金融市场的多重分形分析

虽然origin a l MMA方法是为MF-DFA设计的，但它显然可以应用于其他多重分形分析方法。MMA方法已被应用于研究道琼斯工业平均指数（DJIA）、纽约证券交易所指数（NYSE）、标准普尔500指数、恒生指数（HSI）的每日收益的多重分形性质，1992年5月12日至2012年5月8日的上海证券交易所综合指数和深圳证券交易所综合指数（SZCI）fr【327328】，以及2000年1月3日至2014年10月1日的九个股票市场（CAC 40、DAX、FTSE 100、HSI、日经225、SSEC、NASDAQ、标准普尔500）[329]。更一般地，该方法等效于计算Fq（s）函数的局部对数斜率s:h（q，s）=lims′→sd-ln-Fq（s′）d-ln-s′（142），广泛用于湍流中结构函数的研究【226229】，以及DFA【330】。当标度范围较窄时，ideato估计局部对数斜率尤其有用，可作为确定标度范围的方法。可以采用不同的数值方法来估计数值。MMA方法中建议的局部对数斜率H（q，s）和移动窗口中的线性拟合就是其中之一。已对金融时间序列进行了实证分析，如WTI原油市场[331]和股市指数[332]，但未提及多尺度多重分形分析的名称。2.5.5. 时间多重分形分析为了量化多重分形谱的演化，可以在移动窗口或滚动窗口中对时间序列进行多重分形分析。我们想强调的是，短窗口大小将降低多重分形量的估计精度，并增加结果的不确定性。

如第8.2.4节所述，时变多重分形质量具有实际意义。或者，熊和张提出了时变多重分形谱分布（TM-MFSD）[333]。关键思想是对瞬时的自相关函数r（i，δ）=E[X]进行多重分形分析*（一）- /2） X（i+/2）]，（143），而不是原始时间序列X（i），其中时间延迟共轭X*（i） 在所分析的序列中，选择X（i）作为窗口函数。为了获得时间序列的时变多重分形谱分布，可以采用前面章节中描述的不同多重分形分析方法，如WTMM【333】、小波前导【334335】、MF-DMA【336】和MF-DFA【337】。本质上，多重分形分析是在移动窗口上用这些方法进行的。2.5.6. 相空间重构非线性动力学中的一种经典方法是将时间序列有效嵌入相空间，并估计相空间中数据点的广义维数dqo【128、148、1、49、338】，但在物理学中应用较少。基于延迟嵌入技术【339】，时间序列X（i）可以转换为向量序列：-→X（j）=[X（j），X（j+τ），····，X（j+（d- 1） τ）]，j=1，····，Nv，（144），其中Nv是相空间中的点（或向量）数量，τ是适当选择的时间d e la y，d是p相空间的嵌入维数。嵌入维数d和延迟τ可以用不同的方法确定【149340–344】。距离R到点i的数据点的相对数量由ci（s）=NvNvXj=1，j，iH计算s--→X（一）--→X（j）, （145）其中，H是Heaviside函数。广义相关积分Cq（s）为[345]Cq（s）=NvNvXi[ci（s）]q-1.1/（q）-1） ，这是相关积分的一般化[128，148，149]。

[338]Dq给出的基因尺寸≡ lims公司→0log Cq（s）log s.（147）Lee调查了1992年3月20日至2007年2月28日期间韩国综合股价指数Kospi 1分钟波动的多重特征[346]。波动性时间序列首先用小波滤波器去趋势化，然后在τ=1和d=1的p相空间中进行多重分形分析，以确认多重分形的存在。2.5.7. 不对称多重分形分析受两种资产之间的相关性通常是不对称的这一典型事实的启发[347–350]，AlvarezRamirez等人开发了不对称多重分形预测分析（A-MF-DFA），以检测单个时间序列中的不对称多重实际标度[351]。在这种方法中，趋势函数是线性的，因此对于公式（116）中的所有i>1，t ai=0。主要目的是计算向上（向下）的函数，其中移动的线性趋势具有非负（负）斜率。从数学上讲，qth阶向上的整体去趋势函数为f+q（s）=P2Nsv=11+kv2NsXv=1“1+kvFv（s）#qq=h【Fv（s）】qi | a≥0，（148）和qth-o顺序向下的总体下降趋势-q（s）=h【Fv（s）】qi | a<0，（149），其中，如果线性趋势（116）的斜率为非负，则kv=1，即≥ 0和kv=-如果斜率a<0，则为1。当Q=0时，我们采用L\'H^Hospital规则，如公式（111）所示。响应广义赫斯特指数可由f±q（s）确定~ sH±（q）。

