基于延迟因子模型的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization with Delay Factor Models》
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作者：
Shuenn-Jyi Sheu, Li-Hsien Sun, Zheng Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose an optimal portfolio problem in the incomplete market where the underlying assets depend on economic factors with delayed effects, such models can describe the short term forecasting and the interaction with time lag among different financial markets. The delay phenomenon can be recognized as the integral type and the pointwise type. The optimal strategy is identified through maximizing the power utility. Due to the delay leading to the non-Markovian structure, the conventional Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) approach is no longer applicable. By using the stochastic maximum principle, we argue that the optimal strategy can be characterized by the solutions of a decoupled quadratic forward-backward stochastic differential equations(QFBSDEs). The optimality is verified via the super-martingale argument. The existence and uniqueness of the solution to the QFBSDEs are established. In addition, if the market is complete, we also provide a martingale based method to solve our portfolio optimization problem, and investigate its connection with the proposed FBSDE approach. Finally, two particular cases are analyzed where the corresponding FBSDEs can be solved explicitly.
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中文摘要：
在标的资产依赖于具有时滞效应的经济因素的不完全市场中，我们提出了一个最优投资组合问题，该模型可以描述不同金融市场之间的短期预测和时滞相互作用。延迟现象可分为积分型和逐点型。通过最大化电力利用率来确定最优策略。由于延迟导致非马尔可夫结构，传统的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方法不再适用。利用随机极大值原理，我们证明了最优策略可以用一个解耦的二次正倒向随机微分方程（QFBSDEs）的解来描述。通过超鞅参数验证了该算法的最优性。建立了QFBSDEs解的存在唯一性。此外，如果市场是完全的，我们还提供了一种基于鞅的方法来解决我们的投资组合优化问题，并研究其与所提出的FBSDE方法的联系。最后，分析了可以显式求解相应FBSDE的两种特殊情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：投资组合优化 投资组合 Mathematical Optimization Differential

基于延迟因子模型的投资组合优化*孙立贤+张政2022年3月8日摘要我们提出了一个不完全市场中的最优投资组合问题，其中基础资产取决于具有延迟效应的经济因素，此类模型可以描述短期预测以及不同金融市场之间的时滞相互作用。延迟现象可分为积分型和逐点型。通过最大限度地提高电力利用率来确定最佳策略。由于延迟导致非马尔可夫结构，传统的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方法不再适用。利用随机极大值原理，我们认为最优策略可以用解耦的二次正倒向随机微分方程（QFBSDEs）的s解来表征。最优性通过Super鞅参数进行验证。建立了QFBSDEs解的存在唯一性。此外，如果市场是完全的，我们还提供了一个基于鞅的d方法来解决我们的投资组合优化问题，并研究了它与所提出的FBSDE方法的联系。最后，分析了可以显式求解相应FBSDE的两种特殊情况。关键词：投资组合优化；延迟因子模型；FBSDEs；鞅方法。1简介由于全球化和透明度，金融市场不能被视为本地系统。观察到市场之间以及不同地区之间的市场之间的相互作用。因此，为了抓住这一特征，我们将因子模型考虑在内，其中基础金融资产的系数取决于另一个被称为因子的随机过程。这些因素可以描述为来自外部金融市场的信息或影响。

基于因子模型的最优投资组合问题被广泛讨论。如果f因素仅对基础资产产生影响*国立中央大学数学系，台湾中立，32001sheusj@math.ncu.edu.tw+中央大学统计研究所，台湾中立，32001lihsiensun@ncu.edu.tw.Work科技部资助103-2118-M008-006-MY2中国人民大学统计与大数据研究所zhengzhang@ruc.edu.cnthrough其当前状态值，即影响是马尔可夫的，可以应用动态规划推导相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并且可以通过一阶条件获得马尔可夫或反馈最优策略的候选值。该策略的最优性可以通过验证定理来保证。见Bauerle和Rieder（2004）；Berdjane和Pergamenschikov（2013）；卡斯塔·内达·莱娃和她的南德斯·赫恩·安·迪兹（2005）；Delong和Kluppelberg（2008）；Fleming和她的nandez-Her-nandez（2003）；Fleming和Pang（2004）；Fleming和Sheu（1999年，2002年）；Fouque和Hu（2017）；Hata和Sheu（2012a，b）；Hayashi和Sekine（2011）；刘（2007）；Nagai（1996、2003、2014）进行了深入讨论。根据Lo等人（2007）的讨论，在真实金融市场中，历史信息的显著依赖性是可用的；徐和宽（2005）；Lorenzoni等人（2007年）；Dokuchaev（2012），可用于短期预测。影响因素通常不会立即出现，但具有延时特征，s ee Dokuchaev（2015）。具有时滞的随机控制问题在应用中非常重要，在各种情况下都得到了广泛的研究。

