基于延迟因子模型的投资组合优化

请注意kpk∞+ k^q·W kBMOT≤最大值kpk∞, k^q·W kBMOT≤ess sup[[0，T]]|~p（τ）|+~EZTτ|^q（s）| ds | Fτ≤kξk∞+kpk∞+ 4·ess sup[[0，T]]E[ZTτ| f（s，(R)q（s））-\'f（s，0）| ds | fτ].本质上确界接管τ∈ [[0，T]]，s topping times takingvalue在[0，T]中的集合。我们获得thatk▄pk∞+k^q·W kBMOT≤kξk∞+ 4·ess sup[[0，T]]EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ≤kξk∞+ 4·ess sup[[0，T]]EZTτ|In×n+～γσ（s）·q（s）|ds | Fτ≤kξk∞+ kIn×n+～γИσk∞· k'q·'W kBMOT（定义'σ一致有界）。回想一下定义β=4·kIn×n+～γ～σk∞,因此，我们可以得到thatkpk∞+ k^q·W kBMOT≤ kpk∞+ 2k^q·W kBMO≤ 4kξk∞+ β·k'q'W kBMOT≤ 4kξk∞+ β（k'pk∞+ k'q·'W kBMOT）。我们可以选择R，使得4kξk∞+ βR≤ R、 当且仅当kξk∞≤4β. 例如，R=√2β（A.6）满足这个二次不等式。因此，ballBR=n（^p，^q·W）∈ S∞×BMOT，kpk∞+ k^q·W kBMOT≤ Ro，是指F（BR） BR。类似于（\'pj，\'qj·▄B）∈ BR，j=1，2，使用符号δ'p='p- \'p，δ\'q=\'q- \'q.利用伊藤引理，我们可以得到thatkδОpk∞+ kΔ^q·BkBMOT≤4·ess sup[[0，T]]EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，(R)q（s））| ds | fτ=ess sup[[0，T]]EZTτ|(R)q（s）*（In×n+～γσ（s））～q（s）- \'\'q（s）*（In×n+～γ～σ（s））(R)q（s）| ds | Fτ=ess sup[[0，T]]EZTτ|δ′q（s）*（In×n+℃γσ（s））（\'q（s）+\'q（s））| ds | Fτ≤kIn×n+～γ～σk∞· ess sup[[0，T]]~EZTτ|δ′q（s）*|ds | Fτ· ess sup[[0，T]]~EZTτ（| q（s）|+| q（s）|）ds | Fτ≤2kIn×n+～γ～σk∞· ess sup[[0，T]]~EZTτ|δ′q（s）*|ds | Fτ·ess sup[[0，T]]~EZTτ| q（s）| ds | Fτ+ ess sup[[0，T]]~EZTτ| q（s）| ds | Fτ!≤β·kδ'q'W kBMOT·2R=βRkδ'q'W kBMOT≤kδ′q·▄W kBMOT≤kδ′pk∞+ kδ′q·▄W kBMOT,因此，F（·，·）在BR上形成一个收缩映射。在这里，我们使用R givenearlier（A.6）的定义。因此，根据标准结果，F（·，·）有一个唯一的固定点，即（a.5）的解。A、 2全局解我们接下来证明（A.4）对于任何有界kξk都有唯一解∞< ∞ .