（150）注意，原始A-MF-DFA方法使用每个v段中残差的mea n绝对值【351】。使用A-M F-DFA方法进行的实证研究调查并证实了1980年5月23日至2008年8月25日的道琼斯工业指数日收益率[352]、1986年1月2日至2010年12月14日的WTI油价[352]、1990年6月19日至2012年4月27日的SSEC ind-ex和1991年4月2日至2012年4月27日的SZCI指数[353]以及道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数和纽约证券交易所的非对称多重分形行为，1991年1月1日至2015年12月31日期间的标准普尔50指数[354]。A-MF-DFA方法可以很容易地扩展到设计非对称多重趋势移动平均分析（A-MF-DMA），其中移动平均值作为趋势函数，方向（或“符号”）的确定与A-MF-DFA方法完全相同【355】。通过计算不同时间尺度下的局部指数，得出非对称多尺度detrended fluction分析，并将其应用于调查1999年和2000年加州电力现货价格的小时回报率[356]。Cao等人开发了非对称多重分形去趋势互相关分析（MF-ADCCA）方法【357】，作为MF-X-DFA方法的非对称扩展（见第3.4节）。该方法已被应用于确定2005年7月22日至2012年1月13日期间SSEC指数每日收益率与六个外汇汇率之间的不对称互相关【357】，2011年6月30日至2013年6月7日期间CSI 300指数的5分钟现货收益率与期货收益率之间的不对称互相关【358】，2003年1月2日至2012年4月27日，上海黄金交易所（Au 99.95）和纽约黄金交易所的黄金现货价格回报率[359]，欧盟碳排放交易产品ETS与。

能源期货——布伦特原油（Bren t）、理查兹湾煤炭（Richards bay coal）、英国基础电力（Electric）和英国天然气（gas）——从2008年1月1日至2012年12月31日【360】、WTI价格的每日回报以及2000年1月4日至2014年12月31日期间对美元的汇率（加元、墨西哥比索、挪威克朗、英镑、日元、澳元、欧元和韩元【361】，2002年1月1日至2014年9月26日期间的上海SSEC和其他四个指数（美国标准普尔500指数、德国DAX指数、IndiaBSESN指数和巴西BVSP指数）[362]，以及2005年1月28日至2016年12月2日期间的WTI原油价格和eightstock merket指数（Bra zil IBOVESPA指数、智利IPSA指数、阿根廷梅尔瓦尔指数、墨西哥IPC指数、哥伦比亚COLCAP指数、秘鲁SPBVL指数、标准普尔500指数和DJIA指数）[363]。Chen和Zheng提出了基于配分函数的非对称联合多重分形分析[364]，作为MF-X-PF方法的扩展（见第3.1节）。这种扩展对于金融波动性来说是可行的，因为人们可以使用相关的回报来确定细分市场中的迹象。2.5.8. 多重分形扩散熵分析时间序列{X（i）}Ni=1的扩散熵分析（DEA）基于香农熵[365–368]，可以通过以sset价格为例来确定。对于给定的扩散时间或时间尺度s，我们计算返回序列X（i，s）=X（i）- X（i）- s） ，i=1，2，···，N- s、 表示s跳跃步的总扩散距离。对于每个s{X（i，s）}Ni=1由长度为（s）的非重叠整数覆盖。选择区间长度（s）作为函数方差平方根的一部分{X（i，1）}，它与时间尺度s无关。

