多元非高斯的前瞻性投资组合选择

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英文标题：
《Forward-looking portfolio selection with multivariate non-Gaussian
  models and the Esscher transform》
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作者：
Michele Leonardo Bianchi and Gian Luca Tassinari
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this study we suggest a portfolio selection framework based on option-implied information and multivariate non-Gaussian models. The proposed models incorporate skewness, kurtosis and more complex dependence structures among stocks log-returns than the simple correlation matrix. The two models considered are a multivariate extension of the normal tempered stable (NTS) model and the generalized hyperbolic (GH) model, respectively, and the connection between the historical measure P and the risk-neutral measure Q is given by the Esscher transform. We consider an estimation method that simultaneously calibrate the time series of univariate log-returns and the univariate observed volatility smile. To calibrate the models, there is no need of liquid multivariate derivative quotes. The method is applied to fit a 50-dimensional series of stock returns, to evaluate widely known portfolio risk measures and to perform a portfolio selection analysis.
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中文摘要：
在这项研究中，我们提出了一个基于期权隐含信息和多元非高斯模型的投资组合选择框架。与简单的相关矩阵相比，所提出的模型包含了股票对数收益率之间的偏度、峰度和更复杂的依赖结构。这两个模型分别是正态回火稳定（NTS）模型和广义双曲线（GH）模型的多元扩展，历史测度P和风险中性测度Q之间的关系由Esscher变换给出。我们考虑一种同时校准单变量对数收益率时间序列和单变量观测波动率微笑的估计方法。为了校准模型，不需要液体多元导数报价。该方法用于拟合50维股票收益率序列，评估广为人知的投资组合风险度量，并进行投资组合选择分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Forward-looking_portfolio_selection_with_multivariate_non-Gaussian_models_and_th.pdf (806.42 KB)

2022-6-10 02:58:36 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 前瞻性 Multivariate Quantitative

所考虑的两个模型分别是无材料回火稳定（NTS）模型和广义回火稳定（GH）模型的多变量扩展。与简单的相关矩阵相比，这些模型结合了股票对数收益率之间的偏度、峰度和更复杂的依赖结构。多元正态回火稳定分布（MNTS）和多元广义三元分布（MGH）是多元正态分布的推广，称为多元均方差混合分布。这些模型在很大程度上共享了多重正态分布的结构，但它们同时允许不对称和重尾。正如Tassinari和Bianchi（2014）所观察到的那样，这类模型也可以被视为多变量时间变化的布朗运动。此外，根据Frahm（2004），MNT和MGH分布都属于椭圆平均混合。椭圆和广义椭圆重尾分布已被广泛研究（参见Kring et al.（2009）和Domincy et a l.（2013））。Kim et al.（2012）提出了MNT，Bianchi et al.（2016）和Fallahgoul et al.（2018）对此进行了广泛研究。当从多变量正态分布转向肥尾多变量分布时，MGH是一种流行的cho冰（见Protassov（2004）、Hu（2005）、McNeil等人（2005）、Hu和Kercheval（2007）以及Hu和Kercheval（2010））。在期权定价文献中讨论的大多数非高斯连续时间模型中，从历史测度P到风险中性测度Q（需要评估期权价格）的测度变化不是唯一的。这意味着，为了找到适当的计量变化，有必要通过考虑市场上交易的期权价格来估计模型。