对于anykξk∞< ∞, 它可以表示为和ξ=KXi=1ξ（j），kξ（j）k∞<4β和K∈ N是一个有限的整数。考虑以下迭代系统，其中j=1，2。。。，K：dp（j）（t）=-f（t，^q（1）（t）+…+^q（j）（t））-f（t，^q（1）（t）+…+^q（j- 1） （t））dt+^q（j）（t）*d▄W（t），▄p（j）（t）=ξ（j），▄p（0）=0，^q（0）=0。（A.7）从阻力A.1中，我们知道了（△p（1），^q（1））的存在，前提是kξ（1）k∞≤4β.接下来我们证明如果kξ（2）k∞≤4β，存在以下QBSDE的溶液（^p（2），^q（2））：（dp（2）（t）=-~f（t，^q（1）（t）+^q（2）（t））-f（t，^q（1）（t））dt+^q（2）（t）*dW（t），0≤ t型≤ T、 ~p（2）（T）=ξ（2）。（A.8）提案A.2。假设kξ（2）k∞<4β，系统（a.8）存在唯一的解决方案（^p（2），^q（2））。证据注意，f（t，^q（1）（t）+^q（2）（t））-~f（t，^q（1）（t））=（^q（2）（t）+^q（1）（t））*（In×n+～γ～σ（t））（^q（2）（t）+^q（1）（t））-^q（1）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）=^q（2）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（2）（t）+^q（1）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（2）（t）。然后（A.8）变成（dp（2）（t）=-^q（2）（t）*（In×n+～γ△σ（t））^q（2）（t）dt+^q（2）（t）*ndW（t）-（In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）dto，～p（2）（t）=ξ（2）（A.9）使用Girsan-ov定理和Touzi（2012）第11.1.2节中BMO的性质3，我们可以通过dp（2）确定概率p（2）：=ET（（In×n+～γ～σ）^q（1）·W）d·p，其中ET（·）在（A.2）中定义，Brownian运动在（W）中定义（2）（t）：=dW（t）- （In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）dt使（A.9）变为（dp（2）（t）=-^q（2）（t）*（In×n+～γ△σ（t））^q（2）（t）dt+^q（2）（t）*d▄W（2）（t），▄p（2）（t）=ξ（2）（A.10），其形式与（A.4）相同。使用与命题A.1中相同的论点，我们可以证明在条件kξ（2）k下∞≤4β，系统（A.10）在空间S中有唯一的溶液（~p（2），^q（2））∞（[0，T]×Ohm, Rd）×BMOT（P（2））。类似地，我们可以证明解（▄p（j），^q（j）），j=1，2，3。。，系统存在K（A.7）。

最后，我们可以看到▄p（t）=▄p（1）（t）+▄p（2）（t）+····+▄p（K）（t）和▄q（t）=▄q（1）（t）+▄q（2）（t）+···+▄q（K）（t）求解（A.4）。A、 3全球大学我们考虑QBSDE（A.1）。我们首先发现| f（t，^q（t））|≤γr（t）+γ|θ（t）|+k^q（t）k·kIn×n+～γσk+k～γθ（t）k·k^q（t）k≤γr（t）+γ|θ（t）|+k▄γθ（t）k+k^q（t）k·（kIn×n+▄γ▄σk+1）≤K+M·K^q（t）K其中：=γr（·）+γ|θ（·）|∞+k▄γθ（·）k∞,M：=（kIn×n+～γ～σk∞+ 1) .引理A.1。Letξ∈ L∞(Ohm, R） 。假设（^p，^q）是一个解，使得^p有界。也就是说，^p∈ S∞（[0，T]×Ohm; Rd）。那么^q·W在BMOT（P）中。证据设^p为（a.1）的解，且存在常数C>0，使得^p（t）|≤ 所有t的C a.s。将τ表示为停止时间，使0≤ τ ≤ T设λ为固定实数（稍后选择）。应用伊藤引理求exp（λ^p（T））- exp（λ^p（τ）），使用边界条件^p（T）=0，我们得到λZTτeλ^p（s）| q（s）| ds- λZTτeλ^p（s）f（s，^q（s））ds+λZTτeλ^p（s）^q（s）*dWs=exp（λ^p（T））- exp（λ^p（τ））≤ 1.If^q*· W是平方可积鞅，在上述不等式中取条件期望，得到λEZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤1+λ·EZTτeλ^p（s）f（s，^q（s））dsFτ≤1+λK·EZTτeλ^p（s）dsFτ+ λM·EZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ这意味着λ- λMEZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤ 1+λK·EZTτeλ^p（s）dsFτ.取λ=4M，我们可以得到4M·EZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤ 1+λKT·e4MC，对于任何停止时间τ。自^p≥ -C、 然后我们可以得到k^q·W kBMOT（P）≤（1+λKT·e4MC）e4MC4M。最后，我们可以得出结论，（A.1）的解属于S∞（[0，T]×Ohm; Rd）和^q·W∈BMOT（P）。定理A.1。存在（A.1）的唯一解，使得^p∈ S∞（[0，T]×Ohm; Rd）和^q·W∈ BMOT（P）。证据假设（^p，^q）和（^p，^q）是（A.1）的两个解。

