多元非高斯的前瞻性投资组合选择

IBM的误差较大（中位数为9.25%，MGH模型为10.20%），而Dell的误差较小（中位数为6.40%，MGH模型为6.50%）。MGH模型计算的所有五只股票的ARPE时间序列范围为3.16%至21.38%（中位数为7.18%），MNTS模型为3.34%至32.71%（中位数为7.74%）。2008年10月17日（2009年3月19日），MGH（MNTS）模型达到最大校准误差。正如纪尧姆（2012）所观察到的，基于非线性过程的多元模型在危机期间表现不佳。在图1中，我们报告了MGH和MNTS模型计算的所有五只股票平均ARPE中值的20天移动平均值的时间序列，并将其与Tassinari和Bianchi（2014）中分析的MNIG和MVG模型进行比较。对于每个STOCK和每个模型，评估整个期间的ARPE。20天移动平均线范围为MGH案件中的3.88%和17.42%（平均7.61%），MNTS案件中的4.51%和16.24%（平均8.0.5%），MNIG案件中的4.54%和15.72%（平均8.18%），MVG案件中的4.71%和15.97%（平均8.47%）。正如所料，MGHmodel的平均隐含波动率校准误差小于MNIG和MVG模型。与MNIG和MVG模型相比，MNTS模型的性能也稍好一些。此外，通过考虑该主题的类似研究（参见Bianchi et al。

（2018））MGH和MNTS模型的隐含波动率校准误差令人满意。AIC BIC-4.3-4.2-4.1-4-3.9GaussianAIC BIC-4.3-4.2-4.1-4-3.9MVGAIC BIC-4.3-4.2-4.1-4-3.9MNIGAC BIC-4.3-4.2-4.1-4-4.9MGHAIC BIC-4.3-4.2-4.1-4-3.9MNTSAAPL DELL IBM HPQ MSFT0.020.040.060.080.10.120.14Gaussian-KS distanceAAPL PL DELL IBM HPQ MSFT0.020.040.060.080.10.120.14MVG-KS distanceAAPL DELL IBM HPQ MSFT0.020.040.060.080.10.120.14MNIG-KS distanceAAPL DELL IBM HPQMSFT0.020.040.060.080.10.120.14MGH-KS distanceAAPL DELL IBM HPQ MSFT0.020.040.060.080.10.120.14MNTS-KS DistanceFig 2：2008年1月2日至2012年12月31日每个交易日使用双重校准方法估计的模型的拟合优度统计数据。对于每个交易日，对于每个模型总计1259个滚动窗口估计，一个执行窗口被视为红色（1500个交易日）。对于每个模型，报告了AIC、BIC和单变量K S距离的箱线图。在每个箱线图中，中心标记为介质n，箱的边缘为第25和75个百分位，胡须延伸至最极端的数据点，不考虑异常值，并且分别绘制异常值。在分析了隐含波动率校准误差后，我们描述了拟合对数收益时间序列行为的性能。我们对MGH和MNTS模型进行了分析，并将其与Tassinari和Bianchi（2014）分析的MNIG和MVG模型进行了比较。对于所有校准模型，在图e 2中，我们报告了Akaike信息准则（AIC）和Bayesianinformation准则（BIC）的箱线图。根据AIC和BIC，MGH是最好的形成模型，而高斯是最差的模型。

我们指出，我们对高斯模型进行了极大似然估计，而没有计算相应的隐含容量校准误差。此外，图2显示了每个边距的KS统计的箱线图。平均p值范围为2。MGH车型为34%（APPL）至45.79%（戴尔），MNTS车型为5.51%（APPL）和4.3.46%（戴尔）。我们要提醒的是，历史参数ΘPhare是通过inverseEsscher变换计算出来的。除了Apple和，尤其是MNTS模型，KSstatistics比在多变量假设下计算的KS统计更小。如图2所示，与MGH和MNTS模型相比，MNIG和MVG模型都显示了awor st性能。MNIG车型的平均p值范围从1.59（APPL）到45.19（DELL），从0.88（APPL）到35。MVG车型为48%（戴尔）。虽然MGH模型在校准波动率面方面优于ms及其竞争对手模型，但MNTS模型在解释对数收益时间序列的行为方面稍好一些，至少在本节中考虑的数据是f。在第5节中，我们在投资组合分配练习中进一步分析了这些模型。最后，在给定交易日进行双重校准，即校准五个观察到的波动率表面，同时估计五个时间序列f0.20.40.60.8ARPE MGHMNTS0.20.40.60.8ARPE MNTSMGHFigure 3：在双重校准方法下分析的每个股票和每个模型的隐含波动率校准误差（ARPE）（箱线图）。对于每个股票，将给定模型的ARPE箱线图与竞争模型的ARPE中值进行比较。

