时间非齐次多项式过程

反之，考虑f P PmpSq，这样Ps，TFPXQ可表示为rk | l |“0αlps，tqxl。然后（8）产生>>>>>HPP，s ` hf'fq'Hsf>>>>>>>>>m | l|“0^αlps，s ` hq'αlps，sqh'D'αlps，sq'xl>>>>>>m'max0'l'k'αlps，s'hq'αlps，sqh'D'α'l'ps，sq'Hsf。但在最后一个等式中，通过定义D'αlps，sq，h'0的右侧变为0。因此f P D pGsq和Gsf”Hsf。3.2. 多项式过程的第一个特征。生成器的成功概念在以下结果中有一个主要应用，它允许生成关联鞅。回顾第2.1节，我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，T s nis，X是坐标过程，过滤是标准过滤F：“pFtq0dtdt由X生成。此外，F”FT。这导致了唯一概率度量P0，X，X P S，其中P0，xpX“xq“1.此外，对于任何s P r0，T s，我们可以将自己限制在函数空间ω：rs，T s~ns，仅从s开始，以类似的方式得出唯一的概率度量Ps，其中Ps，xpXs“xq”1。这种情况下的标准过滤将用Fs表示：“pFs，tqsdT.Lemma 3.5。让XpXtq0dtdTbe是一个E值马尔可夫过程，具有传递算子族pPs、tqps、tqP和小生成元族pHsq0dsaT。假设对于一些f P X0duaTDpHuq和每个s P r0，T q，以下成立：a）随机变量mfs，t： “fpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdu，sdtdt（9）定义明确，b）对于所有0dsdt和所有x P E，u'Huf'pxqdua8。那么以下是等效的：i）pMfs，tqsdtdTis a pPs，x，Fs，tq鞅，对于每个x P E和每个s P r0，t q.ii）对于所有ps，tqp 每个x P E我们都有P，tfpxq“f pxq`ztsp，uHufpxqdu。（10）证明。iq~niiq：鞅性质产生所有0dsdvdtdt，thatEs，xrMfs，vs”Es，xrMfs，ts。

（11） 在条件b）下，我们使用Fubini定理得到，Es，xrMfs，vs“Es，xrfpXvqs，xrfpXsqs，xzvsHufpXuqdu“Ps，vfpxq'fpxq'vsPs，uHufpxqdu。在（11）中选择v”s，我们得到iiq.8 M.AGOITIA和T.Schmidtiiiq~niq：通过马尔可夫性质和Fubini定理的进一步应用，让0dsdsaTdT。Es，xrMfs，T'Fs，ss'Mfs，s，s，s，s's，xrfpxsq'tshufpqdq'XUQDU | Fs，ss“Es，XsrfpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdus”Ps，tfpXsq'fpXsq'tsPs，UHUFPXSSQDUIIQ“ 0. 如果m是偶数（因为m是|¨| mis多项式），则上述引理中Mfin的鞅性质可以从多项式性质推导出来。时间齐次多项式过程的情况已经如此，见Cuchiero等人（2012）的定理2.10和备注2.11。提案3.6。设mě2为偶数，设X“pXtq0dtdTbe为S值m-多项式过程，pHsq0dSaTbe为它的微元生成器族。对于f P PmpSq和S Pr0，t S，Mfs，t：”fpXtq'fpxq'tsHufpXuqdu，SdtdTis定义良好，并且每X P S证明一个pPs，X，X，Fsq鞅。通过引理3.3，我们得到了PmpSq Q fA所有0duat和hufpxuq“m"yl |”0D`αflpu，uqpXuql（12）带αflP Cpq、 这样，supuPrs，ts |αflpu，uq | 8。此外，uTh~nXupωq对于所有ω都是c\'adl\'ag，因此uTh~nHufpXuq确实可以在ps、tq上进行积，因此可以很好地定义Mfs。此外，对于所有0dsduaT，函数Huf在PmpSq中，因此，对于所有x P s，函数u | Huf | pxqa8（如m多项式过程所需）。因此，引理3.5的条件a）满足。对于条件b），注意等式（12）yieldsPs，u | Hufpxq | m | l |“0 | D`αflpu，uq |¨Ps，u | el | pxq with el”xl。此外，elpxq | 1 ` gpxq with gpxq“| x | m。由于m是偶数，g是多项式。

