时间非齐次多项式过程

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英文标题：
《Time-inhomogeneous polynomial processes》
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作者：
Mar\\\'ia Fernanda del Carmen Agoitia Hurtado and Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Time homogeneous polynomial processes are Markov processes whose moments can be calculated easily through matrix exponentials. In this work, we develop a notion of time inhomogeneous polynomial processes where the coeffiecients of the process may depend on time. A full characterization of this model class is given by means of their semimartingale characteristics. We show that in general, the computation of moments by matrix exponentials is no longer possible. As an alternative we explore a connection to Magnus series for fast numerical approximations.   Time-inhomogeneity is important in a number of applications: in term-structure models, this allows a perfect calibration to available prices. In electricity markets, seasonality comes naturally into play and have to be captured by the used models. The model class studied in this work extends existing models, for example Sato processes and time-inhomogeneous affine processes.
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中文摘要：
时间齐次多项式过程是马尔可夫过程，其矩可以通过矩阵指数轻松计算。在这项工作中，我们发展了时间非齐次多项式过程的概念，其中过程的系数可能依赖于时间。利用该模型类的半鞅特征给出了该模型类的一个充分刻画。我们证明，一般来说，不再可能通过矩阵指数计算矩。作为另一种选择，我们探索与Magnus级数的联系，以实现快速数值近似。时间不均匀性在许多应用中都很重要：在期限结构模型中，这允许对可用价格进行完美校准。在电力市场中，季节性自然发挥作用，必须通过使用的模型来捕捉。本文研究的模型类扩展了现有的模型，例如Sato过程和时间非齐次仿射过程。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-10 03:27:26 上传

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关键词：多项式 Applications Exponentials Mathematical Differential

时间非齐次多项式过程Mar'IA FERNANDA DEL CARMEN AGOITIA HURTADO和THORSTEN SCHMIDTAbstract。时间齐次多项式过程是马尔可夫过程，其矩可以通过矩阵指数轻松计算。在这项工作中，我们发展了一种时间非齐次多项式过程，其中过程的系数可能依赖于时间。利用半鞅特征给出了该模型类的一个充分刻画。我们证明，一般来说，不再可能用矩阵指数计算动量。作为另一种选择，我们探索一种连接到Magnus级数的快速数值近似方法。时间不均匀性在许多应用中都很重要：在期限结构模型中，这允许对可用价格进行完美校准。在电力市场中，季节性自然发挥作用，必须通过使用的模型来捕捉。本文研究的modelclass扩展了现有模型，例如Sato过程和时间不均匀a ffine过程。关键词：多项式过程、a ffne过程、马格纳斯级数、时间非齐次马尔可夫过程、季节性、电力市场、信用风险、利率。1、介绍马尔可夫过程的许多应用，特别是在数学金融中，证明了矩的高效可计算性。例如，这是期权价格计算和矩估计的一个重要特征。这推动了Cuchiero等人（2012）对多项式过程的研究，因为它们通过定义直接满足这一特性：多项式过程X是一个马尔可夫过程，因此未来时间过程的非多项式的期望值由过程初始值的多项式（相同阶数）给出。事实证明，如果存在处理过的矩，这一性质是众所周知的a ffne过程所共有的。

其他重要的例子分类为多项式过程：Jacobi过程，这是生活在整个空间的紧凑子集上的过程，参见Delbaen和Shirakawa（2002）和Gouriroux和Jasiak（2006）以及PearsonDiffusions，表现出线性漂移和平方扩散系数，inForman和Sorensen（2008）正在研究。除此之外，多项式过程在金融领域越来越受欢迎，见Filipovi\'c和Larsson（2016）。应用领域从期限结构建模（见Cheng和Tehranchi（2015）和Grbac（2015））到方差掉期（见Filipovi\'c et al.（2014））、伦敦银行同业拆借利率模型（见Glau et al.（2014））以及期权定价和对冲的方差减少，如Cuchiero et al.（2012）。上述所有模型在时间上都是同质的，因此不考虑季节性。时间不均匀性在期限结构建模中也起着重要作用，因为它允许对观察到的市场数据进行完美校准。一个自然的例子，时间非齐次多项式的所有特征都发挥了作用，即有界日期：2018年6月12日。我们感谢马丁·拉尔森提出的富有洞察力的建议。第一作者感谢国家科学和技术委员会（CONACyT）的慷慨支持。2 M.AGOITIA和T.SCHMIDTstate space AND seasonality是电力现货市场，我们参考AGOITIA Hurtado（2017）了解详细应用。本文的目的是刻画和研究时间非齐次多项式过程。虽然在时间齐次多项式过程中，所有阶的矩都可以通过矩阵指数来计算，但这种性质在时间非齐次情况下并不存在。相反，我们通过磁系列给出了一个近似值，它仍然提供了足够的可处理性。

