t）=p（t）-γr（t）-γ2(1 - γ） |θ（t）|-γ2(1 - γ） |^q（t）|-γ1 - γθ（t）*^q（t））dt+^q（t）*dW（t）.（19） 另一方面，可以通过鞅方法获得投资组合问题（3）和（4）的最优策略，这是对偶技术和鞅表示定理的应用。参考Karatzas和Shreve（1998）中的第3章，我们回顾了附录B中的鞅方法。基于U（x）=γxγ且0<γ<1，最优投资组合由^π（t）=（σ（t）给出*)-1.θ（t）+ψ（t）M（t）-1.（20） 其中M（t）是由M（t）=E定义的鞅H（T）（Z（x）H（T））γ-1.英尺（21）h（t）=exp-Ztθ（s）*dW（s）-Zt |θ（s）| ds-Ztr（s）dsθ（t）=σ（t）-1（u（t）- r（t）1），（22）和Z（x）是唯一的溶液，使得ehh（t）（Z（x）H（t））γ-1i=x。因此，通过设置φ=EhH（T）-γ1-γi，我们可以得到z（x）γ-1=xφ（23），m（t）=xφEH（T）-γ1-γ英尺.此外，ψ（·）是一个平方可积过程，来自鞅表示定理：M（t）=x+Ztψ（s）*dW（s）。（24）我们现在研究BSDE（p（t），^q（t））和鞅M（t）之间的关系。此外，我们保证EP（t）=φ1-γeRt-γr（s）-γ2(1-γ） |θ（s）|-γ1-γθ（s）*^q（s）-2(1-γ） |^q（s）|ds+Rt^q（s）*带^q（t）=（1）的dW（s）- γ） ψ（t）M（t）-1.- 通过验证终端条件p（t）=1，γθ（t）为（10）的解。定理3。定义M（t）如（21），^π（t）如（20），和^q（t）=-γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1（25）使（13）保持不变。ThenM（t）=H（t）X^π（t）。（26）定义X^π（t）=γ（X^π（t））γ。然后（18）保持不变。通过（19）定义p（t）。那么我们有p（t）=p（0）H（t）γM（t）1-γ. （27）特别地，我们有p（T）=p（0）Z（x）-如果我们选择p（0）=Z（x），则1=1。证据我们只需要证明（27）。

通过（19），我们得到dp（t）=p（t）(-γr（t）-γ2(1 - γ） |θ（t）|-γ2(1 - γ)| - γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1|-γ1 - γθ（t）*(| - γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1） dt公司+(-γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1)*dW（t）.这里我们使用（25）。Thenp（t）=p（0）expZt公司(-γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-Z |- γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1 | dt+Zt(-γr（s）-γ2(1 - γ） |θ（s）|-γ2(1 - γ)| - γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1|-γ1 - γθ（s）*(| - γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1） ds公司.简化后，我们得到p（t）=p（0）expZt公司(-γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-γZt |θ（s）| ds-(1 - γ） Zt |ψ（s）M（s）-1|= p（0）H（t）γM（t）1-γ. （28）这里我们使用dm（t）=M（t）（ψ（t）M（t）-1)*dW（t），可唯一求解以获得M（t）的表达式，M（t）=M（0）exp（Zt（ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-Zt |ψ（s）M（s）-1 | ds）。从（21）中，我们得到m（T）=H（T）（Z（x）H（T））-1.-γ=（Z（x））-1.-γH（T）-γ1-γ. （29）因此，将（28）和（29）放在一起，我们最终得到p（T）=p（0）Z（x）-如果取p（0）=Z（x），那么p（T）=1。这就完成了证明。虽然我们不能直接求解二次FBSDE（11-12），但可以应用基于回归的算法等数值模式。例如，见Bender和Zhang（2008）。在第5节讨论的某些特定情况下，可以明确地获得FBSDE（11-12）的解。5两种特殊情况本节专门分析两种特殊情况，其中可以明确获得二次FBSDE（11-12）和相应的最优策略（13）。5.1有限延迟时间在这种情况下，我们考虑δ=∞ in（1），即V（t）=Z-∞eλsh（Y（t+s））ds，动力学和s中没有点延迟因子Z（t）。为简单起见，weassume N=m=N=1被视为完全市场。注意，给定系数n=1的尺寸，使得σ*F（In×n+γ1-γσ*(σσ*)-1σ）σf是一个一维过程，不完全m市场（m<N）的情况也可以用相同的参数来解。