然后，比例2.1得出，对于所有x P S，Ps，ugpxq持续依赖于u，引理3.5的条件b）也满足。此外，对于Kolmogorov正演方程（7）中的所有0dsdtdt和x P s，我们得到了thatPs，tfpxq'fpxq'ztsPs，uhuffpxqdu“Ps，tfpxq'fpxq'tsd'duPs，ufpxqdu”0。现在，命题来自引理3.5中的等价iq^oiiiiq。以下定理是本节的主要结果。它将定理2.10 Inuchiero et al.（2012）扩展到时间不均匀情况。如上所述，我们表示MFS，t：“fpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdu，ps，tq P.时间非齐次多项式过程9定理3.7。设X“pXtq0dtdTbe是一个具有传递算子族pPs，tqps，tqP的S值马尔可夫过程和一系列微型生成器pHsq0dsaT。此外，让mě2b为偶数。那么以下是等价的：i）X是m-多项式。ii）以下条件适用：a）所有x P S、0dSdT和f P PmpSq的TSP、u | f | pxqdua8。b） pMfs、tqsdtaTis定义良好，对于所有0dkdm和0dSat，每x P S、f P PmpSqand all S P r0、t q.c）都有一个pPs、x、Fsq鞅。d） 对于所有0dkdm和f P PkpSq，存在bflP Cpr0、T qq、0dl|k，这样，hsfpxq“k"y| l |”0bflpsqxl（13）对于所有x P S和S P r0，T q.证明。首先，我们注意到蕴涵iq~niiq容易遵循引理3.3、命题3.6和m-多项式过程的定义。对于逆方向iiq~niq，让0dkdm和f P PkpSq。我们必须证明所有ps、tf P PkpSq、tqp 还有那个 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq持续存在差异。首先，请注意，根据条件c），所有0dsaT和Hsf P PkpSq的f P D pHsq。

然后，条件a）和b）保证引理3.5的适用性，我们得到方程（10）。注意，这已经意味着map rs，T q q TTh~nPs，tfpxq是连续的。第二，从假设d）中，我们通过应用Ps，uto方程（13），得到，uhuffpxq“k"y| l |”0bflpuqrPs，uelspxq，其中又是elpxq“xl。由于uTh~nbflpuq是连续的，并且如前所示，uTh~nPs，uelpxqis是连续的，我们得到uTh~nPs，uhuffpxq是连续的。由于X是多项式，根据命题3.2和引理3.1，转换算子pPs，tq是一个强连续的演化系统，从而得出Kolmogorov前向方程d\'dtPs，tfpxq“Ps，tHtfpxq.（14）成立。第三步，也是最后一步，将使用此属性和引理A.3来获得 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq是连续可区分的。为了应用引理A.3，我们在多项式空间中表示关于A基的Kolmogorov方程：设v，Vn表示PkpSq的基础，并考虑P r0，T q。回想Hs:PkpSq~nPkpSq，以便我们可以选择Hs的代表矩阵，我们将其表示为AsP RN^N（详情请参见第7.1节，特别是我们将其表示为“UHsU'1，线性映射U:PkpSq~nr由U vj“ej，j”1，…，N定义，标准基为RN，te，…，eNu）。由于pAsq0dsat构成了一个连续的矩阵族，引理a.3给出了初值问题“ddtVps，tq”Vps，tqAt，sataTVps，sq的唯一解“I.10 M.AGOITIA和T.Schmidt定义Vs，T：”U'1Vps，tqU。然后Vs，T:PkpSq~nPkpSq，对于每个f P PkpSq，地图 Q ps，tqTh~nVs，tf P pPkpSq，}KQI连续可区分，Vs，s“I（PkpSq上的身份运算符）和DDTVS，t”'HsVs，t。

