金融市场的多重分形分析

获得【380】αy，min=limQ→∞αy=最小值(-在pyln 2，-ln（1- py）ln 2）αy，max=limQ→-∞αy=最大值(-在pyln 2，-ln（1- py）ln 2）（173）使得αyis的奇异谱的宽度αy=ln（1- py）- 年产量第2层。（174）py=0.5时，αy=0。在这种情况下，度量既不是多重分形，也不是单分形，因为它在支架上均匀分布αx，min=limQ→∞αx=最小值(-ln pxln 2，-ln（1- px）ln 2）αx，max=limQ→-∞αx=最大值(-ln pxln 2，-ln（1- px）ln 2）（175）此外，多重分形谱fxy（αx，αy）可以表示为[380]fxy（αx，αy）=ln 2Q1.-pypy公司昆士兰py1-py公司+\"1 +1.-pypy公司Q#ln“1+1.-pypy公司Q#1+1.-pypy公司Q、 （176）紧接着是fxy（Q=0）=1和fxy（Q）=fxy(-Q） ，（177），其中fxy（Q），fxy（αx，αy；Q）。假设fxy（αx，αy）相对于线Q=0对称。此外，还发现LIMQ→±∞fxy（p，q）=0。（178）当Q<0时，d fxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调递增函数。当Q>0时，d fxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调递减函数。因此，fxy（Q）的最大值为1，最小值为0.3.1.3。基于统计矩的多重分形c-ross相关分析（MFSMXA）在参考文献[381]中提出，实际上是MF-X-PF（p，q）的一个特例，其中p=q。我们称之为MF-X-PF（q），以表示一致性[380]。在这种情况下，我们有τxy（q）=q（αx+αy）/2- fxy（αx，αy），（179），其中 fxy（αx，αy）/αx= fxy（αx，αy）/αy=q/2。（180）取式（179）对q的导数，应用式（180），我们得到τxy（q）dq=αx+αy。（181）定义αxy，[αx（q）+αy（q）]/2，（182）我们得到αxy=dτxy（q）/dq，（183a）和fxy（αxy（q）），fxy（αx，αy）=qαxy（q）- τxy（q），（183b），这是L egendre变换。证明了[380]τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2，（184）和fxy（q）=[fx（q）+fy（q）]/2。

（185）我们将广义联合赫斯特指数Hxy（q）定义为τxy（q）=qHxy（q）- 1.（186）它遵循tHxy（q）=Hx（q）+Hy（q），（187），其中Hx（q）和Hy（q）是mx和my的广义Hurst指数。使用MF-X-DFA方法【141】、MF-X-D方法【105】和p=q的MF-X-PF方法【381】对这些关系进行了数值观察。如果我们能够确定标准测量值uxy（q，s，i）=[mx（s，i）my（s，i）]q/2Pt[mx（s，i）my（s，i）]q/2。（188）可以直接计算两个奇异强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）：αxy（q）=lims→0Ptuxy（q，s，i）ln[mx（s，i）my（s，i）]1/2ln s=αx（q）+αy（q），（189a），其中等式（163a）和等式（163b）用于第二个等式，fxy（αxy（q））=lims→0Ptuxy（q，s，i）lnhuxy（q，s，i）iln s.（189b）接头质量指数函数可使用以下等式获得：。（183b）。熊和尚提出了加权MF-X-PF（q）方法（W-MFSMXA）[391]。他们对双指数ARFIMA过程、二项式测度和NBVP时间序列的数值实验表明，W-MFSMXA在相对较短的时间序列上略优于MF-X-PF（q）。3.2. 节理结构功能分析（MF-X-SF）3.2.1。任意（p，q）对的一般形式基于结构函数法的联合多重分形分析，称为MF-X-SF，也有其根膨胀性，其中引入了速度和温度的联合结构函数，以研究加热湍流射流中温度场和速度耗散场之间的互相关[392393]。对于i=1，2，····，N的两个自相似时间序列X（i）和Y（i），（p，q）-阶联合结构函数定义为kxy（p，q，s）=DX（i，s）p/2Y（i，s）q/2E=N- s+1NXi=sX（i，s）p/2Y（i，s）q/2，（190）其中X（i，s）=X（i）- X（i）- s） 以及Y（i，s）=Y（i）- Y（i- s） 。