因此，W（t）是一维布朗运动，andr（t）=r（Y（t），V（t）），u（t）=u（Y（t），V（t）），σ（t）=σ（Y（t），V（t）），b（t）=b（Y（t），V（t）），σF（t）=σF（Y（t），V（t））和θ（Y（t），V（t））=σ（Y（t），V（t））-1（u（Y（t），V（t））- r（Y（t），V（t））1）。方程V的微分形式可以写成dv（t）=（h（Y（t））- λV（t））dt。对于BSDE的解（^p，^q）和最优策略^π，我们有以下结果。提案1。BSDE的解（^p，^q）由^p（t）=η（t，Y（t），V（t）），^q（t）=σF（Y（t），V（t））给出ny（t，y（t），V（t）），（30），其中η（t，y，V）=（1- γ） 日志Et，y，v经验值ZTtγ1- γr（△Y（s），V（s））+γ（1- γ） θ（￠Y（s），V（s））ds,（31）具有相应的动态=b（￠Y（s），V（s））+γ1- γθ（Y（s），V（s））σF（Y（s））ds+σF（~Y（s），V（s））dW（s），s≥ t、 Y（t）=Y，dV（s）=（h（Y（s））- λV（s））ds，s≥ t、 V（t）=V。具有有限延迟时间的优化问题的最优策略由^π（t，y，V）=u（y，V）给出- r（y，v）（1- γ） σ（y，v）+σF（y，v）yη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）。（32）证明。我们做了一个ansatz，写为^p（t）=η（t，Y（t），V（t））。（33）将It^o公式应用于^p（t），我们得到d^p（t）=tη（t，Y（t），V（t））+b（Y（t），V（t））yη（t，y（t），V（t））+σF（y（t），V（t））y yη（t，y（t），V（t））dt+（h（Y（t））- λV（t））vη（t，Y（t），v（t））dt+σF（Y（t））yη（t，y（t），V（t））dW（t）。（34）然后比较BSDE（12）编写的asd^p（t）=- γr（Y（t），V（t））-γ1 - γθ（Y（t），V（t））-1.- γ^q（t）-γ1 - γθ（Y（t），V（t））^q（t）dt+^q（t）dW（t）（35）确定^q（t）=σF（y，v）yη（t，y（t），V（t））。（36）我们还得到了η（t，y，v）的方程，如下所示：tη（t，y，v）+σF（y，v）y yη（t，y，v）+b（y，v）+γ1- γθ（y，v）σF（y，v）yη（t，y，v）+（h（y）- λv）vη（t，y，v）+1- γσF（y，v）(yη（t，y，v））+γr（y，v）+γ1- γθ（y，v）=0，（37），终端条件η（T，y，v）=0。设？η=eη1-γ.

因此，（37）可以重写为tη（t，y，v）+σF（y，v）y yη（t，y，v）+b（y，v）+γ1- γθ（y，v）σF（y，v）yη（t，y，v）+（h（y）- λv）vη（t，y，v）+γ1 - γr（y，v）+γ（1- γ） θ（y，v）终端条件为η（t，y，v）=1时，η（t，y，v）=0，（38）。利用（38）和伊藤公式，我们得到了Dert给出的相应动力学γ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）du▄η（t，▄Y（t），V（t））=eRtγ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）duσF（￠Y（t），V（t））y▄η（t，▄y（t），V（t））dW（t），其中▄y（s）和V（s）满足▄y（s）=b（￠Y（s），V（s））+γ1- γθ（Y（s），V（t））σF（Y（s），V（t））ds+σF（~Y（s），V（s））dW（s），s≥ t、 Y（t）=Y，dV（s）=（h（Y（s））- λV（s））ds，s≥ t、 V（t）=V。η的候选解写为η（t，y，V）=Et，y，V经验值ZTtγ1- γr（△Y（s），V（s））+γ（1- γ） θ（￠Y（s），V（s））ds.利用所提出的正则性条件（A1-A4）并应用Krylov（1980）中的定理2.9.10，我们得出η（s，y，v）对于t是一阶连续可微的，对于y是secon-dorder连续可微的，对于v是一阶连续可微的。此外，ztterγ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）duσF（~Y（s），V（s））y▄η（s，▄y（s），V（s））dW（s）（39）是一个鞅，以保证（31）是η的解。最优策略由（32）中定义的^π（t，Y（t），V（t））给出。财务影响基于（32），我们观察到第一项与夏普比率成比例，第二项由σ和σ的比率驱动。因此，在yη>0，风险资产投资在因子波动率σF中增加。