在本研究中，埃舍尔变换（见Gerber和Shiu（1994）、Sat o（1999）、Tassinari和Bianchi（2014））给出了历史测度P和风险中性测度Q之间的关系。我们讨论了一种联合估计历史资产回报率（在historicalmeasure下）和校准期权隐含波动率（在风险中性度量下）的可能方法。Tassinari a和Bianchi（2014）提出了一种单变量期权表面和对数回归时间序列的联合校准估计，方法是考虑基于EM的最大似然估计方法以及发现历史和风险中性参数之间的联系所需的多元Esscher变换。作者将这种联合校准估计称为双倍校准。在本文中，我们应用了sameapproach。Guillaume（2012）和Guillaume（2013）介绍了一种基于单变量选项曲面和成对关联的联合校准的类似校准过程。最近，Ballotta et al.（2017）提议对FX triangles和quanto产品的市场报价进行联合校准。我们在本研究中使用的风险度量是平均风险值（AVaR），即在给定尾部概率下，平均风险值（VaR）大于VaR。AVaR，也称为条件价值增值风险（CVaR）或预期缺口，是一种优于风险价值的风险度量，因为它满足一致风险度量的所有公理，并且与风险厌恶投资者的偏好关系一致（见Rachev et al.（20 08））。因此，我们遵循平均AVaR po r tfolio选择标准，通过构造，该标准不仅考虑了分布的前两个矩，还考虑了其左尾的行为。

对于我们提出的模型，AVaR有一个闭合公式（最多一个数值积分），可以很容易地将其转换为投资组合优化问题。在实证分析中，我们考虑了正常、MGH和MNTS分布假设下的最小AVaR（MA）港口组合（见Stoyanov et al.（2010）），并且，正如在类似研究中所做的那样（如DeMiguel et al.（2007）和Mainik et al.（2015）），我们将其与两个基准投资组合进行比较，即最小方差投资组合（MV）和等权重投资组合（EW）。本文的组织结构如下。在第2.1节和第2.2节中，我们分别定义了多元正态均值-方差混合分布和回火稳定和广义逆高斯混合分布。然后，我们解释了如何通过多变量Sesscher变换从历史参数开始查找风险中性参数。此外，我们还展示了如何从风险中性参数开始查找历史参数。在第3节中，我们简要描述了实证研究中分析的数据，在第4节中，我们描述了双重校准算法，在该算法中，我们通过最小化平均相对百分比误差（模型和观测到的隐含波动率之间的距离的度量）同时校准隐含波动率表面，并通过同时最小化Ko-lmo-gorov-Smirnov距离来估计对数回归时间序列上的模型参数。在第5节中，我们回顾了最小AVaR por tfolio选择方法，描述了主要的计算方面，并讨论了结果。在恢复主要结果后，第6节得出结论。2多变量期权定价模型在本节中，我们回顾了Tassinari和Bianchi（2014）中描述的模型。

我们分析了一个有n只股票的市场，我们假设资产对数回报的动态是通过一个由多元布朗运动得到的L'evy过程来描述的，该过程由一个一维非负非递减L'evy过程进行时间变换。我们把这个最后的L'evy过程称为从属过程或随机时钟。我们进一步假设多元布朗运动的分量是相关的，并且从属关系独立于布朗运动。以这种方式构建一个流程可以获得两个依赖来源：（1）从属关系的跳变会导致价格流程的跳变，并且所有跳变都同时发生；此外，（2）由于我们假设一个相关的布朗运动，跳跃大小是相关的。时间t时股票j的价格由以下等式Pjt=Pjexp（Yjt），（2.1）给出，其中Pjt和Pjar分别是时间t和0时股票j的价格，而Yjt是每j=1，…，第j个标的资产在区间l[0，t]上的对数回报，n、 因此，第j个标的资产的对数返回过程Yj={Yjt，t≥ 0}定义为asYjt=ujt+Xjt=ujt+θjSt+σjWjSt，（2.2），其中Xj={Xjt，t≥ 0}是进程的纯跳转部分，S={St，t≥ 0}是从属项，Wj={Wjt，t≥ 0}和Wk={Wkt，t≥ 0}是关联系数ρjk，WjS={WjSt，t的关联一维布朗运动离子≥ 0}是在公共随机时钟St处计算的第j布朗运动。然后，u、θ和σ是Rn中的向量，向量σ的元素严格为正（σj>0）。如Tassinari和Bianchi（2014）所示，次多维布朗运动与定义为正态均值混合的多元分布之间存在关系，这种关系有助于实现期望最大化（EM）最大似然估计（见McNeil et al。