（15） 最后，我们证明了Ps，tf“Vs，tf对于完成证明的所有f P PkpSq：fix x P和0dsatdt，并定义新的prq：“Ps，rVr，tfpxq，sdrdt。那么函数W可与d\'drW prq“d\'drPs，r˙Vr，tfpxq\'Ps，rd\'drVr，t˙fpxq”Ps，rHrVr，tfpxq\'Ps，rHrVr，tfpxq“0这表明W是常数，特别是W psq“W ptq，相当于Vs，tfpxq“Ps、tfpxq和证明已完成。4、Feller属性在本节中，我们为相关传递算子的唯一性建立了一个有效的标准—Feller属性。一个中心结果是，具有紧状态空间的多项式过程是Feller过程。我们首先简要介绍以下主题：Revuz和Yor（1994）；B–ottcher（2014）。为此，我们将一组SARdbyCpSq表示为：“tf P CpSq：@εa0 DKAS紧，这样x R ku的| fpxq |ε为S上的连续函数空间在单位内消失。回想一下，配备了}f}：“supxPS | fpxq |，CpSq是一个Banach空间。定义4.1。转移算子pPs，tqps，tqP被称为Feller，如果对于所有的f P CpSq:i）Ps，tf P CpSq，ii）}Ps，tf}d}f}对于所有的Ps，tq P,iii）pPs、tqps、tqP在Banach空间pCpSq上是强连续的}。}q、 在这种情况下，族pPs、tqps、tqP也被称为伐木进化系统。请注意，对于任何马尔可夫过程，由于CpSq中的函数是有界的，因此相关的转移算子Ps、TAR在PSQ上定义。此外，所有马尔可夫过程都满足iiq性质。Feller过程的相关性源于这样一个事实，即人们可以将一个独特的进化系统与Feller过程联系起来，见命题III.2.2。在Revuz andYor（1994）中。提案4.1。让SARdbe紧凑。然后一个S值多项式过程X“pXtq0dtd是一个Feller过程。证明。用pPs，tqps，tqP表示X的转移算子。由于SARdis紧，我们有CpSq“CpSq”。

我们验证定义4.1的属性。显然ii）持有。接下来，我们展示时间非齐次多项式过程11i）：设f P CpSq，x P S和 a 0. 通过Stone-Weierstrass定理，我们知道存在k P N和P P PkpSq，使得}f'P}{3.那么，对于y P S，我们有| Ps，tfpxq'Ps，tfpyq'Ps，tpf'pqpxq''`''''''''Ps，tppxq'Ps，tpp'fqpyq''Ps，tpf'pq''''''Ps，tppyq''''''Ps，tpp'''fq'''''''''''''P'''''''''''124; Ps，tppxq'Ps，tppyq'`}f'P}2{3` | Ps，tppxq | Ps，tppyq |。由于xTh~nPs，tppxq是多项式，因此是连续的，因此存在δa0，因此与| x | yδ一起，它认为| Ps，tppxqPs，tppyq{3和i）如下。鉴于iii）我们必须验证对于每个f P CpSq和pv，wq P 以下内容适用：适用于所有 a0存在δa0，因此对于ps，tq P 有| ps，tq'pv，wq'δwehave}ps，tf'pv，wf}259;. 为此，考虑f P CpSq和 a 0. 如上所述，存在P N和P P PkpSq，使得}f'P}{3.然后，}Ps，tf'Pv，wf}p}Ps，tpf'pq}Ps，tp'Pv，wp'fq}p}Ps，tp'Pv，wp'p'f}f}2{3`}Ps，tp'Pv，wp}。剩下的就是适当地选择ps，tq，使第二项小于{3.在有限维Banach空间PkpSq上，所有范数都是等价的。因此，存在一个常数ca0，使得}Ps，tp'Pv，wp}c}Ps，tp'Pv，wp}kwith}f}m“max0d| k | m |αk |。在命题3.2中，我们证明了pPs，tq在PkpSq上是强连续的。因此，存在δa0，使得'Ps，tq“Pv，wq |aδwehave}Ps，tp'Pv，wp}ka{p3cq。因此，对于ps，tq的选择，我们得到了}ps，tp'Pv，wp}c}ps，tp'Pv，wp}ka{3和iii）如下。备注4.1。

