金融市场的多重分形分析

（232）据报道，该方法对双组分ARFIMA过程和二项测量很有效。CDFA方法已应用于2006年2月2日至2007年7月31日期间德黑兰四种空气污染物（NO、NOx、总碳氢化合物含量THC和O）的小时浓度【428】，1998年12月14日至2011年1月31日期间，三种货币（欧元/美元、英镑/美元和日元/美元）的每小时汇率【428】，2009年1月2日至2013年10月1日，三个仓库（YZ、JS和BY）的钢铁产品每日出库数量记录【430】，以及2003年7月1日至2015年3月1日，四个亚洲股市指数（SSEC、日经225、KOSPIand Indian SENSEX）的每日收盘价数据【431】。3.5. 多重分形互相关分析（MF-CCA）O'swie,cimka等人认为，大多数现有的互相关分析方法往往存在严重的局限性，即在没有多重分形cro-ss相关性的情况下，报告虚假的多重分形cro-ss相关性[109]。为了弥补这一缺陷，他们提出了多重分形互相关分析（MF-CCA），将波动符号Fv（s）纳入整体去趋势波动Fxy（q，s）：Fxy（q，s）=NsNsXv=1信号（Fv（s））| Fv（s）| q1/q，q，0NsXv=1sign（Fv（s））ln | Fv（s）| PNsv=1sign（Fv（s）），q=0（233），其中PNsv=1sign（Fv（s）），在许多情况下。当Fxy（q，s）对每s为负时，1表示-Fxy（q，s）相对于对数-对数图中的s【109，140】。MF-CCA方法是去趋势互相关分析的一种直接、自然的多重分形，当q=2时可恢复该方法[140]。

对耦合Darfima过程和耦合Mar-kov切换多重分形（MSM）过程的数值实验验证了MF-CCA在提取两个时间序列的联合单分形或多重分形性质方面的适用性。结合多重分形时间加权衰减分析（MF-TWDFA）[293]和多重分形交叉相关分析（MF-CCA）[109]，Wei等人设计了多重分形时间加权去趋势互相关分析（MFTWXDFA），以量化两个时间序列中的幂律互相关，并通过对双变量分形布朗运动、耦合ARFIMA过程和多重分形二项测度的数值实验，证实了M FT WXDFA方法的有效性【432】。该方法用于证实2001年1月4日至2016年9月30日三对斯托克指数日收益率（标准普尔500指数和富时100指数、标准普尔500指数和日经225指数、标准普尔500指数和恒生指数）中存在联合多重分形[432]。使用有符号函数的想法也适用于其他方法，如MF-X-DMA和M F-X-SF。事实上，Wanget al.提出了一种MF-X-SF（q）方法的变体，该方法考虑了结构函数定义中创新符号的信息【110】：K′xy（q，s）=签署[X（i，s）Y（i，s）]|X（i，s）Y（i，s）| q. （234）应谨慎对待该定义，因为K′xy（q，s）并非在所有q上定义∈ R值及其值应为负值，以便比例关系（194）不成立。如果发生这种情况，人们可能会争辩说，两个时间序列之间没有交叉相关标度[110]。3.6. 多重分形去趋势部分互相关分析（MF-DPXA）观察到的两个时间序列之间的长程幂律互相关可能不是由其内在关系引起的，而是由共同的第三驱动力或常见的外部因素引起的【433–435】。

如果两个时间序列上常见外部因素的影响是相加的，我们可以使用偏相关来衡量它们的内在关系【436】。为了提取受共同驱动力影响的两个时间序列之间内在的长程幂律互相关，刘发展了去趋势部分互相关分析（DPXA），该分析结合了DCCA和偏相关的思想，并研究了变量情况下的DPXA指数[437]。DPXA方法由Yuan等人独立提出【438】。Qian等人将DPXA推广到多重分形时间序列的分析中，得出了多重分形d e趋势部分互相关分析（MF-DPXA）[439]。假设两个平稳的y时间序列{x（t）：t=1，····，N}和{y（t）：t=1，····，N}，如retu rns，取决于由i=1，····，N的时间序列{zi（t）：t=1，2，·······，N}所表征的共同外部驱动因子。每个时间序列被划分为大小为s的N=int[N/s]个不重叠的w窗口。对于每个风向，说出vthwindow[lv+1，lv+s]，其中lv=（v- 1） s，我们分别校准了xvand-yv的两个线性回归模型，（xv=Zvβx，v+rx，vyv=Zvβy，v+ry，v，（235），其中xv=[xlv+1，…，xlv+s]T，yv=[ylv+1，…，ylv+s]T，rx，vand ry，vare残差向量，和Zv=zTv，1。。。zTv，p=z（lv+1）···zn（lv+1）···z（lv+s）···zn（lv+s）（236）是第v个窗口中n个外力的矩阵，其中x是x的变换。我们获得了n维参数向量βx，vandβy，vand残差序列（rx，v=xv）的估计值- Zv^βx，vry，v=yv- Zv^βy，v。

