多元非高斯的前瞻性投资组合选择

这确保至少存在一个EEMM。利用（2.11）我们得到了Esscher风险中性特征函数ψYt（u）=exp（t“iu′uQh+CQhΓ-ωQhλQh- iu′θQh+u′∑QhuωQh- λQhωQh！#）。（2.29）其中风险中性参数和历史参数之间的关系为uQh=u，CQh=C，ωQh=ω，λQh=λ- h′θ-h′∑h，θQh=θ+σh，DσQh=Dσ，OhmQh=Ohm.（2.30）第j个对数回归过程的Esscher风险中性特征函数的表达式为ψYjt（u）=exp（t“iu′uQhj+CQhΓ-ωQhλQh- iu′θQhj+ujσQhjωQh- λQhωQh！#）。（2.31）注意，Esscher概率测度变化不会改变联合和边际对数回归过程的性质（比较（2.19）与（2.29）），以及（2.20）与（2.31））。只有参数λ和向量θ改变。特别是，风险中性回报过程是一个具有相关成分的多元布朗运动，由一个经典的回火稳定次微分时间变化或独立于布朗运动。即使基础布朗运动的相关矩阵不受度量值变化的影响，对数收益的风险中性相关矩阵也是不同的（见（2.30）和（2.26））。还要注意，所有边缘力矩都会发生变化（不仅是平均值）。还应该指出，所有风险中性时刻都取决于整个依赖结构。

如方程（2.30）所示，风险中性分布取决于历史测度下基本布朗运动的相关矩阵。为了找到逆Esscher变换，即向量h，该向量允许从系统（2.12）的风险中性子（风险中性子度量Q）开始，从系统（2.12）中找到历史参数（在历史度量Ph下），因此要解决的系统为uQ+CQΓ-ωQλQ- θQ-σQωQ- λQωQ= r- duQn+CQΓ-ωQλQ- θQn-σQnωQ- λQωQ= r- dn，uPh=uQ，CPh=CQ，ωPh=ωQ，λPh=λQ+h′θQ-h′∑Qh，θPh=θQ- ∑Qh，DσPh=DσQ，OhmPh=OhmQ、 （2.32）在求解该系统时，必须考虑到，给定被测条件下的参数，向量h和被测条件下的参数都是未知系统。如第2节所述，系统必须在方程（2.30）的约束下求解，因此，系统未知数是向量h以及参数λPhandθPh.2。多元GH模型广义双曲线（GH）分布在财务建模文献中受到了广泛关注（例如，见Eberlein和Keller（1995），Prause（1999），和Eberlein等人（2002年））。GH参数族包括许多常见的分布，例如Student t、skew-t、双曲、方差gamma和正态逆高斯分布。在本节中，我们研究多元广义双曲（MGH）分布。设G={Gt，t≥ 0}是一个广义逆高斯过程（GIG），即从零开始，具有平稳和独立增量的过程，其中Gis广义逆高斯分布具有参数、ψ、χ。ψ和χ均为非负且不同时为0。

我们参考气体GIG定律（，χ，ψ），随机变量Gisf的密度函数（x；，ψ，χ）=2K√χψψχx-1exp-χx+ψx, x>0，（2.33），其特征函数为ψG（u）=1.-2iuψ-Kpχ（ψ）- 2iu）K√χψ. （2.34）从（2.34）可以计算广义逆高斯从属函数的拉普拉斯指数l（u）=lnψG用户界面= -ln1.-2uψ+ lnKpχ（ψ）- 2iu）K√χψ（2.35）并从方程（2.35）中得出Gc【G】=E【G】的累积量=χψK+1√χψK√χψ, （2.36）c【G】=var【G】=χψK+2√χψK√χψ-K+1√χψK√χψ!, （2.37）c【G】=χψK+3√χψK√χψ-3K+2√χψK+1√χψK√χψ+ 2K+1√χψK√χψ!,（2.38）c【G】=χψK+4√χψK√χψ-4K+3√χψK+1√χψK√χψ- 3K+2√χψK√χψ!++ 6.χψ2K+2√χψK+1√χψK√χψ-K+1√χψK√χψ!.（2.39）最后，利用（2.6）我们得到了线性漂移ψYt（u）=exp（iu′ut）的多元广义三元（MGH）过程的特征函数1.-ψiu′θ-u′∑u-tKqχψ - 2.iu′θ-u′∑uK√χψt（2.40）设置ui=0，i 6=j，转化为（2.40），我们得到第j个标的资产ψYjt（uj）=exp（iujujt）的对数回归过程的特征函数1.-ψiujθj-ujσj-tKqχψ - 2.iujθj-ujσjK√χψt、 （2.41）如果我们设置=-1/2，G遵循参数为γ的逆高斯分布=√χ和η=√ψ. 如果我们设置χ=0，则G遵循伽马分布α=和β=ψ/2。

