分段常数的赫斯顿随机波动率模型

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英文标题：
《The Heston stochastic volatility model with piecewise constant
  parameters - efficient calibration and pricing of window barrier options》
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作者：
Daniel Guterding and Wolfram Boenkost
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The Heston stochastic volatility model is a standard model for valuing financial derivatives, since it can be calibrated using semi-analytical formulas and captures the most basic structure of the market for financial derivatives with simple structure in time-direction. However, extending the model to the case of time-dependent parameters, which would allow for a parametrization of the market at multiple timepoints, proves more challenging. We present a simple and numerically efficient approach to the calibration of the Heston stochastic volatility model with piecewise constant parameters. We show that semi-analytical formulas can also be derived in this more complex case and combine them with recent advances in computational techniques for the Heston model. Our numerical scheme is based on the calculation of the characteristic function using Gauss-Kronrod quadrature with an additional control variate that stabilizes the numerical integrals. We use our method to calibrate the Heston model with piecewise constant parameters to the foreign exchange (FX) options market. Finally, we demonstrate improvements of the Heston model with piecewise constant parameters upon the standard Heston model in selected cases.
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中文摘要：
赫斯顿随机波动率模型是评估金融衍生品价值的标准模型，因为它可以使用半解析公式进行校准，并捕捉到时间方向结构简单的金融衍生品市场的最基本结构。然而，将模型扩展到与时间相关的参数的情况，这将允许在多个时间点对市场进行参数化，证明更具挑战性。我们提出了一种简单且数值有效的方法来校准具有分段常数参数的赫斯顿随机波动率模型。我们表明，在这种更复杂的情况下，也可以导出半解析公式，并将其与赫斯顿模型计算技术的最新进展相结合。我们的数值格式是基于使用高斯-克朗罗德求积和附加控制变量来计算特征函数，从而稳定数值积分。我们使用我们的方法对外汇期权市场的具有分段常数参数的赫斯顿模型进行了校准。最后，在选定的案例中，我们展示了具有分段常数参数的赫斯顿模型对标准赫斯顿模型的改进。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> The_Heston_stochastic_volatility_model_with_piecewise_constant_parameters_-_effi.pdf (508.71 KB)

2022-6-10 02:37:48 上传

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关键词：波动率模型 波动率 Quantitative Improvements Applications

具有分段常数参数的赫斯顿随机波动率模型-有效校准和窗口屏障期权定价Daniel Guterdinga，*, Wolfram BoenkostaaLucht Probst Associates，Grosse Gallusstrasse 9，60311 Frankfurt am Main，GermanyAbstractheston随机波动率模型是评估金融衍生品的标准模型，因为它可以使用半分析公式进行校准，并捕捉到时间方向结构简单的金融衍生品市场的最基本结构。然而，将该模型扩展到时间相关参数的情况，这将允许在多个时间点对市场进行参数化，证明更具挑战性。我们提出了一种简单且数值有效的方法来校准具有分段常数参数的Heston随机挥发模型。我们表明，在这种更复杂的情况下，也可以导出半解析公式，并将其与赫斯顿模型计算技术的最新进展相结合。我们的数值格式基于使用高斯-克朗罗德求积和附加控制变量计算特征函数，该控制变量可稳定数值积分。我们使用我们的方法，用分段常数参数对外汇期权市场的赫斯顿模型进行校准。最后，在选定的案例中，我们展示了具有分段常数参数的赫斯顿模型对标准赫斯顿模型的改进。关键词：赫斯顿模型、特征函数、窗屏障选项1。引言在过去几十年中，使用随机过程对金融衍生品进行估值已成为行业标准。

对衍生品合约进行估值的主流方法是随机过程的直接蒙特卡罗方法和偏微分方程的有限差分方法，这可以通过费曼-卡克定理从随机过程中推导出来。虽然原则上可以使用这些方法校准任何金融模型的参数，以反映市场条件，但出于效率原因，几乎所有实际使用的模型都依赖于简单竞争值的（半）分析公式，以便于校准。当然，（半）解析可解的模型数量非常有限，扩展可用模型范围的（半）解析校准公式非常理想。*相应的authorEmail地址：daniel。guterding@gmail.com（丹尼尔·古特丁），沃尔夫拉姆。boenkost@l-p-a.com（Wolfram Boenkost）预印本于2019年1月29日提交给Elsevier最重要的定量融资模型是Black-Scholes模型，该模型假设市场的对数正态行为。在过去的几十年中，已经开发了几种随机波动率模型，以克服Black-Scholes模型[1]的缺点，例如波动率缺少微笑或偏差，即其对极端事件概率的低估，以及市场波动方向与波动率之间的相关性减弱。在这些模型中，赫斯顿随机波动率模型[2]起着重要作用，因为它再现了市场的微笑和偏斜，并且可以使用半解析公式快速校准。然而，为了重现波动性的期限结构，必须将赫斯顿模型扩展到时间相关参数的情况。这种时间依赖性的最简单形式是分配给后续时间间隔的分段常数参数集[3,4,5]。