（237）我们进一步获得残差函数，即，（Rx，v（k）=Pkj=1rx（lv+j）Ry，v（k）=Pkj=1ry（lv+j），（238），其中k=1，··，s。假设erx，vandeRy，vare分别是Rx，vand Rx，v的局部趋势函数，则每个窗口中的去趋势部分互相关可以计算为fv（s）=ssXk=1hRx，v（k）-eRx，v（k）ihRy，v（k）-eRy，v（k）i，（239），qth阶去趋势部分互相关为fxy:z（q，s）=Ns系列- 1 NSXV=1 | Fv（s）| q/2当q，0和fxy:z（0，s）=exp时，为1/q（240）NsNsXv=1ln | Fv（s）|（241）当q=0时。然后我们期望缩放关系fxy:z（q，s）~ sHxy:z（q）。（242）根据标准多重分形形式，多重分形质量指数τ（q）可以用来描述多重分形特性，即τxy:z（q）=qHxy:z（q）- Df，（243），其中Df=1是时间序列几何支撑的分形维数【139】。如果τ（q）是q的非线性函数，则时间序列的部分c-ross相关性是多重分形的。根据Legendre变换，我们得到了奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）为[132]（αxy:z（q）=dτxy:z（q）/dqfxy:z（q）=qαxy:z- τxy:z（q）。（244）MF-DPXA方法是M F-DCCA方法的扩展。当地趋势的不同选择导致不同的变体。当MF-DPXA用DFA或DMA实现时，我们得到MF-PX-DFA或MF-PX-DM A。通过使用两个被高斯噪声污染的二项式测度（符号噪声比非常低），数值实验表明，MF-DPXA比MF-DCCA具有显著优势【439】。还可以很容易地将DPXAidea扩展到其他联合多重分形分析方法。因此，应调查和比较不同MF-DPXA方法的性能。多重分形模型4.1。乘性级联模型4.1.1。

确定性多项式模型多复制级联模型生成以递归方式构造的多项式测度【123】。金融市场中存在乘法级联，因为有证据表明因果信息级联从大尺度到小尺度[440441]。乘法级联过程从区间[0，1]开始，测量值均匀分布。在不损失一般性的情况下，假设区间上的总测度为1。首先，将区间划分为长度为{si:i=1，···，b}的b段，并在每个段上重新分配度量值，以便第i段上的度量值为mi。在第二次迭代中，将每个段划分为两个较小的段，并以相同的方式重新分配对其的度量。这一过程深入到整体，产生多尺度多项式测度。质量指数函数可通过以下等式【132】求解：bXi=1mqisτ（q）i=1。（245）在该迭代过程中，不需要daugh te r段来覆盖母段。因此，我们有bxi=1si≤ 1和Bxi=1mi=1。（246）可以证明dτ（q）/dq>0dτ（q）/dq6 0，（247），其中等式“=”成立，当且仅当所有ln mi/ln siterm相同时。在这种情况下，度量值均匀分布在支撑上，并且是单分形的，因此τ（q）是q的线性函数。根据式（21），我们得到了dq≡ D=Df，表明dqi与q无关。由于α（q）=τ′（q），w的α′（q）=τ′（q）=0，表明奇点宽度αmax- αmin=0。很容易验证，当q=0和q=1时，τ（0）=-1和τ（1）=0（248）分别是等式（245）的解。由于τ（q）是多重分形q的单调递增函数，这些解是唯一解。