例如，在国内股票市场，如果我们将这些因素视为外国股票，外国股票的波动性越大，风险资产中财富的最佳比例就越大。我们现在研究一种特定的有限延时情况，假设σfB为常数B（t）+γ1- γθ（t）σF=αY（t）+αV（t），γr（t）+γ1- γθ（t）=βY（t）+βV（t），h（Y（t））=Y（t）。（40）参数constraintβ<0。我们将η写成η（t，y，v）=ψ（t）y+ψ（t）v+ψ（t）yv+ψ（t），其中，对于i=1，···，4，ψi（t）是由满足φψ（t）=-2αψ（t）-σF1- γψ（t）- 2ψ（t）- 2β，（41）˙ψ（t）=2λψ（t）- 2αψ（t）-σF1- γψ（t）- 2β，（42）˙ψ（t）=(-α+λ）ψ（t）-σF1- γψ（t）ψ（t）- αψ（t）- ψ（t），（43）˙ψ（t）=-σFψ（t），（44），终端条件ψi（t）=0，对于i=1，···，4，通过确定y、v、yv和零阶项的系数。耦合有序微分方程的存在性和唯一性可以基于条件β<0进行验证。与y相对应的Firstorder导数如下所示：yη（t，y，v）=ψ（t）y+ψ（t）v。相应的最优策略由^π（t，y（t），v（t））表示为^π（t，y，v）=u（y，v）- r（y，v）（1- γ） σ（y，v）+σF（ψ（t）y+ψ（t）v）（1- γ） σ（y，v）。（45）在β<0和α>0的情况下，α>0，β<0，ψ（t）和ψ（t）保持在负f或0≤ t型≤ T例如，请参见图1。因此，在y<0和v<0的情况下，投资者打算投资风险资产，而不是无风险资产，因为自对于0，yη（t，y，v）>0≤ t型≤ T导致σFyη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）>0。然而，假设y>0且v>0，持有风险资产的财富比例^π（t，y（t），v（t），Z（t））变得更小，因为yη（t，y，v）<0表示σFyη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）<0.5.2点延迟基于Chang等人。

（2011）和Pang和Hussain（2015），我们假设N=1，σfb为常数，b（t）+γ1- γθ（t）σF=αY（t）+αV（t）+αZ（t），γr（t）+γ（1- γ） θ（t）=βY（t）+βV（t）+βZ（t），h（Y（t））=Y（t），（46）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.5-2-1-0.5图1：参数α=1，α=1，β=-2, β= -2，λ=1，σF=1，γ=0.5，终止时间T=1。αi和βifor i=1，···，3满足α+eλΔα=-αβα+ β= 1, α-λeλΔα=-αβα+β=αeλδ。（47）获得如下最优策略。提案2。假设（46），则（^p，^q）的解由^p（t）给出=eT公司-t型- 1.Y（t）+eλΔαV（t）-βαY（t）+σF2（1- γ） （（e2（T-t）- 1) + 21 +βα(1 - eT公司-t）+1 +βα（T- r） ），（48）^q（t）=σFeT公司-t型- 1.-βα. （49）优化问题的最优策略为^π（t，Y（t），V（t），Z（t）），由^π（t，Y，V，Z）=u（Y，V，Z）给出- r（y，v，z）（1- γ） σ（y，v，z）+σF（eT-t型- 1.-βα)(1 - γ） σ（y，v，z）。（50）证明。基于假设（46），假设η（t，Y（t），V（t））与Z（t）无关，则^p（t）的th eansatz由^p（t）=η（t，Y（t），V（t）给出。因此，将It^o公式应用于^p（t），我们得到d^p（t）=tη（t，Y（t），V（t））+b（t）yη（t，y（t），V（t））+σFy yη（t，y（t），V（t））dt+（Y（t）-e-λδZ（t）- λV（t））vη（t，Y（t），v（t））dt+σFyη（t，y（t），V（t））dW（t）。（51）识别（51）和（12）意味着^q（t）=σFyη（t，y（t），V（t）），（52）和η满足度tη（t，y，v）+σFy yη（t，y，v）+（αy+αv+αz）yη（t，y，v）+（y- eλδz- λv）vη（t，y，v）+1- γσF(yη（t，y，v））+βy+βv+βz=0，终端条件η（t，y，v）=0。因此tη（t，y，v）+（αyη+vη+β）y+（αyη- λvη+β）v+（αyη- e-λδvη+β）z+1- γσF(yη（t，y，v））+σFy yη（t，y，v）=0，终端条件η（t，y，v）=0。

我们得到由η（t，y，v）=Q（t）给出的η（t，y，v）的解y+eλΔαv-βαy+ψ（t）（53），其中Q（t）和dψ（t）是满足˙Q（t）=-Q（t）- 1，˙ψ（t）=-σF2（1- γ)Q（t）-βα, （54）终端条件Q（T）=0且ψ（T）=0导致Q（T）=eT给出的解-t型- 1，ψ（t）=σF2（1- γ） （（e2（T-t）- 1) + 21 +βα(1 - eT公司-t）+1 +βα（T- r） ）。然后我们得到（48-49）的解。这里我们使用条件（47）。这导致了（50）中的^π（t，Y（t），V（t），Z（t））给出的最优投资组合。最后一个结果来自（13）和表达式（50）。金融含义根据点延迟的最优策略（50），如果eT-t型-1.-βα>0仅取决于α和β是逐点延迟项的系数。即，假设t=0，当t>log（1+βα）给出的终止时间t足够大时，在因子波动率变大的情况下，投资者偏好风险资产。显然，βα<0 imp对于所有T>0，yη>0。在这种情况下，风险资产的投资比例在factorvolatilityσF.6中增加。结论在本文中，我们考虑了基于幂效用的延迟因子模型的投资组合优化问题。由于非马尔可夫特征，我们应用随机极大值原理和FBSDE方法来描述最优策略，并证明相应FBSDE的存在性和唯一性。我们进一步提出了一种利用鞅方法求解完全市场优化问题的差分方法，并研究了其与FBSDE方法的联系。此外，还讨论了两个显式可解的情况。