（i） 即使我们知道规范状态空间上的一个函数过程具有Feller性质（见Filipovi\'c（2005）），这也可能无法保持这里所考虑的更一般的状态空间。（ii）命题4.1的证明实际上表明，对于多项式转移算子，定义4.1的性质ii）和iii）成立（在可能不紧凑的状态空间上）。此外，tCpSqACpSq仅持有较弱的资产Ps，而不是财产i），但这将有助于遵循下节开头的常规规范过滤。半鞅特征我们开始研究多项式过程，它是半鞅。对于本文中使用的一般factson半鞅和随机分析，我们参考了Jacod和Shiryaev（2003）。回顾第2.1节，我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，ts nis，X是坐标过程，过滤是标准过滤F：“pFtq0dtdt由X生成。此外，F”FT。这导致了唯一的概率测量P0，ν，X P S，其中ν是X的初始分布，即P0，xp Aq“νpAq。然而，这种过滤既不是完全的，也不是完全连续的，这对于半鞅演算的应用至关重要。我们遵循Revuz和Yor（1994）第III.2节中关于马尔可夫过程的常规增强：考虑初始分布ν。然后，用Fν表示F相对于P0、ν的完成，用Fν表示：“pFνtq0dtdt通过将Fν中的所有P0，ν-可忽略集添加到每个Ft，t P r0，t s中获得的12 M.AGOITIA和t.SCHMIDT过滤。最后，我们设置Ft”cFνt，F：“cFνt”，并表示F：“pFtq0dtdt”。根据Revuz和Yor（1994）中的命题III.2.10，F满足通常的条件，如果X是Feller，则通常无法用于考虑的多项式过程。

然而，如备注4.1 ii）所述，较弱的财产持有，即ii）和iii）满足定义4.1，而不是i）它持有Ps、tCpSqACpSq。尤其是，此属性适用于有界连续函数。对命题III证明的检查。2.10表明这实际上有助于F的正确连续性。我们以类似的方式定义过滤Fs“pFs，tqsdtdt从s P r0，t s开始。最后，类似于第2.1节，我们定义了从时间点s P r0，t s开始的相应数量，即Ps，ν，Fν和Fs。现在，我们准备重述半鞅演算的标准概念。对于c\'adl\'ag过程X，我们定义了X和X X X'X0'“X，Xt'”lims`Otxs对于ta0，Xt“Xt'Xt'。如果过程X具有分解X”X'N'M，则过程X是pP，Fq半鞅，其中X是F-可测的，N是c'adl'ag，F-自适应的，在每个单位区间上具有有限的变化路径“0和M是从0开始的pP，Fq局部鞅。我们强调了对P和F的明显依赖，因为在下面我们将提到不同的滤波和度量。对于以下定义，我们将记住这种依赖性，但为了便于理解，我们通常将其放在符号中。我们可以将整数值随机度量uX与X乘以uXpdt，d的跳跃相关联xq“"ysě0tXs‰0uδps，Xsqpdt、dxq；（16） 这里δa是点a处的狄拉克测度。我们表示随机测度uXbyν的补偿器或双重可预测投影。这是唯一的F-可预测随机测度，它呈现关于uX'ν局部鞅的随机积分。如果N是可预测的，则半鞅X称为特殊的。在这种情况下，decompositionX“X\'N\'M是唯一的，我们称之为正则分解。