在2009年6月30日至2017年4月31日期间，每周每周三进行一次校准。log返回，计算时间中位数为：MNIG为90秒，MVG为190秒。MGH和MNTS模型的计算时间都很短（分别为200秒和400秒）。此过程在一个8核AMDFX 8120处理器上运行，该处理器具有16GB Ram和基于Linux的64位操作系统。请注意，优化函数使用Matlab并行工具箱。大部分计算时间都花在代码的优化部分。在优化算法中，我们将t hr ee MGH参数（λ，χ，ψ）限制在（-4.5，1e-2，1e-2）和（-0.5，5，2）之间的区域，将三个MNT参数（ω，λ，C）限制在（0.75，1e-2，1e-2）和（1.75，5，100）之间的区域。而在MGH（MNTS）情况下，参数σjrange在0.01和0.15之间（0.01和0.2），θjrange在-0.1和0.01之间（-0.15和0.01）。本研究中采用的优化算法是在fmincon Matlab函数中实现的序列二次规划方法，其中选择选项活动集时，美国环保局的所有选项始终处于打开状态。4.2大规模实证检验为了进一步进行实证研究，我们将第4节中描述的校准应用于大规模案例。也就是说，我们评估了双重校准方法，以将GH和MNTS模型适用于EuroStoxx50中包含的所有欧元计价股票，并将其与具有参数u和∑的多变量Ga-ussian模型进行比较。通常，u表示年化平均向量，∑表示年化方差矩阵。这两个参数仅针对股票日志收益的时间序列进行校准。

我们指出，与高斯模型相比，这两个非高斯模型多了53个参数，即从属函数的三个参数和50维向量θ。1月10日-1月11日-1月12日-1月13日-1月14日-1月15日-1月16日-1月170.080.10.120.140.160.180.20.22双重校准-10周移动平均数GMNTS图4：根据双重校准方法（10周移动平均数）分析的所有股票和模型的隐含波动率校准误差（ARPE）。校准在2009年6月30日至2017年4月31日期间每周三的每周基础上进行。1月10日1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日1月16日1月172.12.152.22.252.3×10GaussianMGH historicalMGH doubleMNTS historicalMNTS doubleFigure 5：2009年6月30日至2017年4月31日星期三，使用历史和双重校准方法估计模型的对数可能性。对于每个交易日，考虑固定大小的窗口（1500个交易日），每个模型总共有409个滚动窗口估计。自2009年6月30日至2017年4月31日，每周三进行校准。对于每个星期三，每个模型共有409个滚动窗口估计，将考虑一个固定大小的窗口（每天1500次观察）。这些模型基于这些股票日志收益的时间序列，以及在每个给定的周三观察到的50个一个月隐含波动率微笑。根据隐含波动率和存量的整个样本评估的ARPE，MGH模型在拟合隐含波动率时显示出较小的校准误差，如图3所示，其中报告了409个滚动窗口计算的ARPE箱线图。而在MGH情况下，中值误差范围为9.95（Telefonica E：TEF）至19.03（Ahold Delhaize-H：AD），在MNTS情况下，中值误差范围为10.99（Airbus-F：AIRS）至19.76（Ahold Delhaize-H：AD）。

在8个超过50的情况下，MNTS模型的中值校准误差比GH模型的误差小。如图4所示，MGH模型计算的所有50只股票的平均ARP时间序列（10周移动平均值）为8.80%至20.20%（平均13.94%），MNTS模型为7.77%至22.30%（平均14.64%）。在图5中，我们报告了所有竞争对手模型和估计方法的对数可能性时间序列。在正常情况下考虑最大似然估计，在MGH历史和MNTS历史情况下考虑基于EM的最大似然估计方法，在MGH double和MNTS double情况下采用双重校准方法。即使双重校准方法没有将重点放在可能性最大化上，MNTS模型的对数可能性也只有几天小于正常模型的可能性（MGHmodel的对数可能性永远不会更小）。这表明MGH和MNT模型相对于正常模型具有极大的灵活性：它们能够联合校准日志返回和隐含的可用性微笑，并且它们的日志可能性仍然高于正常框架下的估计日志可能性。正如预期的那样，在MGH和MNTS两种情况下，仅考虑历史信息估计的模型的对数可能性更大。MGH historical和MNTS historical的对数可能性几乎无法区分。如图6所示，根据AIC和BIC，MNTS模型更好，因为与所有其他竞争模型相比，它的AIC和BIC平均值更小，而高斯模型最差。此外，图6显示了每个边距的KS统计的箱线图。