对于Dqfunction，我们有Ddq/dq 6 0，（249），其中等式成立当且仅当所有ln mi/ln siterm都是id entical。此外，限制D+∞和D∞存在时q→ ±∞ , 哪个readD+∞, limq公司→+∞Dq=最小{ln-mi/ln-si}（250a）和D-∞, limq公司→-∞Dq=最大值{ln mi/ln si}。（250b）对于α（q）函数，我们有dα（q）/dq 6 0，（251），其中，当d仅当所有ln-mi/ln-siterm相同时，等式成立。此外，极限α(+∞) 和α(∞) 存在时q→ ±∞ , 读数为【123】αmin=α+∞, limq公司→+∞α（q）=mini{ln-mi/ln-si}（252a），αmax=α-∞, limq公司→-∞α（q）=最大值{ln-mi/ln-si}。（252b）注意，α（q）函数的形状与dqf函数非常相似。对于f（α（q））函数，关系d f（α）/dα=q仍然成立，fmax=f（q=0）=1。此外，我们有f（α（q））>0df（α）/dα6 0，（253），其中第二个公式中的等式成立，当且仅当所有ln-mi/ln-siterm相同。这些性质的证明见参考文献。【57】及其参考文献。这里讨论的多重分形测度是保守的。非保守多重分形测度表现出不同的性质【442】。当所有i的si=1/b时，我们有τ（q）=-lnPbi=1mqiln b.（254）广义维数函数dqa和广义Hurst指数函数H（q）可根据式（8）和式（9）显式表示。根据式（7a），我们有α（q），dτ（q）dq=-Pbi=1mqiln miPbi=1mqiln b.（255）多重分形谱f（α）也可以使用公式（7b）从参数q显式表示。4.1.2. p模型经济物理学中使用最广泛的多重分形模型是以递归方式生成多重分形二项测度的p模型[324]，它也经常用于测试不同多重分形方法的性能。p模型是b=2，s=s=1/2的确定性乘性级联模型的特例。

为了构造二项式测量值e，从第0次迭代k=0开始，其中数据集z（i）由一个值z（0）（1）=1组成。在第k次迭代中，数据集{z（k）（I）：I=1，2，·····，2k}是从z（k）（2i）得到的- 1） =pzz（k-1） （i）z（k）（2i）=（1）- pz）z（k-1） （i）（256）对于i=1，2，····，2k-1.de Wijs在1951年对二项式测度进行了早期构造[124，443，4 44]。当k→ ∞, z（k）（i）接近一个二值测度。根据式（2 45），我们得到τ（q）=-ln[mq+（1- m） q]/ln2（257）可分别使用式（8）和式（9）获得dqa和H（q）的解析表达式。根据式（7a）和式（7b）中表示的伦德变换，我们得到α（q）=-mqln m+（1- m） qln（1- m） [mq+（1- m） q]ln 2。（258）和f（α）=- qmqln m+（1- m） qln（1- m） [mq+（1- m） q]ln 2+ln[mq+（1- m） q]ln 2（259）=-αmax- ααmax- αminlogαmax- ααmax- αmin！-α - αminαmax- αminlogα- αminαmax- αmin！。（260）等式（260）由Calvet等人（445）推导得出。现在，我们对m=0.3，长度N=2的二项测量进行多重分形分析。图8（a）显示了该测量的前1000个数据点。利用竞争函数法和直接测定法进行了比较。我们首先研究了配分函数方法。图e8（b）说明了在-10到1 0的不同q值下，χ（q，s）在s标度上的幂律依赖性。所有不同q值的曲线在较宽的标度范围内都具有良好的幂律标度。通过lnχ（q，s）与ln s的线性回归得到的斜率是τ（q）的估计值，如图8（e）所示。我们使用图8（f-i）中所示的元素变换，获得了Dqusing公式（21）、α（q）、f（q）和f（α）。根据直接测定方法h，图。

图8（c）绘出了π（q，s，i）ln【m（s，i）】对s的依赖关系，图8（d）π（q，s，i）ln【u（q，s，i）】对sin线性对数坐标的依赖关系，其中m（s，i）是尺寸s第i框中的总度量，u（q，s，i）是相应的规范度量。我们还观察到良好的线性。图8（c）和图8（d）中线性函数的斜率分别为α（q）a和f（q）的估计值，也如图8（g）和图8（h）所示。我们通过Legendretransform获得τ（q），并根据等式（21）获得dqa，这分别如图8（e）和图8（f）所示。在图8（e）中，wealso markτ（0）=-1和τ（1）=0，而在图8（i）中，我们显示f′（α）| q=0=0和f′（α）| q=1=1。在图8（e-i）中，我们还显示了相应的分析函数。很明显，经典的分函数方法和直接确定方法都以非常高的精度完美地揭示了组分测度的多重分形性质。请注意，s值的选择对结果有着至关重要的影响，因为对数周期振荡不确定二项测度[274]，这将在第5.4.1.3节中讨论。随机多项式模型：离散乘数分布我们可以在乘法过程中引入随机性来构造随机多项式模型[123126127446]。我们关注的是单尺度情况，即一段被划分为长度相同的b个子段。在第一步，度量值u=1的单位分段被划分为b个不重叠的子分段。利用概率p′i，将度量m′i，1，····，m′i，bare分配给这些子分段。有k个概率使得构造矩阵表示为asCRM=m′1,1···m′1，bp′。