(2005)).多变量纯跳跃部分过程的特征函数X={Xt，t≥0}可以通过考虑Cont和Tankov（2003）中的方程式（4.6）来计算，即ψXt（u）=exp（tlS（g（u）），（2.3），其中lS（.）是公共隶属函数的拉普拉斯指数，g（u）是多元布朗运动的特征指数，即g（u）=iu′θ-u′∑u=nXj=1iujθj-nXj=1nXk=1ujukσjσkρjk，（2.4）带u∈ 其中矩阵∑有元素∑jk=σjσkρjk。由于∑是方差方差矩阵，我们可以将方程（2.4）改写为以下形式g（u）=iu′θ-u′DσOhmDσu，（2.5），其中Dσ是带对角线σ的对角线矩阵∈ 注册护士，以及Ohm 是元素ρjk的布朗运动的相关矩阵。log returnprocess的特征函数Y={Yt，t≥ 0}由ψYt（u）=exp（itu′u）ψXt（u）给出。（2.6）然后，假设存在一个在区间[0，t]内提供连续复合无风险利率r常数的银行账户，该市场模型是无套利的，因为每种资产的价格过程都有正跳和负跳（见Cont和Tankov（2003））。这确保了等价鞅测度的存在性。然而，该模型并不完整，因此，风险中性度量不是唯一的。在可能的候选者中，我们选择了Gerber和Shiu（1994）提出的Esscher等价鞅测度（EEMM）。

与多元对数回归过程相关的QhEsscher测度由以下Radon-NikodymderivativedQhdP | Ft=exp（h′Yt）E[exp（h′Yt）]，（2.7）定义，其中fti是价格过程产生的过滤。为了获得Y的Esscher风险中性动态，我们需要找到一个向量h，使得每种资产的贴现价格过程在新的概率测度QH下是一个鞅，即，方程[Ptexp[(-r+d）t]]=EhPtexp[(-r+d）t]exp（h′Yt）E[exp（h′Yt）]i=P，。。。方程[Pntexp[(-r+dn）t]]=EhPntexp[(-r+dn）t]exp（h′Yt）E[exp（h′Yt）]i=Pn，（2.8），其中d。。。，D是n股的连续复合股息收益率。在（2.8）中替换（2.1），经过一些计算，我们得到E[经验（h′Yt+Yt）]/E[经验（h′Yt）]=经验[（r- d） t]，。。。E[经验（h′Yt+Ynt）]/E[经验（h′Yt）]=经验[（r- dn）t]。（2.9）我们不能确定等价鞅测度是否存在。然而，如果有可能找到一个向量h，使得每个股票的贴现价格过程在测度Qh下是一个马丁亚过程，那么EEMM的存在就得到了保证。假设存在解，可以在概率测度Qh下计算过程Yt的特征函数，即ψQhYt（u）=E[exp（（iu+h）′Yt）]/E[exp（h′Yt）]。（2.10）由于通过定义特征函数，等式ψYt（u）=E[exp（iu′Yt）]成立，因此可以证明ψQhYt（u）=ψYt（u- ih）/ψYt(-ih）。（2.11）给定一个向量h，方程式（2.11）表明，测量值下的特征函数可以表示为测量值P下的特征函数的函数。通过定义，在R上定义了特征函数。

当我们在非实值上对其进行评估时，如在方程（2.11）中，我们考虑特征函数在复平面C条带上的分析扩展（如果特征函数是完整的，则最终是整个复平面）。给定历史测度P下的一组参数，可以找到满足等式（2.9）的向量hs以及风险中性测度Qh下的相应参数。类似地，考虑到风险中性度量Q下的参数，可以执行反向过程来查找历史度量Ph下的参数。我们将此度量变化称为反向Esscher变换。逆Esschertransform将允许我们介绍第4节中提出的校准程序。更具体地说，为了找到逆Esscher变换，即向量h，它允许我们从风险中性的参数（在风险中性的措施Q下）开始查找历史参数（在历史措施Ph下），我们必须解决以下系统公式[exp（Yt）]=exp[（r- d） t]，。。。公式[exp（Ynt）]=exp[（r- dn）t），（2.12）在历史参数和风险中性参数之间的函数关系施加的一些约束下，将在后续讨论。2.1多元NTS模型在Rosinski（2007）的工作中提出了回火稳定（TS）分布和过程的正式优雅定义，并在许多实证研究中应用于融资（见Rachev et al.（2011）），主要是在单变量框架下（见Bianchi（2015）和其中的参考文献）。在本节中，我们研究了Kim et al.（2012）提出的正态回火稳定模型的多元扩展，Bianchiet al.（2016）对此进行了广泛研究。