一些研究人员将p=1的特殊情况称为类似多重分形互相关分析（AMF-XA）[394]，其中作者明显不知道以前的工作[392395]。因为创新X和Y可以是负的，结构函数Kxy（p，q，s）通常定义在p和q的正整数上。因此，使用绝对创新定义关节结构函数Kxy（p，q，s）=D更方便|X（i，s）| p/2|Y（i，s）| q/2E=N- s+1NXi=s|X（i，s）| p/2|Y（i，s）| q/2，（191），这在结构-函数方法以及多重分形高度互相关分析（MFHXA）中被广泛采用【395】。如果联合结构函数Kxy（p，q，s）与标度之间存在标度关系，我们可以将标度指数函数τxy（p，q）定义为Kxy（p，q，s）~ sζxy（p，q）=sτxy（p，q）+1，（192），这是MF-X-PF（p，q）方法的一个分析。我们进一步将奇异函数αx（p，q）和αy（p，q）分别定义为τxy（p，q）对p和q的偏导数，如等式（161a）所示。奇异谱函数fxy（p，q），fxy（αx，αy）可以在等式（161b）中得到。我们注意到，很难以一致的方式定义广义赫斯特指数Hxy（p，q）。多重分形随机游动考虑了连接结构函数方法[396]。3.2.2. Kristoufek提出了p=q时MF-X-SF（p，q）方法的c ase p=qA特例，称为多重分形高度互相关分析[395]。为了保持一致性，我们将其称为MF-X-SF（q）应用程序漫游。在这种情况下，qth阶关节结构函数由kxy（q，s）=D定义|X（i，s）Y（i，s）| q/2E=N- s+1NXi=s|X（i，s）Y（i，s）| q/2。

（193）如果联合结构函数Kxy（p，q，s）和标度s之间存在标度关系，我们可以将标度指数函数τxy（q）定义为Kxy（q，s）~ sτxy（q）+1=sqHxy（q），（194），其中Hxy（q）是广义二元Hurst指数或广义联合Hurst指数。在一定条件下，我们有[395]Hxy（q）=Hx（q）+Hy（q）。（195）我们通过勒让德变换定义了联合奇点函数及其谱：αxy=dτxy（q）/dq，（196a）和fxy（αxy）=qαxy- τxy。（196b）如果公式（195）成立，根据τx（q）=qHx（q）的定义，我们得到τxy（q）=τx（q）+τy（q）（197）- 1，τy（q）=qHy（q）- 1和τxy（q）=qHxy（q）- 根据αx（q）=dτx（q）/dq、αy（q）=dτy（q）/dq和αxy（q）=dτxy（q）/dq的定义，αxy（q）=αx（q）+αy（q）（198）。它遵循fr omEq。（196b）fxy（αxy）=fx（αx）+fy（αy）。(199)3.3. 多重分形小波相干分析（MF-WCA）3.3.1。交叉小波变换和小波相干分析Hudgins等人引入了两个时间序列{Xi}Ni=1和{Yi}Ni=1的cro-ss小波变换（XWT）。以研究大气湍流中的高度间歇性模式，该模式由Wxy（s，i）=Wx（s，i）Wy（s，i）定义。（200）交叉小波幂isPxy（s）=kWxy（s，i）k.（201）小波相干度ceρxy（s）定义为ρxy（s）=kWxy（s，i）kkWx（s，i）kkWy（s，i）k=PNi=1 | Wx（s，i）Wy（s，i）|PNi=1Wx（s，i）1/2PNi=1Wy（s，i）1/2. （202）小波相干性能够揭示时频域中两个时间序列之间的协同运动，这在金融和经济领域得到了广泛应用【398–400】。3.3.2. 与MF-X-PF方法类似，Jiang等人设计了多重分形交叉小波分析[401]。它推广了小波相干性的概念，构造了如下联合配分函数：χxy（p，q，s）=NXi=1 | Wx（s，i）| p/2 | Wy（s，i）| q/2。

（203）对配分函数的定义使我们能够揭示不同范围下的相干性和尺度之间更复杂的关系，这对应于交叉多重分形行为。如果基础过程是联合多重分形的，则结果是标度：χxy（p，q，s）~ sTxy（p，q），（204），其中Txy（p，q）是关节质量指数函数，可通过在给定对（p，q）的标度范围内，将lnχxy（p，q，s）与lns回归来估计。类似于联合多重分形分析中的双Legendre变换，基于p分函数pRoa c h MF-X-PF（p，q）[380]，我们定义了联合奇异应力函数hx和hyhx（p，q）=2Txy（p，q）/p、 （205）hy（p，q）=2Txy（p，q）/q、 （206）和多重分形谱Dxy（hx，hy）Dxy（hx，hy）=phx/2+qhy/2- Txy。（207）当p=0且q=0时，式（203）中的联合部分函数等于小波系数的数量，或等于原始序列的数据点总数。换句话说，我们有χxy（0，0，s）=N，（208），结果是inTxy（0，0）=0。（209）在对照试验中，在MF-X-PF（p，q）方法中，τxy（0，0）=-因此，Txy（p，q），τxy（p，q）。（210）由此可以看出，从MF-X-WT（p，q）方法获得的hx（p，q）、hy（p，q）和d Dxy（hx，hy）与从MFXPF（p，q）方法获得的联合奇异强度αX（p，q）、αy（p，q）和联合多重分形谱fxy（αX，αy）是不同的。类似于配分函数方法[157158]，我们可以使用hx（p，q）=lims直接估计联合奇异强度hx和hy以及联合多重分形谱Dxy（p，q）→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wx（s，i）|，（211）hy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wy（s，i）|，（212）Dxy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）lnuxy（p，q，s，i）。