Oksendal和Sulem（2001）介绍了满足Pontryagin-Bisit-Benssoussan型stoch-astic最大值原理的时滞不稳定变量的最优解；Oksendal等人（2011年）。此外，拉尔森（2002）；Larssen和Risebro（2003）利用动力学编程原理将具有状态延迟的系统简化为一个有限维问题。inGozzi和Marinelli（2006）讨论了同时具有状态时滞和控制时滞的广义随机控制问题；Gozzi等人（2009年）；Gozzi和Masiero（2015）的抽象空间和相应的HJB方法。此外，Chen和Wu（2011）、Chen et al.（2012）和Xu（2013）使用正向和高级反向随机微分方程（FABSDEs）方法研究了上述具有时滞的一般优化问题。特别是，对有限参与者的带时滞的线性二次随机博弈进行了研究。Bensoussan等人（2015年）考虑了具有延迟的线性四元比率平均场Stackelberg博弈。在这篇文章中，我们提出了一个不完全市场中的投资组合优化问题，考虑了具有时滞的因子模型。特别是，基础风险资产的系数既包括点向时间延迟因子，也包括积分时间延迟因子。通过最大化预期电力效用，确定投资组合优化问题的最优策略。由于延迟特性导致了非马尔可夫结构，因此无法再应用动态规划原理和HJB方法。我们利用随机极大值原理和前向和后向微分方程（FBSDE）来描述最优解。通过应用正的super martin gale性质，提供了一个验证定理。参见定理1和定理2。另见Hu等人（2005年）。

讨论了最优策略所驱动的相应FBSDE的存在性和唯一性。由于耦合FBSDE的复杂性，通常无法获得显式解。然而，我们提出了两个可以获得显式解的特殊例子，并讨论了相应的财务影响。此外，如果市场是完整的，我们还提供了一种基于鞅的方法来解决我们的优化问题，并研究了它与建议的FBSDE方法的联系。我们在定理3中对这个关系作了精确的说明。另见Horst et al.（2014）中的相关讨论。据我们所知，这是系统研究带有延迟因子模型的投资组合优化问题的第一个网络。本文的主要内容如下。第2节介绍了基本框架和符号。在第3节中，我们为我们提出的不完全市场中的最优投资组合问题提供了解决方案。第4节说明了在具有时滞的完全市场中，FBSDE方法和m artin gale方法之间的解的比较。第5节研究了具有显式解的两种特殊情况。第6节提供了结论和讨论。技术证明见附录。2延迟因子模型(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个过滤的完全概率空间，其中N∈ 定义了N维维纳过程W=（W，···，WN）。

设m和n为小于或等于n的两个有限正整数，andr（·，·，·）：Rn×R×Rn→ R，u（·，·，·）：Rn×R×Rn→ Rm，σ（·，·，·）：Rn×R×Rn→ Rm×N，b（·，·）：R×Rn→ Rn，σF（·，·）：R×Rn→ Rn×N，h（·）：Rn→ R是满足以下条件的确定性可测函数：o（A1）R，u，b，σ和σFare全局Lipschitz和二次可微；此外，我们假设它们的一阶和二阶导数是有界和连续的；o（A2）r是非负且有界的；o（A3）（σσ*)-1有界，其中（·）*表示转置操作；o（A4）h在全球范围内是Lipsch-itz和可区分的。无风险资产的价格∈ R+={z；z>0}和R isk y库存S：=（S，···，Sm）*∈ r由以下随机微分方程建模：dS（t）=Str（Y（t），V（t），Z（t））dt，dSi（t）=Si（t）nui（Y（t），V（t），Z（t））dt+PNk=1σik（Y（t），V（t），Z（t））dWk（t）o，dY（t）=b（Y（t））dt+σF（Y（t））dW（t），S=S，Si=Si，i∈ {1，…，m}，Y=Y∈ rN其中ui（·）是u（·）的ITH分量，σik（·）是σ（·）的（i，k）元素。Rn值和Ft适应过程Y（t）被称为因子过程，描述外部市场的信息，V（t）是指数加权平均延迟因子（Hayashi和Sekine，2011；Chang等人，2011），由V（t）=Z定义-δeλsh（Y（t+s））ds，（1）和Z（t）是逐点延迟因子Z（t）=Y（t-δ） ，（2）和λ、δ是固定的正常数。V的不同形式可以写成dv（t）=h（Y（t））- e-λδh（Z（t））- λV（t）dt，V（0）=V=Z-δeλsh（Y（s））ds。为简单起见，我们将在其余讨论中使用以下符号：u（t）=u（Y（t），V（t），Z（t）），r（t）=r（Y（t），V（t），Z（t）），σ（t）=σ（Y（t），V（t），Z（t）），b（t）=b（Y（t），V（t），Z（t）），σF（t）=σF（Y（t），V（t），Z（t））。金融市场由利率为r（t）和m的银行组成≤ N库存。