在超过50的18种情况下，MNTS模型的校准误差（平均值）比MGHone的误差小。对于MGH和MNTS模型的所有股票，与高斯模型相比，KS统计量较小。对于MNTS模型，p值（平均值）大于50的44例大于5%，对于MGH模型，p值大于49例，对于高斯模型，p值（平均值）大于5%。最后，为了在给定的星期三进行双重校准，即校准50个观察到的波动率表面，同时估计logreturns的时间序列，计算时间中位数为350秒（在MGH情况下），1350秒（在MNTS情况下）。该程序在同一台机器上运行，并采用第4.1.5节A投资组合选择分析中所述的相同实施。在本节中，我们提供了实施最小风险投资组合选择标准所需的必要定义，并展示了应用于第4.2节中调查的50维案例的投资组合选择策略的回溯测试。尾部概率水平δisV aRδ（X）=-inf{x | P（x≤ x） >δ}=-F-1X（δ），可通过反转累积分布函数FX来计算。具有有限平均值的连续随机变量X的平均值（即e[X]<∞) 尾部水平δ是大于ta il水平δ的VaR的平均值，即isAV aRδ（X）=δZδV aRp（X）dp=-E十、X<-V aRδ（X）.1月10日1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日1月16日1月17日Eurostoxx 50EWMV GaussianMA GaussianMA MGH historicalMA MGH doubleMA MNTS historicalMA MNTS doubleFigure 7:2009年6月30日至2017年4月31日（共409个再平衡日）期间，针对MV、EW和MA s策略进行的投资组合分配回测，每周进行重新平衡。在回溯测试期的第一天，结果投资组合值按比例调整为100。

对于MGH和MNT，考虑使用历史和双重校准方法来确定MA权重。因此，鉴于损失已超过相同概率水平下的VAR，AVaR衡量预期损失。我们将V aR0.05（X）和V aR0.05（X）分别称为5%VaR和5%AVaR。通过考虑Kim et al.（2012）中命题1的结果，可以得出如下结论：如果Ytisa MNTS过程其增量随离散时间步长的分布t、 andw公司∈ Rn，然后w′Y这是一个具有方程（2.20）中所示特征函数的随机变量，参数为（ω，λ，C，|θ，|u，|σ），其中|θ=w′θ|u=w′u|σ=√w′∑w。这意味着MNTS利润组合是一个NTS随机变量。这个性质对于计算投资组合风险度量非常有用，因为它将问题的维数从n降到1，并且投资组合分布属于同一个参数族。此外，从Kim et al.（2010）和Kim et al.（2011）可以得到一个闭合公式（直至积分），以计算NTS情况下的平均风险值（AVaR）。在MGH的情况下，VaR和AVaR的计算更简单，因为MGH利润的aportfolio是GH随机变量，可以使用密度函数的闭合形式表达式。在正常情况下，可以轻松评估VaR和AVaR。本文提出的投资组合选择策略基于最小AVa R（MA）方法。在一个分布假设下，我们发现在给定的尾部水平上，权重使AVaR最小化（见Stoyanov等人（2010））。我们假设不允许卖空，即不可能将超过10%的财富投资于特定股票（0≤ wj公司≤ 0.1），我们考虑δ=0.05。

由于AVaR的凸性，该问题具有唯一的最小值，可以通过约束优化问题的标准一阶最优性条件获得。我们将此方法应用于高斯、MGH和MNTS模型。在非高斯情况下，我们考虑了历史和双重校准方法。前一种校准仅基于股票日志收益的时间序列，因此我们将其称为historica l。如第4节所述，后者使用股票长期收益的时间序列和期权nJan10 Jan11 Jan12 Jan13 Jan14 Jan15 Jan16 Jan170.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05MA GaussianMA MGH historicalMA MGH doubleMA MNTS historicalMA MNTS doubleATM隐含价值图8:2009年6月30日至4月31日每周三每周重新调整的MA投资组合策略的AVaR估计，2017年（总计409个再平衡日）。对于MGH和MNT，考虑使用历史和双重校准方法来确定MA权重。隐含波动率，我们称之为双重波动率。拟议的纯长期策略的绩效以最小方差（MV）投资组合和具有再平衡的等权重（EW）投资组合为基准。这些基本策略是大规模应用的重要基准。正如Mainik等人（2015）所做的那样，比较包括年度化投资组合回报、最大提取额、交易成本、投资组合集中度和投资组合中的资产多样性。请注意，t hr ee比较的方法（MV、EW和MA）都没有预期的返回。分析基于第4.2节所述的估计。投资组合权重的计算利用了基于每个周三之前六年的股票对数收益时间序列和周三观察到的一个月隐含波动率微笑的估计。

例如，2009年7月1日的最佳投资组合是根据2003年7月2日至2009年7月1日期间的股价数据和2009年7月1日观察到的一个月的波动率估计的。虽然估计是基于日常数据，但每周都会进行再平衡。对我们的计算资源来说，在每个交易日估算MGH和theMNTS模型都太耗时了。如第4.2节所述，对于每个估算日，需要大约半小时来校准两个非高斯模型（MGH和MNT）。在图7中，我们报告了to-tal wealth f for all Strategy和f for theEuroStoxx 50 index的行为。图8中报告了适用于不同分布假设（Ga-ussian、MGH和MNT）和估计方法（历史和双重）的MA策略的估计最优AVaR。AVaR的动态性与ATM隐含波动率进行了比较。通过构造，基于双重校准方法，通过考虑MGH和MNTS估计得到的最优AVaR更易挥发。请注意，双重校准方法考虑了隐含波动率的行为，这通常不如历史波动率平稳。表1显示了MA方法与竞争对手策略和EuroStoxx 50指数的比较结果。