分段恒定的时间依赖性自然反映出市场仅对离散到期的工具报价。然而，据报道，Heston模型的半解析校准公式的数值通常受到被积函数收敛性差等问题的困扰[3，6]。我们打算解决这些问题，并为Heston模型的标定及其对分段常数参数的扩展提供一个简单且数值稳定的方案，同时保留标定过程的半解析性质。当然，我们算法的大部分组件之前都是已知的。然而，我们论文的目的是将这些想法结合到一个简单易用的方案中。我们的手稿组织如下：我们首先介绍特征函数方法[7，8]，并将其应用于Black-Scholes模型的示例。然后，我们将同样的方法应用于赫斯顿模型，并将其扩展到分段常数参数的情况。然后，我们用Black-Scholes控制变量[9]修改了相关公式，该变量抑制了各种积分的被积函数中的振荡，从而实现了计算效率高的实现。此外，我们还解释了分段常数参数情况下的一般校准策略。论文的结果部分说明了控制变量法在数值积分中的优势。然后，我们展示了外汇期权市场的校准结果，特别是带有分段常数参数的赫斯顿模型中校准的波动率Smilewhith。然后，使用校准参数对对对隐含波动率表面的期限结构敏感的窗口障碍期权进行定价。最后，我们总结了我们的研究结果。2、方法2.1。

Black-Scholes模型的特征函数我们从推导Black-Scholes（BS）模型的特征函数开始[1]，这说明了使用特征函数的一般策略。此外，当我们求解Heston模型时，我们稍后将使用BS characteristicfunction作为控制变量。Black-Scholes模型的对数点xt=ln[S（t）]的随机过程由随机过程Dxt定义=研发部- 射频-σdt+σdWt，（1）其中wt是维纳过程，σ是波动率，Rd和Rf分别是本币和外币的利率。应用Feynman-Kac定理，见f.i.参考文献[10]，Black-Scholes框架内期权定价的偏微分方程（PDE）由0=tC+σxxC型+研发部- 射频-σxC公司- rdC，（2）其中C是我们定价的产品的价值，t是从排放开始的时间。我们定义了一个ansatz来求解普通看涨期权的方程，该方程由c（x，τ，K）=exP（x，τ，K）给出- e-rτKP（x，τ，K），（3），其中我们引入了缩写τ=T- t、 这是成熟的时间，r=rd- 射频。看涨期权的行使用K表示。这些术语可以解释为风险中性概率【11，2】。在BS模型中，这些概率可以用闭合形式asPj（x，τ，K）=Φ（dj），（j=1，2）（4a）dj=σ表示√τx个- ln（K）+r+(-1） j-1στ, （4b）其中Φ表示标准正态分布的累积分布函数。然而，我们不会立即使用这些公式，因为我们想说明如何使用特征函数。因此，我们继续计算C（K）的导数。tC=-τC=-e-x个τP- 重新-rτKP+e-rτKτP（5a）xC=exP+exxP系统- e-rτKxP（5b）xxC=exP+2exxP+exxxP型- e-rτKxxP。（5c）将ansatz（等式3）替换为BS定价PDE（等式。