设δp=~p- ^pandδq=^q- ^q.我们有δp（t）=δp（0）-Zt[f（s，^q（s））- f（s，^q（s））]ds+Ztδq（s）*dW（s）。允许jf（s）≡ jf（s，^q（s），^q（s））：=f（s，^q（s）。。。，^qj-1（s），^qj（s），^qj+1（s）。。。，^qn（s））- f（s，^q（s）。。。，^qj-1（s），^qj（s），^qj+1（s）。。。，^qn（s））^qj（s）- ^qj（s），用于j∈ {1，…n}其中^qjand^qjare是^p和^p.Let的jthcomponentf（s）=(f（s）。。。，nf（s））*.Thusf（s，^q（s））- f（s，^q（s））=f（s）*δq（s）。那么我们有δp（s）=-f（s）*δq（s）ds+δq（s）dW（s），δp（T）=0。引理4.1，f·W∈ BM OT（P）然后根据Touzi（2012）第11.1.2节中BMO的属性3和Girsanov定理，我们确定了一个新的概率dq=ET(f·W）dP，其中E（·）在（A.2）中定义。然后我们得到δp（s）是一个Q-鞅，它产生δp（s）=EQ[δp（T）|Fs]=0，s∈ [0，T]。B鞅方法在完全市场的情况下，我们考虑由πE[U（Xπ（T））]写成的投资组合优化问题，其中U（·）被定义为效用函数。也就是说，U（x）是递增的，凹的，和U′(∞) = 上述问题可以重写为：假设πE[U（Xπ（T））]=supξ∈C（x）E[U（ξ）]，其中h（t）=exp-Ztθ（s）*dW（s）-Zt |θ（s）| ds-Ztr（s）ds用符号θ（t）=σ（t）-1（u（t）- r（t）1）。式中，C（x）={ξ∈ F（T）：E[H（T）ξ]≤ x} 由预算控制培训给出。因此，我们有SUPξ∈C（x）E[U（ξ）]+z（x- E[H（T）ξ]）= xz+supξ∈C（x）E[U（ξ）- zH（T）ξ]。（B.1）方程式（B.1）在^ξ=I（zH（T））处达到最大值，其中I（·）表示为U′（·）的倒数。我们进一步假设以下条件∧（z）=e[H（T）I（zH（T））]<∞对于所有z>0。使用∧（z）在z上严格递减，且∧（0）=∞ 和∧(∞) = 0，存在唯一的z=z（x），使得∧（z（x））=x。我们现在定义（t）=E[H（t）I（z（x）H（t））| Ft]，其中fti是通过使用鞅表示m（t）=x+Ztψ（s）与概率测度P和ψ（s）的过滤*dW（s）。

（B.2）此外，将g It^o公式应用于H（t）X^π（t）给出H（t）X^π（t）=X+ZtH（s）X^π（s）（s）*σ（s）- θ（s）*)选择dW（s），（B.3）和^π（t），使得M（t）=H（t）X^π（t）。通过识别（B.2）和（B.3），我们得到^π（t）=（σ（t）*)-1.θ（t）+ψ（t）M（t）-1..参考文献n。鲍尔和U·里德。马尔可夫调制股票价格和利率的投资组合优化。IEEE自动控制交易，49:442–4472004。C、 Bender和J.Zhang。耦合FBSDE的时间离散化和马尔可夫迭代。《应用概率年鉴》，18（1）：143–1772008。A、 Bensoussan、M.H.M.Chau和S.C.P.Yam。平均场stackelberg游戏：延迟指令的聚合。《暹罗控制与优化杂志》，53（4）：2237–22662015。B、 Berdjane和S.Pergamenschikov。随机系数市场的最优消费和投资。《金融与随机》，17:419–4462013。Jean-Michel铋。最优随机控制中对偶的一种介绍性方法。《暹罗评论》，20（1）：62-781978年。R、 Carmona、J.-P.Fouque、M.Mousafa和L.-H.Sun。系统性风险与时滞随机博弈。arXiv:1607.0637320016。N、 卡斯塔·内达·莱瓦和D·她·南德斯·她·南德斯。具有随机系数的不完全市场中的最优消费投资问题。《暹罗控制与优化杂志》，44（4）：1322–13442005。M、 -H.Chang、T.Pang和Y.Yang。具有有限记忆的随机投资组合优化模型。《运营数学研究》，36（4）：604–6192011。五十、 陈和Z.Wu。具有时滞的s阶线性控制系统的二次问题。第30届中国控制会议论文集，中国烟台，2011年。五十、 陈志武、余德忠。时滞随机线性二次型控制问题及其应用。《应用数学杂志》，2012年。五十、 德隆和C.克鲁佩尔伯格。

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