（213）式中，uxy（p，q，s，i）=wx（s，i）| p/2 | wy（s，i）| q/2χxy（p，q，s）。因此，我们可以直接从方程组中确定联合奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q）以及联合多重分形函数Dxy（p，q）。（211–213）通过线性回归。对两个多重实际二项测度进行的大量数值实验揭示了文献[380]中推导的MF-X-PF（p，q）的理论联合多重分形公式与MF-X-WT（p，q）[401]的经验联合多重分形特征之间的联系：Txy（p，q）+p/2+q/2- 1=τxy（p，q），（214）hx（p，q）+1=αx（p，q），（215）hy（p，q）+1=αy（p，q），（216）Dxy（hx，hy）+1=fxy（αx，αy），（217），其中τxy（p，q），αx（p，q），αy（αx，αy）在式（167），式（17 0），式（171）和式（176）中给出。虽然MF-X-WT（p，q）方法能够成功识别时间序列中的单分形或多重分形互相关，但结果显示与理论结果的偏差不可忽略[401]。然而，对金融回报和金融波动性的实证应用揭示了明显的交叉多重分形[401]。3.3.3. MF-X-WTMM基于WTMM的联合多重分形分析的实现并不简单。我们可以方便地确定X（i）和Y（i）的两组模极大值线Lx和Ly。然而，Lx和Ly之间没有一一对应关系，因为在给定的尺度下，两个时间序列的最大模数不同。林安·谢里夫找到了一个很好的解决方案，通过将LX和Ly中的mo-dulusmaxima线正确配对来克服这一困难【402403】。如果Lx和Lya中的两条模极大值线在时间坐标中彼此接近，则它们是成对的。

因此，联合竞争函数可以定义为[402]Zp，q（sj）=NjXk=1 | Wx（ij，k，sj）| p | Wy（ij，k，sj）| q，（218），其缩放为幂律，对应于缩放：Zp，q（s）~ sτxy（p，q）（219）注意，我们使用p和q代替参考文献[402]中的p/2和q/2。在这种情况下，勒让德变换表示为[402]αx=τ（p，q）/p、 αy=τ（p，q）/q、 （220a）和f（αx，αy）=pαx（p，q）+qαy（p，q）- τ（p，q），（220b），其中p= f级/αx和q= f级/αy。MF-X-WTMM方法的有效性通过耦合随机b inomialcascades的数值实验得到证实【402】。耦合随机二项式ca数据由一个耦合的应力参数g表示∈ [0，1]，其中g=0和g=1分别代表未耦合和完全耦合的TIME系列[266]。他们的数值结果表明，在完全耦合的情况下，f（αx，αy）谱坍缩成一维曲线，这与公式（172）[380]的分析结果非常一致。3.3.4. 由于多重分形小波变换分析的固有缺陷，不建议将MF-X-WT（p，q）用于多重分形互相关分析。除了MF-X-WTMM方法外，一种合适的替代方法是小波导程[256–261]。Jiang等人将MF-WL方法推广到基于两个矩阶p和q的小波前导的联合多重分形分析，称为MF-X-WL（p，q）[404]。首先获得小波导程lx（j，k）和l不同尺度下{Xi}和{Yi}的y（j，k）s=2j，然后将阶数p和q的联合动量定义为[404]Mxy（p，q，j）=njnjXk=1lx（j，k）p/2ly（j，k）q/2，（221），其中nj是尺度s=2j的小波前导数。当X=Y和p=q时，我们重新讨论了基于第2.3.3节中介绍的小波导函数的传统多重分形形式。

