分段常数的赫斯顿随机波动率模型

4和3）。因此，pjj只包含分段常数Hestonmodel相对于Black-Scholes模型的修正。在实践中，我们使用计算效率高的高斯-克朗求积计算pju【13】。注意，通过这种方式，我们自动避免在数值上有问题的下边界（φ=0）处计算公式22中的被积函数，因为求积节点从不与边界点重合。表1:2017年5月23日，根据市场报价的普通普通呼叫选项校准的普通赫斯顿模型参数。ccy对T v×100θ×10κρξ欧元/美元2M 0.675 0.199 1.04-0.276 0.313EUR/USD 1比0.674 0.166 0.92-0.239 0.190EUR/GBP 2M 0.697 0.177 1.09-0.032 0.290EUR/GBP 1比0.648 0.104 0.79 0.187 0.174EUR/JPY 2M 0.944 0.175 1.40-0.403 0.257EUR/JPY 1比0.893 0.148 0.89-0.265 0.2402.4。用外汇期权市场的分段常数参数校准赫斯顿模型为了校准公式12定义的模型，我们使用了一系列具有不同行使和到期日的普通看涨期权。由于外汇期权通常是针对期权delta报价的，因此我们使用五个删除线等效于期权delta = (±0.15, ±0.25, 0.5). 通过使用LevenbergMarquardt算法对等式21生成的期权价格相对于市场价格进行数值优化，有助于赫斯顿参数的校准【14】。作为寻找分段常数参数的起点，我们首先对整个时间间隔[0，TN]的全局参数集进行数值优化，直到最长的利息到期日TN。在第一个优化步骤中，平均回归速度保持不变，k=1.5。找到全局最优参数后，初始方差固定为全局优化步骤中的值。

θ、κ、ρ和ξ的值被用作优化的初始值，用于尝试查找时间相关参数。参数θ、κ、ρ和ξ的时间依赖性现在通过从最短到最长成熟度的自举参数集引入。以最短成熟度开始，并对参数进行数值优化，然后将其分配给时间间隔[0，T]。然后，我们继续下一个较长的成熟度，并确定时间间隔[T，T]的参数。我们继续迭代，直到确定了所有所需时间间隔的参数。请注意，在优化过程中，必须对参数施加界限。相关性ρ仅限于区间[-1:1]，而其他参数通常必须为正。在实践中，我们还对其他参数施加界限，以防止优化算法探索参数过小或过大的区域。3、结果3.1。Black-Scholes控制变量对风险中性概率被积函数的影响在这里，我们展示了在各种情况下普通看涨期权特征函数被积函数的结果，以证明使用aBlack-Scholes控制变量的优势。我们使用的参数集以标准赫斯顿模型的形式给出，具有常数参数，并于2017年5月23日在市场上进行了校准。校准结果如表1所示。-0.01 0.01 0.02 0.03欧元/美元（a）I1w/无CVw CVEUR/英镑（c）w/无CVw CVEUR/日元（e）w/无CVw CV-25-20-15-10-50欧元/美元（b）0 50 100 LN（| I1 |）φw/o CVw CVEUR/GBP（d）0 50 100φw/o CVw CVEUR/JPY（f）0 50 100φw/o CVw CVFigure 1：（彩色在线）被积函数（顶行）和等式22整数（底行）绝对值的对数，不带（w/o）控制变量（CV）作为Hestonmodel中货币普通看涨期权的扩展参数φ的函数。

成熟度T=1Y的参数取自表1。在图1中，我们显示了公式22的被积函数及其绝对值的对数（有无控制变量）与一年后到期的货币看涨期权的扩展参数φ之间的关系图。被积函数通常表现良好，无论是否使用控制变量方法，都很容易进行积分。尽管控制变量方法将原点处被积函数的大小（φ=0）降低了几个数量级，但它可能导致φ增大，如欧元/英镑的情况所示（见图1（c，d））。在对货币看涨期权定价时，我们没有发现任何数字困难，即使没有控制变量方法。与文献结果[3]相比，这可能是因为我们对赫斯顿-里卡蒂方程的解的公式略有不同（见公式20）。控制变量方法的威力在定价远远超值的期权时更加明显，没有控制变量的被积函数表现得不太好。在图2中，我们显示了公式22中的被积函数的结果，该被积函数适用于执行K=1.3S的现金买入期权。如果没有控制变量，被积函数会显示随扩展参数φ增大而衰减的剧烈振荡。使用控制变量可将原点处的积分幅度降低约八个数量级，并强烈抑制振荡幅度。由于功能评估的数量显著减少，这在数字集成方面带来了巨大的优势。然而，请注意，我们的资金短缺示例代表了一种Somewhatexreme情况，这种情况在实际应用程序中不太可能发生。