局部鞅部分M可以分解为连续的局部鞅部分（我们用Xc表示）和纯间断的局部鞅部分（X'Xc）。对我们来说，一个基本概念是半鞅的特征。一般半鞅的特征通常涉及分支函数h。然而，这里我们只讨论特殊半鞅，这样就没有必要了，可以选择hpxq“x”。具有唯一分解x“x\'B\'M”的特殊半鞅x的特征是三重态pB，C，νq，其中B“pBiq是一个有限变化的过程，C”pCijq与Cij“@Xi，C，Xj，cd和ν”νXis是等式（16）中定义的uXde的补偿器。引理5.1。让x“pXtq0dtdTbe是一个mě2 andArd闭合的S值m-多项式过程。然后对于所有0dSdt和所有x P S，过程pXtqsdtd是一个关于随机基P的特殊半鞅Ohm, F、pFs、tqsdtdt、Ps、xq。证据我们用pHsq0dsaT表示X的最小生成元。根据假设，X是2多项式，因此我们可以将命题3.6应用于第i次非齐次多项式过程的投影13coordinate，πipx，xdq：“xi，1didd。因此，Mis，t：“Mπis，t”Xit'Xis'tsHuπipXuqdu，sdtdt（17）是一个pPs，x，Fsq鞅。根据Neufeld和Nutz（2014）中的命题2.2，它是另外一个apPs，x，Fsq鞅。为Xit求解，我们看到XII是一个绝对连续（因此是可预测的）过程和一个鞅的和，因此是一个特殊的半鞅和sois x。定理5.2。固定0dsdT和x P s，并表示m-多项式过程pXs，tqsdTdtwi相对于pFs，tqsdTd和Ps，xbypBt，Ct，νtqsdTdT的半鞅特征。

如果mě2，则以下情况成立：i）存在可测函数bi，aij:r0，T q^S~nR，1di，jdd，不依赖于和x，因此对于所有0dTaT和ξP Sbipt。q P PpSq，aijpt。q P PpSq，带bip。，ξq，aijp。，ξq P Cr0，T q andBit“ztsbipu，Xuqdu，（18）CijtztszRdξiξjνpdu，dξq”ztsaijpu，Xuqdu，（19）对于所有0dTdT和1di，jdd.ii）存在一个可测函数c“pcijqdi，j”1:r0，T q^sdRd^d，取值于一组正半限定矩阵中，例如CIJS，T“ztscijjjpu徐克渡，0dsdTdT.（20）iii）对于每个0dtdt，存在一个从pS、Sq到prd、BpRdqq的正转换内核kt，它集成了` | x ^^1'和satis Kupx，t0uq“0，因此νpω；dt，dξq”KtpXtpωq，dξqdt。（21）此外，对于所有3d| k | m，存在αlP Cr0，T q，0d| l | k |因此zRdξkKtpx，dξq“| kl |”0αlptqxl，x p S，T p r0，T q.（21）22）证明。我们的证明遵循了Cuchieroet al.（2012）中命题2.12中的第一个含义的证明，此外还考虑了时间不均匀性。i）方程（17）意味着位“stsHuπipXuqdu，我们设置了bipu，ξq：”Huπipξq，0dudT，ξP S.（23）由于πip PpSq和，根据定理3.7 c），Huπip P，它遵循bipu，.q P PpSq。此外，根据定理3.7 d）映射uThИHuπipξq”bipu，ξq是连续的。14 M.Gagotia和T.Schmidt将其与pxpxq“xkimesfkimes”相结合PXTQ“fkpxqztsd"yi”1DifkpXuztsd"yi，j“1DijfkpXu'qdCijs，u'u't'fkpXuq'fkpXu'q'd'i”1DifkpXu'q秀,。（24）首先，我们专注于跳跃部分。由i'thentry为1且其余分量为0的d'维向量表示，并由uX与X的跳跃相关的随机测度表示。自Dixkξ“kixk'ei起，我们得到pXu'''''ξqk'pXu'qk'd'i“1DikipXu'qk'eiξi”| k'''''l''l''''Xk'lu l'pXu'qk'd'i 1kipXu'qk'eiξei“| k'255;'l'”2^kl'Xk'lu'ξl”：W pu，ξq。