在m<N的情况下，我们面临一个不完全市场。对于给定的投资组合π=（π，…πm）*在自我融资条件下，财富过程的动力学Xπ（t）可以写成dxπ（t）=Xπ（t）{r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）}dt+Xπ（t）π（t）*σ（t）dW（t），X（0）=X，（3），其中1表示m维列向量，其分量均为1。请注意，πi（t）是持有第i项风险资产的财富比例≥ 1，π：=1-Pmi=1πII——持有无风险资产的比例。如果投资组合π是渐进可测且zt |π（t）| dt<∞, a、 本文的目标是找到最佳投资组合，以最大化预期的电力利用率supπE[U（Xπ（T））]（4），其中U（X）=γXγ，0<γ<1.3主要结果由于财富过程（3）涉及延迟因素，传统的HJB方法不再适用。我们应用Bimit（1978）中描述的随机最大值原理（参见Peng（1993）和Horst et al.（2014））来解决优化问题（4）。按照Horst et al.（2014）的想法，通过将It^o公式应用于▄Xπ（t）=U（Xπ（t）），wegetd▄Xπ（t）=xU（U-1（￠Xπ（t）））U-1（￠Xπ（t））r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）dt公司+xxU（U-1（￠Xπ（t）））（U-1（~Xπ（t）））π（t）*σ（t）σ（t）*π（t）dt+xU（U-1（￠Xπ（t）））U-1（▄Xπ（t））π（t）σ（t）dW（t），=γ▄X（t）r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）-(1 - γ） π（t）*σ（t）σ（t）*π（t）dt+π（t）*σ（t）dW（t）,~Xπ（0）=U（X）。（5） 哈密顿量由h（π，x，p，q）=γx给出r+π*(u - r1）-(1 - γ)π*σσ*πp+π*σq, （6） 这是π的严格凹函数。这里我们省略了H对y，v，z的依赖关系。回想一下，r，u，σ是y，v，z的函数。

因此，最优投资组合^π满足一阶条件：πH（^π，^x，p，q）=0，这导致最优策略的候选者^π（t）=1- γ（σ（t）σ（t）*)-1.（u（t）- r（t）1）+σ（t）q（t）p（t）, （7） 其中{p（t），q（t）}t≥0是DP（t）=-xH（π（t），~Xπ（t），p（t），q（t））dt+q（t）*dW（t）。在（7）中，我们隐式假设p（t）6=0 f或所有t。将（7）代入（5）并使用旋转θ（·）：=σ（·）*(σ(·)σ*(·))-1(u(·) - r（·）1），（8）我们得到了以下正倒向随机微分方程（FBSDE）：dX^π（t）=γ1- γИX^π（t）(1 - γ） r（t）+θ（t）*θ（t）-q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）p（t）dt+γ1- γИX^π（t）θ（t）*+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t），（9）dp（t）=-γ1 - γ(1 - γ） r（t）+θ（t）*θ（t）-q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）p（t）p（t）+θ（t）*q（t）+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）dt+q（t）*dW（t）（10），边界条件▄X^π（0）=U（X），p（t）=1。我们想证明FBSDEs（9-10）有一个唯一的解，它由三个过程{X^π（t），p（t），q（t）}0表示≤t型≤T、 应该注意的是，FBSDEs（9-10）是一个解耦系统，从这个意义上讲，后向方程（10）的系数不涉及前向过程X^π（T）。此外，对于给定的（p（t），q（t）），正向方程（9）的系数是全局Lipschitzin X^π（t），然后根据标准SDE理论，如果反向随机微分方程（BSDE）（10）唯一可解，则（9）允许唯一解。因此，为了确定FBSDE（9-10）解的唯一存在性，有必要证明BSDE（10）具有唯一解。我们引入了新变量^p（t）=log p（t），以及^q（t）=q（t）p（t），其中我们隐式假设p（t）>0表示所有t。