2） 和收集Pand P中的术语，我们发现这些术语必须满足PDEτPj=σxxPj+r+(-1） j-1σxPj公司- rfPj（j=1，2）。（6） 在这一点上，我们介绍了特征函数，该函数稍后将用于求解赫斯顿模型[2]。特征函数fjis通过pj（x，τ，K）=+π与风险中性概率相关∞ZdφRe“e-iφln（K）fj（x，τ，φ）iφ#。（7） 特征函数Fjs与概率Pj具有相同的PDE【2】。因此，我们为fj做了一个ansatz，由fj（x，τ，φ）=exp（Dj（τ，φ）+iφx），（8）给出，其中Dj（τ，φ）是一个必须确定的函数，因此fjtruly的ansatz是定价PDE的解（等式6）。现在我们得到了特征函数的导数。τfj=fjτDj（9a）xfj=iφfj（9b）xxfj=-φfj（9c）用ansatz代替fj（公式8），代替概率Pjinto公式6，我们最终得到Dj的普通微分方程（ODE）。τDj=r+(-1） jσiφ-σφ- rf（10）将此ODE与终端条件D（τ=0，φ）=0进行时间积分【2】我们得到解dj（τ，φ）=r+(-1） jσiφ-σφ- 射频τ. （11） 将此表达式与等式一起使用。原则上，我们可以为普通看涨期权定价。当然，这种方法比直接计算Black-Scholes公式效率要低得多，Black-Scholes公式表示封闭形式的概率Pjin。然而，我们稍后将需要BlackScholes模型的特征函数来稳定Heston模型中特征函数的数值，即当将其用作控制变量时。2.2. 具有分段常数参数的赫斯顿模型的特征函数参考文献[12]给出了标准赫斯顿模型特征函数的简明推导。

在这里，我们集中讨论模型的一个版本，其中过程的参数是时间相关的。dxt公司=研发部- 射频-及物动词dt公司+√vtdWxt（12a）dvt=κ（t）[θ（t）- vt]dt+ξ（t）√vtdWvt（12b）dWxt·dWvt=ρ（t）dt（12c）这里，x再次是对数点xt=ln[S（t）]，vt是瞬时方差，wxt和Wvtare-Wiener过程，ρ（t）是这些过程之间的相关性，κ（t）是均值回归的速度，θ（t）是长期方差，ξ（t）是波动的波动率。对于κ（t），θ（t），ρ（t）和ξ（t）我们假设这些参数在时间间隔[ti，ti+1]内是分段恒定的，并且参数经历离散跳变atti+1，其中下一个参数恒定的时间间隔开始。除了这些分段恒定的参数外，模型还需要初始方差水平v=v（t=0）作为一个输入，我们假设它是非时间相关的，即全局常数。再次应用Feynman和Kac定理，我们得到了具有分段常数参数的Heston模型的pricingPDE 0=tC+vxxC+ξ（t）vvvC+ξ（t）ρ（t）vxvC公司+研发部- 射频-vxC+κ（t）[θ（t）- 五]vC公司- rdC。（13） 与之前提出的BS案例（等式3）类似，我们使用ansatz来解决定价PDE。C（x，τ，K）=exP（x，v，τ，K）- e-rτKP（x，v，τ，K）（14）除了先前通过τ和x计算的导数外（见等式5），我们还计算关于v的导数。vC=ex副总裁- e-rτKvP（15a）vvC=exvvP- e-rτKvvP（15b）xvC=ex副总裁+副总裁xvP公司- e-rτKxvP（15c）将公式14中的ansatz替换为定价PDE（公式。

13） 收集Pand Pwe中的术语发现，在Heston情况下，这些风险中性概率Pj，以及由此定义的特征函数fj，必须满足偏微分方程τPj=vxxPj+ξ（t）vvvPj+ξ（t）ρ（t）vxvPj公司+r+(-1） j-1伏xPj+（a（t）- bj（t）v）vPj公司- rfPj（j=1，2），（16），其中新引入的系数a和bj由a（t）=κ（t）θ（t），b（t）=κ（t）给出- ξ（t）ρ（t）和b（t）=κ（t）。现在，我们使用原始ansatz来表示inRef提出的特征函数。[2] 求解风险中性概率的偏微分方程。这个ansatz是给定的nbyfj（x，v，τ，φ）=exp（Cj（τ，φ）+Dj（τ，φ）v+iφx。（17） 必须确定函数Cj（τ，φ）和Dj（τ，φ），以便ansatz实际求解公式16。为此，我们计算特征函数的导数。τfj=fj(τCj+vτDj）（18a）xfj=iφfj（18b）xxfj=-φfj（18c）vfj=Djfj（18d）vvfj=Djfj（18e）xvfj=iφDjfj（18f）在插入特征函数fj（等式17）的ansatz代替Pjinto等式16后，我们得到了许多与v无关的线性项和其他项。因此，在Heston[2]的原始文件之后，我们为这些项组写下了单独的ODE。因此，线性因子v会消失，由此产生的常微分方程系统不依赖于方差水平。稍后，当数值计算characteristicfunction时，我们将把等式17中的v设置为v=v（t=0）。我们需要求解的常微分方程组现在由τDj=ξ（τ）|{z}=N（τ）Dj+[ξ（τ）ρ（τ）iφ- bj（τ）]|{z}=-Mj（τ，φ）Dj+(-1） j-1iφ-φ|{z}=Lj（φ）（19a）τCj=riφ- rf+a（τ）Dj。（19b）现在我们考虑一个时间间隔[τ，τ]，其中参数κ（t）、θ（t）、ρ（t）和ξ（t）是常数。我们得到dj的ODE解，然后将解插入Cj的ODE中。