与其他类似方法一样，进一步的比例分析遵循常规方法。通过数值实验发现，MF-X-WL（p，q）方法可以成功地检测出二项测度中的联合多重分形和二元分数布朗运动中的单分形[404]。该方法还用于研究道琼斯工业平均指数（DJIA）和纳斯达克指数（NASDAQ）日收益率之间以及日波动率之间的联合多重分形。MF-X-WL（p，q）方法对正负（p，q）值均有效。然而，该方法似乎不能提供非常准确的结果。3.4. 多重分形去趋势互相关分析（MF-DCCA）受波多布尼克（Podobnik）和斯坦利（Stanley）关于去趋势互相关分析的开创性工作【140】的启发，Zh提出了多重分形去趋势互相关分析，它是MF-DFA和DCCA的组合【141】。该方法最初被称为MF-DXA【141】，然后被称为M F-X-DFA，因此可以将其与MF-XDMA方法区分开来，MF-XDMA方法是MF-DMA和DCCA的组合【105】。考虑两个长度相同的时间序列{X（i）}和{Y（i）}，其中i=1，2，···，N。每个时间序列由大小为s的Ns=int[N/s]非重叠框覆盖。vth框[lv+1，lv+s]内的两段时间序列用Xv（k）和Yv（k）表示，其中k=1，··，s，w lv=（v- 1） 假设{Xv（k）}sk=1和{Yv（k）}sk=1的局部树函数分别是{eXv（k）}和{eYv（k）}。每个箱子的交叉相关性计算为Fv（s）=ssXk=1hXv（k）-eXv（k）ihYv（k）-eYv（k）i.（222）qth阶互相关计算为fxy（q，s）=mmXv=1 | Fv（s）| q当q，0和fxy（0，s）=exp时为1/q（223）NsNsXv=1ln | Fv（s）|. （224）然后我们期望以下缩放关系fxy（q，s）~ sHxy（q）。（225）有许多不同的方法来测定ExvandeyV。

局部tre nd函数可以是多项式[268，405]，这与MF-X-DFA方法[141]相似。局部趋势函数也可以是移动平均值[275276]，在这种情况下，该算法被称为MF-X-DMA[105]。我们当然可以使用第2.4.4节所述的其他确定方法。当X=Y时，MF-X-D FA减少为MF-DFA，MF-X-DMA红色ucesto MF-DMA。基于DMA的DCCA方法由He和Chen[406]提出，这是q≡ 2、对于相依多重分形二项测度对[324]和相依多重分形随机游走对[407]，在数值上发现[141]Hxy（q）=Hx（q）+Hy（q），（226），他和陈给出了以下不等式[408]的近似推导：Hxy（q）6Hx（q）+Hy（q）。（227）然而，关系式（226）和（227）都偏离了许多实证结果[141408-410]。对于q=2的单分形情况，如两个具有相同误差项的耦合自回归滑动平均（ARFIMA）信号，通过某种近似，证明了[140，411，41 2]Hxy（2）=Hx（2）+Hy（2），（228），其中Hx（2）和Hy（2）是时间序列{Xi}和{Yi}的Hur st指数。Kristoufek推导了两个ARFIMA过程的方程（228），无论误差项之间的相关性如何，只要它保持非零，并且对于ARFIMA过程和MA过程[413]。Kristouf e k将记忆效应表示为频域中的功率谱，表明二元Hurst指数不能大于单独Hurst指数的平均值[414]：Hxy（2）6Hx（2）+Hy（2），（229），这适用于多个随机过程[413–420]。这种差异可以通过DCCA系数差异来衡量【421】。MF-X-DFA有一个lso变体。

延时MF-X-DFA方法包括两个时间序列配对中的延时，以使分段中的去趋势函数读取[422]Fv（δ；s）=ssXk=1hXv（k）-eXv（k）ihYv（k+δ）-eYv（k+δ）i.（230）当δ=0时，我们恢复原始MF-X-D FA方法。Shi等人将多尺度多重分形分析【326】推广到多尺度多重分形减损cr-oss相关分析，称为M SMF-DXA【423】。该方法适用于六种股票市场指数（DJIA、NASDAQ、S&P500、SSCI、SZCI和HSI）[423]的日收益率对，不同时间段的收益率对（DJIA vs NYSE，DJIA vs HSI）[424]，以及标准普尔500指数、HSI、SSCI和ASX指数的开盘价、收盘价、最高价、最低价和成交量对[425]。Cao和Xu建议使用最大重叠小波变换（MODWT）确定局部趋势【426】。Cao等人提出了波动率约束多重分形去趋势互相关分析[427]。尚未使用数学模型对这些方法的性能进行数值研究。MF-X-DFA方法已被推广用于研究多个时间序列之间的多重分形互相关行为，这导致了耦合去趋势函数分析（CDFA）[428]。对于j=1，2，···，n的多个时间序列Xj（i），局部去趋势函数为：nv（s）=ssXk=1nYj=1hXj，v（k）-eXj，v（k）i.（231）联合多重分形分析的其他方法也可以以类似的方式扩展到多个时间序列。类似的处理方法是将多个时间序列的局部波动求和【429】：Fv（s）=ssXk=1nXj=1hXj，v（k）-eXj，v（k）i。