相应的新FBSDE满足{X^π（t），p（t），q（t）}0≤t型≤Tbecomesd▄X^π（t）=γ1- γИX^π（t）(1 - γ） r（t）+θ*θ -^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）dt+γ1- γИX^π（t）θ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t）（11）d^p（t）=- γr（t）-γ1 - γθ（t）*θ（t）-γ1 - γ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）-γ1 - γθ（t）*^q（t）-^q（t）*^q（t）dt+^q*（t） dW（t）=- γr（t）-γ1 - γθ（t）*θ（t）-^q（t）*In×n+γ1- γσ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）-γ1 - γθ（t）*^q（t）dt+^q（t）*dW（t）（12），边界条件^p（t）=0，其中In×nis为单位矩阵。注意，反向动力学在^q（t）中是二次的。研究二次FBSDEs（11-12）的解需要以下空间：L（[0，T]×Ohm; Rd）={X：[0，T]×Ohm → RDI可逐步测量，kXkL（[0，T]×Ohm)< ∞},L∞(Ohm; Rd）={ξ：Ohm → Rd，英尺- 可测量，kξk∞< ∞},S∞（[0，T]×Ohm; Rd）={φ：[0，T]×Ohm → Rd，continuo us，adapted，kφkT，∞< ∞},BM OT（Q）={N：[0，T]×Ohm → R、 R值Q-鞅，kN kBMOT（Q）<∞} ,这里，[[0，T]]是停止时间的集合，取[0，T]，kXkL（[0，T]×中的值Ohm)=中兴通讯[| X（t）|]dt，kξk∞= ess sup公司Ohm|ξ（ω）|，kφkT，∞= ess sup[0，T]×Ohm|φ（t，ω）|，对于概率测度Q(Ohm, F） ，关于Q的有界平均振荡（BMO）形式由knkbmot（Q）=ess sup[[0，T]]EQ（hNiτ，T | Fτ）定义，其中hNiτ，是Q-鞅n（·）从τ到T的二次变化，并且在所有可能的停止时间0上取s的上峰≤ τ ≤ T我们的第一个结果表明，二次FBSDEs（11-12）允许唯一解。定理1。假设（A1-A4）。设ξ：=ZTγr（t）+θ（t）*θ（t）dt。如果kξk∞< ∞, 然后存在唯一的解决方案（▄X，^p，^q）∈ L（[0，T]×Ohm; R） ×S∞（[0，T]×Ohm; Rd）×BMOT（P）到二次FBSDE（11-12）。即鞅zt^q（s）*dW（s），0≤ t型≤ T、 在BM OT（P）中。定义π（t）=1- γ（σ（t）σ（t）*)-1（（u（t））- r（t）1）+σ（t）^q（t））。

（13） 那么▄X（t）=▄X^π（t）由▄X（t）=▄X exp给出Rt公司γr（s）+（γ1-γ)(1-2γ1-γ） |θ（s）|-(γ1-γ） θ（s）*^q（s）-γ(1-γ） ^q（s）*σ（s）*（σ（s）σ（s）*)-1σ（s）^q（s））ds+γ1-γRtθ（s）+σ（s）*（σ（s）σ（s）*)-1σ（s）^q（s）*dW（s）.此外，我们有▄X^π（t）p（t），0≤ t型≤ T（14）是鞅。特别地，使用X^π（t）=（γ∧X（t））γ，我们得到了[U（X^π（t））]=γXγexp（p（0））。证据我们应用Tevzadze（2008）中开发的方法（另见Touzi（2012））证明了解的唯一存在性（￠X，^p，^q）∈ L（[0，T]×Ohm ; R） ×S∞（[0，T]×Ohm ; Rd）×BMOT（P）。附录A给出了技术证明。我们接下来证明^X^π（t）p（t）是鞅。It^o公式在▄X^π（t）p（t）中的应用得到：d▄X▄π（t）p（t）=p（t）d▄X▄π（t）+X▄π（t）dp（t）+d▄X▄π（t）dp（t）=γ1- γp（t）~X^π（t）θ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t）+X^π（t）p（t）q（t）*dW（t），（15）意味着∧X^π（t）p（t）是局部鞅。此外，根据事实p（t）=exp（p（t））和已建立的结果E[RT | X^π（t）| dt]<∞ 和k^pkT，∞< ∞, 我们可以得到ZT | X^π（t）p（t）| dt≤ kpkT，∞·EZT | X^π（t）| dt= exp（k^pkT，∞)·EZT | X^π（t）| dt< ∞ .因此，我们可以得出这样的结论：X^π（t）p（t）是鞅。本文的第二个主要结果是以下验证定理，确保（13）定义的^π是我们提出的投资组合问题（4）的最优策略。定理2。假设二次FBSDE（11-12）有一个解（^X，^p，^q），这样^X（t）p（t）是一个鞅，其中p（t）=exp（^p（t）），那么（13）中定义的^π是原始问题（4）的最优投资组合，相应的最大效用由γXγexp（^p（0）给出。证据方程（11-12）有解（￠X，p，q）意味着方程（9-10）有解（￠X，p，q），其中p（t）=exp（￠p（t）），q（t）=p（t）q（t）。since▄X▄π（t）p（t）是一个鞅，则ne[▄X▄π（t）p（t）]=▄X▄π（0）p（0）。定义π（t）。