定义缩写aj（τ，φ）=q4Lj（φ）N（τ）- Mj（τ，φ）一般初始条件Dj（τ=τ，φ）=dj0和Cj（τ=τ，φ）=cj0的常微分方程组的解可以写成Dj（τ，φ）=2NMj+Ajtan(τ - τ） Aj+arctan2NDj0- MjAj公司（20a）Cj（τ，φ）=Cj0+2N（（τ- τ)aMj+2N（riφ- 射频）- a“ln1+（2NDj0- Mj）Aj！+2lncoshAj（τ- τ） +arctan2NDj0- MjAj公司我#).（20b）这里，为了符号简洁，我们去掉了Aj、Lj、Mj和N对τ和φ的依赖关系。虽然对φ的依赖性仍然存在，但对τ的依赖性仅仅意味着必须插入适当的值，即时间间隔欠考虑常数，以代替参数κ、θ、ρ和ξ。现在让我们假设我们得到了两个到期时间间隔τ，即[0，τ）和[τ，T]，以及每个时间间隔的一组相关常数参数，（κ，θ，ρ，ξ）和（κ，θ，ρ，ξ）。为了计算τ=T时的特征函数fj（τ，φ），即在排放T=0时，我们首先根据方程式20计算Dj（τ，φ）和Cj（τ，φ），初始条件τ=0和Dj0=Cj0=0，并使用参数（κ，θ，ρ，ξ）代替κ（t）、θ（t）、ρ（t）、ξ（t）. 随后，我们通过usingEq获得Dj（T，φ）和Cj（T，φ）。20初始条件为τ=τ，Dj0=Dj（τ，φ）和Cj0=Cj（τ，φ），使用参数（κ，θ，ρ，ξ）代替κ（t）、θ（t）、ρ（t）、ξ（t）. 完成该迭代程序后，可通过将最终Dj（T，φ）和Cj（T，φ）插入式17中来获得特征函数。普通调用价格可以使用等式从特征函数中计算出来。7和14.2.3。Black-Scholes控制变量法用于计算具有分段常数参数的Heston模型的普通香草调用价格参考文献[3]中给出了具有分段常数参数的Heston模型的早期处理方法。

作者得出的结果与前一节中给出的结果相似，但报告了具有必要积分和缓慢收敛行为的数值问题。因此，我们进一步扩展了形式化，使用控制变量的思想来稳定数值，特别是使风险中性概率公式（公式7）中出现的积分更快收敛。我们采用具有分段常数参数的Heston模型中的普通香草看涨期权价格的ansatz（公式14），并以相同普通香草看涨期权的Black-Scholes价格的形式加零，该价格使用直接Black-Scholes公式计算，风险中性概率Pj由Black-Scholes价格通过特征函数表示（使用等式7、8和11）。对于Black-Scholes定价，我们假设σ=√v、 这导致了在具有分段常数参数的赫斯顿模型中，普通普通买入价格的修正公式。C（K）=CBS（K）+ex酸碱度- 美国公共广播电视公司（x，v，τ，K）- e-rτK酸碱度- 美国公共广播电视公司（x，v，τ，K）=CBS（K）+exP（x，v，τ，K）- e-rτKP（x，v，τ，K）（21）数量Pjis是具有分段常数参数的Heston模型和Black-Scholes模型之间风险中性概率的差异。因此，Pjitself不是概率，可以假设为负值。对于通过特征函数Fjj表示的风险中性概率，使用公式7，我们得到Pj的表达式。~Pj（x，v，τ，K）=π∞ZdφRee-iφln（K）iφfHj（x，v，τ，K）- fBSj（x，τ，K）（22）这里，FBSJ是由EQ定义的Black-Scholes模型的特征函数。8，而fHjis是赫斯顿模型的特征函数，具有由公式17定义的分段常数参数。在所有BS术语中，我们使用σ=√v、 控制变量方法的关键点在于，CBS（K）是由风险中性概率（EQ）的闭合表达式计算出来的。