在第一种情况下，我们得到了MNIG模型，在第二种情况下，我们得到了塔西纳里和比安奇（2014）的MVG。从（2.40）中，可以计算[0，t]期间对数收益增量的边际矩和联合矩，并将其表示为[0；t]期间对数收益分布的次幂函数和累积量的函数：EYjt公司= ujt+E[Gt]θj（2.42）varYjt公司= E[Gt]σj+var[Gt]θj（2.43）斜交Yjt公司= 3var[Gt]θjσj+c[Gt]θj（2.44）ex.kurtYjt公司= 3var[Gt]σj+6c[Gt]θjσj+c[Gt]θj（2.45）covYjt；Ykt公司= E[Gt]σjk+V[Gt]θjθk（2.46）corrYjt；Ykt公司=σjk+θjθkχψsσj+θjχψσk+θkχψ（2.47）其中 =K+2√χψK+1√χψ-K+1√χψK√χψ!. （2.48）然后，为了确定原木返回过程的Esscher风险中性动态，我们遵循第2节所述的程序。在本文的其余部分，如果没有不同的分类，则参数在历史度量P下。更准确地说，通过考虑方程式（2.40）和（2.9），用于求解向量h的系统可以写为1.-（θ+0.5σ+Pnj=1hjσ1j）ψ-2l（高）-Kqχ（ψ）-2l（高）-2（θ+0.5σ+Pnj=1hjσ1j））K√χ(ψ-2l（h））= exp（r- u- d） 。。。1.-（θn+0.5σn+Pnj=1hjσnj）ψ-2l（高）-Kqχ（ψ）-2l（高）-2（θn+0.5σn+Pnj=1hjσnj））K√χ(ψ-2l（h））= exp（r- un- dn）（2.49），其中l（h）=h′θ+h′∑h.（2.50）。虽然很难证明系统（2.49）的解的存在，但在我们的所有应用中，都可以用数值方法求解系统。

这确保至少存在一个EEMM。利用（2.11）我们得到了Esscher风险中性特征函数ψQhY（u）=expiu′uQh1.-ψQhiu′θQh-u′∑Qhu-Qh×KQhqχQhψQh- 2.iu′θQh-u′∑QhuKQhpχQhψQh（2.51）其中风险中性参数和历史参数之间的关系为uQh=u，χQh=χ，Qh=，ψQh=ψ- 2.h′θ+h′∑h,θQh=θ+σh，DσQh=Dσ，OhmQh=Ohm.（2.52）第j个对数回归过程的Esscher风险中性特征函数的表达式为ψYjt（u）=expiujuQhj1.-ψQhiujθQhj-ujσQh-Qh×KQhrχQhψQh- 2.iujθQhj-ujσQhKQhpχQhψQh（2.53）注意，Esscher概率测度变化不会改变联合和边际对数回归过程的性质（比较（2.40）与（2.51）），以及（2.41）与（2.53））。只有参数ψ和向量θ改变。特别是，风险中性回报过程是一个具有相关分量的多元布朗运动，由一个独立于布朗运动的广义逆Ga-ussian从属函数进行时间变换。即使基础布朗运动的相关矩阵不受度量值变化的影响，对数收益的风险中性相关矩阵也是不同的（见（2.52）和（2.47））。还要注意，所有边缘力矩都会发生变化（不仅仅是平均值）。还应该指出，所有风险中性矩都依赖于整个依赖结构。