设S={St，t≥ 0}是一个经典回火稳定过程，即一个从零开始并具有平稳和独立增量的过程，其中，参数λ>0、C>0和0<ω<2的经典回火稳定（CTS）定律。我们遵循CT S（ω，λ，C）定律。随机变量的特征函数是ψS（u）=exp（CΓ(-ω)((λ - iu）ω- λω))) . （2.13）从（2.13）可以计算经典回火稳定从属函数的拉普拉斯展开式S（u）=lnψI用户界面= CΓ(-ω)((λ - u） ω- λω）（2.14）和SE[S]的力矩-ωCΓ(-ω)λω-1，（2.15）var[S]=ω（ω- 1） CΓ(-ω)λω-2，（2.16）歪斜[S]=（2- ω) [ω(ω - 1） CΓ(-ω)λω]-, （2.17）kurt[S]=3+（ω- 2)( ω - 3) [ω(ω - 1） CΓ(-ω)λω]-1.（2.18）最后，利用（2.6）得到了多元正态经典回火稳定（MNTS）过程的特征函数，其线性漂移ψYt（u）=expt型iu′u+CΓ(-ω)λ - iu′θ+u′∑uω- λω. （2.19）设置ui=0，i 6=j，在（2.19）中，我们得到了第j个标的资产ψYjt（uj）=exp的对数回归过程的特征函数t型iujuj+CΓ(-ω)λ - iujθj+ujσjω- λω. （2.20）如果我们设置ω=1/2，则S服从参数为γ的逆高斯分布=-CΓ(-ω)√和η=√2λ. 如果ω→ 0，S允许参数α=-CΓ(-ω)√和β=√2λ.

在第一种情况下，我们的MNTS模型得出了多变量逆高斯（MNIG），在第二种情况下，得出了Tassinari和Bianchi（2014）的多变量方差Gamma（MVG）。从（2.19）可以计算周期[0，t]内对数收益增量的边际矩和联合矩，并将其表示为子序列矩的函数Yjt公司= ujt+E[St]θj，（2.21）varYjt公司= var【St】θj+σjλ1- ω, （2.22）倾斜Yjt公司= 歪斜[斜]θj+3θjσjλ2- ωθj+σjλ1- ω-, （2.23）库尔特Yjt公司= 3+（库尔特[圣]- 3)θj+3σjλ3- ω2θj+σjλ2- ωθj+σjλ1- ω-2、（2.24）covYit；Yjt公司= var【St】θiθj+σijλ1- ω, （2.25）更正Yit；Yjt公司=θiθj+σijλ1-ωrθi+σiλ1-ωθj+σjλ1-ω. （2.26）然后，为了确定原木返回过程的Esscher风险中性动态，我们遵循第2节所述的程序。在本文的其余部分，如果没有不同的分类，则参数在历史度量P下。更准确地说，通过考虑方程式（2.19）和（2.9），用于求解向量h的系统可以写为(λ - l（h））ω-λ - θ-σ- l（h）-Pnj=1hjσjρ1jω=（u+d）- r） /CΓ(-ω),...(λ - l（h））ω-λ - θn-σn- l（h）-Pnj=1hnσnσjρnjω=（un+dn- r） /CΓ(-ω） ，（2.27），其中l（h）=h′θ+h′∑h。（2.28）虽然很难证明系统（2.27）的解的存在，但在我们的所有应用中，都可以用数值方法求解系统。