我们计算这些回报的数量Nj（s）第j个区间内的X（i，s）以及通过Pj（s）得出的概率（或频率）≡Nj（s）N- s、 扩散过程的香农熵确定为asI（s）=-NsXj=1pj（s）ln pj（s）。缩放行为为字符iz e d byI（s）~ δlns，其中δ是标度指数。对于分数布朗运动，DEA scalin g指数等于Hurst指数，即δ=H[367]，这对于其他过程（如L'evy过程[367，368]）不一定成立。对于金融资产，似乎需要对其进行再融资，以获得大约δ=H；另一方面，δ将大于0.9【369–371】。还有一个明显的有限尺寸效应，即熵I（s）偏离小尺度的“理论”值，并收敛到大尺度的理论值【368】。利用积分力矩的概念可以克服这一缺点[372]（详情见第5.1.5节）。多重分形分析中DEA的一个自然推广是，用式（16）中表示的R’enyi熵替换香农熵，从而得出多重分形扩散熵分析（MF-DE A），其主要输出是标度指数δ（q）的频谱【373】。类似于基于MF-DFA方法的多尺度多重分形分析[326]（见第2.5.4节），可以设计多尺度多重分形扩散熵分析[374]。MF-DEA方法存在一些缺点[375]。我们注意到δ（q）与众所周知的广义维数Dq没有直接关系。因此，MF-DEA方法揭示了原始时间序列的某些映射中的多重分形，而不是原始时间序列本身的多重分形。在DEA或MF-DEA方法中，概率pj（s）的估计对R’enyi熵的估计以及δ（q）谱的估计有着至关重要的影响【3 76】。

因此，需要对（s）进行非最佳选择[376]。2.5.9. S符号化表示和R’enyi维度Xu和Beck将符号动力学技术应用于财务回报，以确定R’enyi维度或广义维度Dq【377】。有不同的符号化技术可以将金融时间序列{X（i）}Ni=1转换为符号序列。Li和Wang通过考虑价格变化的速度提出了一种方法，价格变化的速度通过角度[378379]进行量化，θi=arctan[（X（i+l) - X（i））/l], （151）属于间隔[-90o, 90o]. 为了表示原始时间序列，我们划分[-90o, 90o] 分成2n个子区间，通常几乎对称，r相对于θ=0o. Li和Wang考虑了四个子区间(-90o, -45o), [-45o, 0o), [0o, 45o), 和[45o, 90o) 以及对应的四个符号D、D、r和r，分别代表价格的快速下跌、缓慢下跌、缓慢上涨和快速上涨。徐安德·贝克的象征方法与之类似【377】。他们建议对返回域进行分区 xi∈(-1，1）到2 n个su-bintervals，映射到2n个符号。当n=1时，两个子区间为(-1，0）和[0，∞) 和对应的两个符号d和u，分别代表价格的下跌和上涨。当n=2时，四个子区间为(-1.-c） ，则[-c、 0、[0，c）和[c，∞], 其中c∈ （0、1）和c∈ [0, ∞] 是参数。请注意，Xu和Beck使用了开放区间，这可能会丢弃一些数据点。此外，回报不能小于-1、对于有限价规则的股票市场，应相应调整子区间。对于任何形式的符号化，如果θiorxi是某一子区间的元素，第i个符号由相应的符号决定。这样，原始时间序列s被映射到符号序列{Si}。符号序列被划分为等长k的NK段。

对于任何给定的k，我们得到ω（k）=（2n）kallowed符号子序列或配置。长度为k的每种配置Cj的发生概率可以确定，表示为pj=p（c=Cj）。徐和贝克回忆了我们都知道的仁义信息[151]Iq=q- 1lnω（k）Xj=1pqj（152），R′enyi d维数dq=limε→0Iqlnε=limε→0lnεq- 1lnω（k）Xj=1pqj，（153），其中ε=（2n）-k、 该方法已应用于1998年1月至2013年5月的几只美国股票（美国铝业、美国银行、通用电气、英特尔、强生、可口可乐和沃尔玛）的每日和1-m价格时间序列，并计算和比较了不同k值的一般维数[377]。3、联合多重分形分析3.1。基于配分函数的多重分形联合分析（MF-X-PF）一个复杂系统通常包含两个或多个不同的多重分形测度，这些测度同时分布在同一个几何支撑上。在湍流中，速度场、温度场和浓度场与节理多重分形测量[266]位于同一空间，其中研究了两个多重分形测量值mx和myover bo x尺寸s的节理动量SH[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2i的标度行为。我们也可以将这种方法称为基于配分函数a方法（MF-X-PF）的多重交叉相关分析[380]。在原始框架中，or是p和q，而不是p/2和q/2。当考虑mx=My和p=q的退化情况时，关节力矩变为h[mx（s，i）]qi，这正好符合第2.1节中提出的配分函数方法。参考文献[381]研究了p=q h的ca-se。