如方程（2.52）所示，风险中性分布dep在历史测度下的基本布朗运动的相关矩阵上结束。为了找到逆Esscher变换，即向量h，该向量允许从系统（2.12）的风险中性子（风险中性子度量Q）开始，从系统（2.12）中找到历史参数（在历史度量Ph下），因此要解决的系统为uQ-Qlnh1-ψQθQ+σQi+lnKQrχQψQ-2.θQ+σQKQ√χQψQ= r- dunQ-Qlnh1-ψQθnQ+σQni+lnKQrχQψQ-2.θnQ+σQnKQ√χQψQ= r- dn，uPh=uQ，Ph=Q，χPh=χQ，ψPh=ψQ+2h′θQ-h′∑Qh,θPh=θQ- ∑Qh，DσPh=DσQ，OhmPh=OhmQ、 （2.54）在求解该系统时，必须考虑到，给定被测条件下的参数，向量h和被测条件下的参数都是未知系统。如第2节所述，系统必须在等式（2.52）的约束下求解，因此，系统未知量是向量h以及参数ψPhandθPh.3数据。在本节中，我们提供了实证分析中使用的数据的描述。在第一次实证测试中，我们考虑了Tassinari和Bianchi（2014）中分析的相同数据集，即从1990年1月2日至2012年12月31日的每日股息调整收盘价，以及从彭博社获得的2008年1月2日至2012年12月31日标准普尔500指数中所列五家选定公司的隐含波动率：AppleInc。戴尔公司、国际商业机器公司、惠普公司。（ticker HPQ），微软公司（ticker MSFT），代表五大跨国信息技术公司。

隐含期权（impliedvolatilities）是从欧洲看涨期权和看跌期权中提取出来的，到期日在一个月到一年之间，金额在80%到120%之间。该数据集由每家公司的50000多个观察数据组成。然后，为了进行进一步的实证研究，我们使用2017年4月30日EuroStoxx 50指数中所有欧元计价股票的日对数回报率序列。我们从2002年6月30日至2017年4月30日的Datastream每日股息调整收盘价中获得。此外，从2009年6月30日至2017年4月30日期间所选股票的欧式看涨期权和看跌期权中提取了隐含波动率，期限为一个月，货币性介于80%和120%之间。作为无风险利率，我们采用欧元银行同业拆借利率。由于我们考虑了股息调整后的收盘价，我们选择了Unicredit Bank和Assicurazioni Generali，而不是CRH和Engie。假设每支股票j的dj=0。通过实证检验，可以得出，在此假设下，股息的看跌期权平价将继续被填满。4双重校准仅考虑时间序列信息无法解释观察到的期权价格是众所周知的（见Chernov和Ghysels（2000））。因此，在本节中，我们考虑一个校准框架，在该框架中，我们通过最小化（1）历史测度下的Kolmogo-rov-Smirnov距离，联合估计对数收益时间序列上的模型参数，并通过（2）最小化风险中性测度下的平均相对百分比误差（ARPE），校准隐含波动率表面。我们将该方法称为双重校准（Tassinari和Bianchi（2014））。