.m′k，1···m′k，bp′k（261）0 200 400 600 800 100000.0050.010.0150.020.0250.03ty（a）10010210410610-50100105010100sχ（q，s）（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10100102104106-25-20-15-10-50sPtu（q，s，t）ln【m（s，t）】（c）q=- 10q=- 4q=- 2q=0q=2q=4q=10100102104106-12-10-8.-6.-4.-20sPtu（q，s，t）ln[u（q，s，t）]（d）q=- 10q=- 4q=- 2q=0-10-5 0 5 10-20-15-10-50510qτq（e）直接测定配分函数分析结果q=0，τ=-1q=1，τ=0-10-5 0 5 100.40.60.811.21.41.61.8qDq（f）直接测定分配功能分析结果-10-5 0 5 100.40.60.811.21.41.61.8qαq（g）直接测定分配功能分析结果-10-5 0 5 1000.20.40.60.811.2qfq（h）直接测定分区功能分析结果0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 200.20.40.60.811.2αf（α）（i）直接测定分区功能分析结果Q=0q=1图8：（彩色在线）m=0.35的确定性二项测度的多重分形分析。（a） binomialmeasure的前1000个数据点。（b） 对于不同的q值，χ（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（c） π（q，s，i）ln【m（s，i）】对ln s的线性依赖性。（d）π（q，s，i）ln【u（q，s，i）】对lns的线性依赖性。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 广义维数Dq。（g） 奇异强度函数α（q）。（h） f（q）函数。（i） 多重分形奇异谱f（α）。在图（e-i）中，用两种类型的标记表示的结果是从经典配分函数法和直接测定法中获得的，在这两种方法中，我们还显示了相应的用等式表示的分析函数。(257-260).第二步，将每个b子段划分为长度为1/b的b段。对于第i个子段，概率p′j，度量值为m′i，1m′j，1，··，m′i，bm′j，b。

这一过程最终导致随机多项式测量。让m（i-1） b+j=m′i j，p（i-1） b+j=p′i，n=kb，我们重写等式（261）asCRM=m···m（i-1） b+j···mnp···p（i-1） b+j···pn！（262）注意Pni=1pi=b。质量指数函数τ（q）是以下方程的解：Γ（q，τ）=nXi=1pimqi jnτ=1。（263）紧接着τ（q）=-lnPni=1pimqiln.（264）0 1 2 30.0050.010.0150.02-6-4-2 0 2 4 6-15-10-50 0.5 1 1.5 2.5-0.50.5图9：由随机二项模型生成的时间序列的多重分形特性，其中m′1=0.3，p′=0.4，m′2,1=0.8，p′=0.6，在等式（261）中。（a） 随机二项测度的一种实现。（b） 质量指数函数τ（q）。（c） 多重分形奇异谱f（α）。广义维数函数dq和广义Hurst指数函数H（q）可由式（8）和式（9）显式表示。根据式（7a），我们有α（q），dτ（q）dq=-Pni=1Pimkilln miPni=1Pimkilln n.（265），因此，所有多重分形量都有解析表达式。在图9中，我们举例说明了随机二项测度及其多重分形性质。一个有趣的特征是负维f（α）<0的存在。我们将在稍后的第5.2.3.4.1.4节中讨论此问题。S-tochastic多项式模型：连续m乘子分布当乘子具有连续分布时，我们得到了一大类随机乘法级联模型【123】。著名的对数正态模型起源于流体力学[133447]。对于对数正态二项度量[104445448]，乘数遵循对数正态分布，其中对数乘数具有平均值λ和方差σ。质量指数函数为τ（q）=-σln 2q+λq- 1（266），奇点谱isf（α）=1-(α - λ） 2 ln 2σ。