这里也有关于二元情形[382，383]和许多测度的一般情形[384，385]的数学处理。在自然科学中，join t m多重分形分析还被应用于研究农业气象[386387]、二氧化氮和地面臭氧[388]、风型和地面气温[389]以及温度和二氧化氮[390]中地形指数与作物产量之间的联合多重分形性质。3.1.1. 任意（p，q）对的一般形式对于尺寸为s的第i个框中的综合测度mx（s，i）和d mx（s，i），局部奇异强度αx和αy定义为[380]mx（s，i）~ sαx和my（s，i）~ sαy.（154）表示Ns（αx，αy）a s覆盖具有奇点αx和αy的点的邻域所需的盒数，集合的分形维数根据t（αx，αy）确定~ s-f（αx，αy），（155）其中f（αx，αy）是两个奇点的联合分布[266]，或联合多重分形谱。通过联合配分函数[380]χxy（p，q，s）=Xt[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2，（156）我们可以得到联合质量指数函数τxy（p，q）作为χxy（p，q，s）~ sτxy（p，q）。（157）将公式（154）插入关节分区函数，将和重写为αx和αy上的二重积分，然后应用最速下降法估计小s值下的积分，我们得到τxy（p，q）=pαx/2+qαy/2- f（αx，αy），（158），其中 f（αx，αy）/αx=p/2和 f（αx，αy）/αy=q/2。（159）取等式（158）对p或q的偏导数，我们得到τxy（p，q）/p=αx/2和τxy（p，q）/q=αy/2。（160）然后我们可以得到双勒让德变换：αx（p，q）=2τ（p，q）/p和αy（p，q）=2τ（p，q）/q、 （161a）和f（αx，αy）=pαx（p，q）/2+qαy（p，q）/2- τxy（p，q）。

（161b）从对数角度来看，我们可以通过定义两个c标准度量uxy（p，q，s，i）=[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2Pt[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2来直接获得f（αx，αy）函数。（162）两个奇点强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可通过对数-对数标度中的线性回归计算，使用以下方程：αx（p，q）=lims→0Piuxy（p，q，s，i）ln mx（s，i）ln s，（163a）αy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，i）ln my（s，i）ln s，（163b）fxy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，i）lnhuxy（p，q，s，i）iln s.（163c）关节质量指数函数可使用以下等式获得：。(158).3.1.2. 二项式测量的分析结果Xie等人使用m Multi钳子PX和py推导了二项式测量的分析结果[380]。他们发现，大小为s=2l的框中的两个综合度量值mx（s，i）和my（s，i）通过mx（s，i）=C（s）hmy（s，i）iβ=e显式地与d相关-γLsγ/ln 2hmy（s，i）iβ，（164），其中2l是时间序列的长度，β=ln px- ln（1- px）ln py- ln（1- py），（165）和γ=βln（1- py）- ln（1- px）。（166）当px+py=1时，我们的β=-当px=py时，β=1，C（s）=1。当px和Py均小于0.5或小于0.5时，即（px- 0.5）（py- 0.5）＞0，则β＞0；否则，当（px- 0.5）（py- 0.5）<0，我们有β<0。联合质量指数函数表示为[380]τxy（p，q）=pγ2 ln2+τy（q）=pγ2 ln2-ln【pQy+（1- py）Q]ln 2。（167）其中q=βp/2+q/2（168）和τy（q）=-ln【pQy+（1- py）Q]/ln 2。（169）它遵循tαx=γln 2-βln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q（170）和αy=-ln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q.（171）我们立即得到αx和αy之间的关系，αx=γln2+βαy，（172），这表明fxy（αx，αy）是沿着这条线的曲线，而不是曲面，线段（172）是fxy（αx，αy）在（αx，αy）平面上的投影。Xie等人。