然而，它表明，当期权定价涉及较少时，控制变量方法是稳定赫斯顿模型数值的简单方法-0.3-0.2-0.1 0 0.1欧元/美元（a）I1w/无CVw CVEUR/英镑（c）w/无CVw CVEUR/日元（e）w/无CVw CV-20-15-10-50欧元/美元（b）0 50 100 LN（| I1 |）φw/o CVw CVEUR/GBP（d）0 50 100φw/o CVw CVEUR/JPY（f）0 50 100φw/o CVw CVF图2：（彩色在线）被积函数（顶行）和等式22整数（底行）绝对值的对数，不带（w/o）和（w）控制变量（CV）作为Heston模型中带删除线=1.3s的现金普通看涨期权的扩展参数φ的函数。成熟度T=2M的参数取自表1。行为被积函数。3.2. 根据外汇期权市场的期限结构，使用分段常数参数校准赫斯顿模型。在下文中，我们希望对到期时间为100万、300万、600万和1年的欧元/美元窗口障碍期权进行定价。因此，我们需要为这些到期日校准Hestonmodels。我们将每个区间细分为三个子区间（在1Y至到期的情况下为四个子区间），并使用上述方法对每个子区间的分段参数进行校准。结果参数集如表2所示。集合指数（1,2,3,4）对应到期时间（1M、3M、6M、1Y）。第2组和第4组中的0到1M子区间说明了校准程序的稳定性，这些子区间从不同的全局最优参数集开始分段优化，但如果算法稳定，则应得到相同的校准参数，因为它们校准到相同的数据。我们观察到，不同优化运行之间的偏差很小，优化总体稳定（见表2）。

对于较短的到期日（第1组和第2组），校准质量不是很好，校准参数有时接近规定的界限（ρ∈ [-1 : 1], κ ∈ (0, 6]). κ的上限有点艺术化，但它阻止了优化算法探索过大的平均值回归速度，这可能导致校准缓慢。这表明在分段常数Heston模型中，使用小于一个月的非常短的时间间隔是不可取的。对于参数集4，对应于1Y的总体产品到期时间，我们显示了表2的校准和市场报价隐含波动率：根据2013年8月7日市场报价的欧元/美元普通看涨期权校准的分段赫斯顿模型参数。将指数设置为v×100θ×10κρξ1 0 1W 0.7 0.00 2.986-0.064 0.7711W 3W 0.7 0.29 6.000-1.000 0.4843W 1M 0.7 0.00 6.000-0.209 0.6812 0 1M 0.6 0.13 1.539-0.322 0.2811M 2M 0.6 0.12 4.948-0.764 0.1732M 0.6 0.02 1.735-0.288 0.3673 0 2M 0.6 0.09 1.859-0.374 0.2322M 4M 0.6 0.12 3.025-0.549 0.3104M 6M 0.6 0.05 2.855-0.477 0.2034 0 1M 0.6 0.10 1.443-0.321 0.2771M 2M 0.6 0.12 4.985-0.693 0.1982M 6M 0.6 0.07 2.430-0.437 0.2686M 1Y 0.6 0.16 1.613-0.503 0.3287 8 9 10 11 1210P 25P ATM 25C 10C1M（a）σ（%）市场校准10P 25P ATM 25C 10C2M（b）市场校准10P 25P ATM 25C 10C6M（c）市场校准10P 25P ATM 25C 10C1Y（d）市场校准图3：（彩色在线）2013年8月7日，分段赫斯顿模型外汇/美元普通看涨期权的校准隐含波动率。请注意隐含波动率的强劲期限结构，它从短期到长期不断增加。波动率的值以百分比表示，并与普通看跌期权（10P，25P）和普通看涨期权（25C，10C）的差值进行比较。ATM代表货币三角洲。线条是眼睛的向导。

此处所示的隐含波动率对应于表2中的参数集4。图3中的每个时间片。请注意，尽管市场波动性的期限结构很强，从短期到长期都在增加，但校准的质量很好。在这种情况下，具有分段常数参数的赫斯顿模型能够再现市场，并且对于对波动性期限结构敏感的产品，可以预期相对于成熟度校准的莱恩·赫斯顿模型的改进。因此，我们继续对窗口障碍期权进行定价。3.3. 具有分段常数参数的赫斯顿模型中的窗口障碍期权定价最近，Tian等人【15】提出了一种使用随机局部波动模型对窗口障碍期权进行定价的方法，该方法与市场价格表现出良好的一致性。参考文献[15]中包含的参考价格对应于实际交易的期权。这里，我们引用了这些选项的参数和参考价格（表3）。表3：参考价格取自参考文献[15]的窗口屏障选项。