通过采用这种方法，隐含波动率和对数收益率校准估计误差都被最小化。从实践的角度来看，在每个交易日，我们解决以下最小化问题bΘQ=minΘQXj公司ARP Ej（ΘQ）+ξKSj（ΘPh）, （4.1）其中ARP Ej（ΘQ）=观测次数xtnxkm | iV olmarketTnKm- iV olmodelTnKm（ΘQ）| iV OLMARTETTNKM，（4.2），其中iV OLMARTETTNKM（iV olmodelTnKm）表示到期日为TN且履约日为Km的期权的市场（模型）隐含波动率，指数j表示股票j，而ΘQis是根据风险中性度量Q下给定模型的参数向量。然后，KSjis边际j的Kolmogor-ov-Smirnov距离，给定通过Esscher逆变换计算出的一组参数，即允许我们在给定风险中性参数Q的情况下计算度量值pH下的历史参数的度量变化。为了找到m的逆转换，我们在MGH和MNTS模型中求解系统（2.54）和（2.32），分别地经过一些尝试，我们确定ξ等于t到3。ξ的这个值显示了模型性能和参数稳定性之间的良好平衡。在实践中，我们希望找到一组参数，使模型隐含波动率（iV olmodel）尽可能接近市场隐含波动率（iV olmarket），同时，对数收益率的理论单变量分布尽可能接近经验分布。由于与参数向量Θqq相关的最小化问题（4.1）没有闭合形式的解，也可能没有全局最小值，因此需要一个数值优化例程来找到局部最小值。我们使用Matlab r2016b函数fmi ncon进行优化例程，并使用Paul Wilmott网站上的函数计算期权价格的隐含波动率。

我们遵循Carr和Mada n（1999）中提出的standardva nilla Option的分析（直至整合）定价方法和期望最大化（EM）最大似然估计方法（见Tassinari和Bianchi（2014）和Bianchi et al.（2016）），以找到优化程序的适当起点。最小化问题（4.1）是不适定的，主要是因为解不一定是唯一的，也不能保证解的存在。然而，我们采用的数值程序显示了令人满意的结果。更准确地说，我们使用以下步骤：1。在第一个观察日t=1，我们对日志返回的时间序列进行基于EM的最大似然估计，并估计测量P下的历史参数集；2、在第一个观测日t=1，我们计算Esscher变换，即给定一组历史参数ΘP，我们计算相应的风险中性参数ΘQh；3、需要上一步计算的参数作为数值程序的起点，用于找到优化问题的解决方案（4.1）；4、我们运行一个函数，执行以下计算：o它计算每个股票的隐含波动率和相应的ARPE；o通过分别在MGH和MNTS模型中求解系统（2.54）和（2.32），计算逆Esscher变换，即给定一组风险中性参数ΘQ，找到相应的历史参数ΘPh（已考虑使用Matlab fsolve函数为系统（2.54）和（2.32））找到解决方案）通过考虑历史参数ΘPh，计算每个股票在历史测度P下的K S距离；因此，我们将函数转换为算法，以找到优化问题的解决方案（4.1）；5.

我们移动到第t+1天，通过基于EM的对数收益时间序列最大似然估计来确定矩阵A；6、我们返回到步骤4，并选择t天找到的解决方案和前一步骤5估计的矩阵A作为优化问题的起点。我们指出，通过基于EM的最大似然法估计的矩阵A在优化过程中保持不变。这实际上意味着，除了表示相关矩阵下三角Cholesky因子的矩阵A之外，所有其他参数都可以更改为优化算法Ohm. 根据方程式（2.30）和（2.52），得出∑Q=∑Ph。注意矩阵Ohm 表示基本布朗运动的相关矩阵和随机向量Ytis的相关矩阵，由方程（2.26）和（2.47）给出。此外，我们提醒大家Ohm 不受度量值变化的影响。4.1与MNIG和MVG模型的比较本节中，我们将MGH和MNTS模型的校准误差与Tassinari和Bianchi（2014）中报告的校准误差进行比较，即多变量高斯、多变量方差伽马（MVG）和多变量正态逆高斯（MNIG）模型。基于2009年1月1日至2010年1月1日至2011年1月1日至20120.040.060.080.10.120.140.16双校准-20天移动平均图1：根据双校准方法（20天移动平均）分析的所有股票和模型的隐含波动率校准误差（ARPE）。校准在2008年1月2日至2012年12月31日期间的每个交易日进行。在隐含波动率和存量的横截面上，MGH模型在拟合隐含波动率时显示出较小的校准误差。