本文提出的问题可以扩展到多个方向，包括一般效用分析和保险分析。从财务角度来看，通过最大化指数效用或一般效用来研究投资组合优化问题将是非常有意义的，其中资产由延迟因子模型驱动。此外，利用Espinosa和Touzi（2015）提出的相对性能，一人优化问题可以扩展到具有游戏特征的多人优化问题。从数学角度来看，在（非）马尔可夫结构下，还需要讨论相应的耦合二次FBSDE的存在性和唯一性。在马尔可夫情形下，HJB方程的可解性也值得研究。我们将在今后的工作中努力解决这些问题。定理1二次FBSDE的一个证明是dX^π（t）=γ1-γИX^π（t）n（1- γ） r（t）+θ（t）+q（t）*σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）odt+γ1-γИX^π（t）nθ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）odW（t），d^p（t）=- γr（t）-γ1-γ|θ（t）|-^q（t）*（In×n+γ1-γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t））^q（t）-γ1-γθ（t）*^q（t）dt+^q（t）*dW（t），^X（0）=U（X），^p（t）=0。定义以下符号SF（t，^q（t））：=γr（t）+γ1- γ|θ（t）|+^q（t）*In×n+γ1- γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）+γ1- γθ（t）*^q（t）。然后我们可以将^p（t）的动力学写成如下（d^p（t）=-f（t，^q（t））dt+^q（t）*dW（t），^p（t）=0。（A.1）表示γ=γ1- γ.考虑测得的p概率▄p=ET（▄γθ*· W）dpwheret（￠γθ）*· W）=经验值ZT￠γθ（t）*dW（t）-ZTk￠γθ（t）*kdt公司（A.2）是Dol'eans-Dade指数鞅，W（t）=W（t）-Zt￠γθ（s）*ds，是一个P-brownian运动。

那么（A.1）等于（d^p（t）=-f（t，^q（t））dt+^q（t）*d▄W（t），^p（t）=0，（A.3），其中▄f（t，^q（t））=γr（t）+▄γθ（t）+^q（t）*In×n+～γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）=γr（t）+γ|θ（t）|+^q（t）*In×n+～γ～σ（t）^q（t）和￠σ（t）：=σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）。显示系统（A.1）具有唯一解决方案等同于显示（A.3）具有唯一解决方案。注意，（A.3）相当于以下系统：dp（t）=-（￠f（t，^q（t））-f（t，0））dt+^q（t）*dW（t）=-^q（t）*In×n+～γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）dt+^q（t）*d▄W（t），▄p（t）=ξ。（A.4）式中，p（t）=^p（t）+Ztf（s，0）ds，ξ：=Ztf（s，0）ds=Zt（γr（s）+γθ（s）*θ（s））ds。证明了（A.4）对于有界终端条件kξk有唯一解∞< ∞.A、 1局部解第一个结果表明，当kξk∞体积小，系统（A.4）h作为一种独特的解决方案。提案A.1。设β：=4·kIn×n- σk∞. 假设kξk∞<4β，系统（a.4）存在一个唯一解（^p，^q），其范数为k^pk∞+ k^q·W kBMOT（~P）≤2β.证据通过关系（dp（t）=考虑映射（~p，^q）=F（~p，q）-（▄f（t，▄q（t））-f（t，0））dt+^q（t）*d▄W（t），▄p（t）=ξ。（A.5）使用Ito公式|p（t）|，我们可以得到|p（t）|=kξk∞+ 2ZTt▄p（s）（▄f（s，▄q（s））-f（s，0））ds-ZTt |^q（s）| ds- 2ZTt▄p（s）^q（s）*dW（s）。设τ为取值为[0，T]的停止时间。在上述方程的两侧取条件期望E[·| Fτ]，其中E[·| Fτ]表示条件期望w.r.t.概率测度P和过滤Fτ，并使用不等式2ab≤a+4b，我们可以得到|p（t）|+EZTτ|^q（s）| ds | Fτ≤kξk∞+ 2kpk∞·EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ≤kξk∞+kpk∞+ 4.EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ.在这个命题的其余证明中，我们使用符号knkbmot=kN kBMOT（▄P）表示▄P-鞅N。