此案例的小应用程序。本文组织如下：在第2节中，我们介绍了时间非齐次多项式过程。接下来，我们将在第3节探讨演化系统与时间非齐次多项式过程的转移算子之间的联系，并给出一个表征结果。在第四节中，我们证明了具有紧状态空间的时间非齐次多项式过程是Feller过程。此外，我们在第5节中给出了时间非齐次多项式过程与半鞅之间的关系。第8节给出了时间非齐次多项式过程的一些例子，以及一些反例。在第9节中，我们给出了计算时间非齐次多项式过程矩的Magnus级数。此外，本节还包含一些时间非齐次多项式过程的示例，这些过程的矩可以使用前一节中给出的结果进行计算。一些辅助结果参见附录A.2。多项式过程我们的目标是研究具有状态空间SARn的时间非齐次马尔可夫过程。仅假设状态空间S是可测量的，并且非常丰富，可以唯一识别多项式。通过S，我们表示S上的Borelσ-代数，通过S，我们表示非负可测函数的空间f:S尼R。为了便于表示，我们定义了最终时间范围Ta0，并引入了三角形 :“tps，tq | 0dsdtdt u。（1）马尔可夫过程s可以由一系列（时间非齐次）传递算子pPs，tqps，tqP表征, 给定byPs，tfpxq“zSfpξqps，tpx，dξq，（2）对于所有x P S和f P S”。

这里，ps，tpx，Aq表示转移概率函数，它满足以下众所周知的特性（比较Revuz和Yor（1994），第三章，了解更多详细信息）：（i）ps，tpx，Aq在ps，t，xq中是联合S-可测量的，对于所有A P S，（ii）对于固定ps，tqp x P S，ps，tpx，¨q是S上的概率度量，（iii）对于所有x P S和t P r0，t S，pt，tpx，¨q“δx，其中δxdenotes是狄拉克测度，（iv）查普曼-科尔莫戈罗夫方程holdps，upx，Aq“zSps，tpx，dyqpt，upy，Aq，0dsdtdudt。这些性质立即转化为传递算子的相关性质。特别是查普曼-科尔莫戈罗夫方程yieldPs，ufpxq“Ps，tPt，ufpxq，对于所有f P S`。使用以下多索引表示法将很方便：对于k”pk，…，kdq P Ndlet | k |“k`…`kdand xk”xk¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨xkd。通过PmpSq，我们表示S上mě0阶多项式的有限维时间非齐次多项式过程3向量空间，即PmpSq：“tS Q xThm"yk |”0αkPru（3）PmpSq的尺寸由Na8表示，并取决于S。此外，表示Pm：“PmpRdq。我们的目标是考虑菲利波维奇（Filipovi\'c）和拉尔森（Larsson）（2016）中的一般状态空间，因为（3）中的多项式的重复可能不是唯一的。考虑到这一点，我们通过pfq”tα：m | k |“0αkxk”fu定义多项式f Pmits表示，并考虑范数}f}m”infαPRpf qmax0 | k |。（4（）现在我们可以引入一类适当的时间相关多项式。让我们来“S” ^S是增广状态空间（由三角形表示的时间增广). 由Cp提供, Rq我们表示一次连续可微分函数的空间 对于R.阶数最多为m的时间相关多项式的向量空间由▄PmpSq定义：“t▄S Q ps，t，xqThnim▄k▄”0αkps，tqxk：αkP Cp, Rqu。

（5） 与PmpSq相比，~PmpSq是一个有限维向量空间。在命题A.1中，我们证明了在适当的范数下，~PmpSq确实是一个Banach空间。定义2.1。我们称转移算子为pPs，tqps，tqPm-多项式如果对于所有k Pt0，mu和所有f P PkpSqS Q ps、t、xqTh~nps、tfpxq都在PkpSq中。如果pPs、tqps、tqP是所有mě0的m-多项式，则简称为多项式。备注2.1。让我们强调与此定义相关的一些要点。i） 注意，我们隐含地假设，对于每个f P PmpSq、x P S和Ps、tqp，存在m阶矩，即Ps，t | f | pxq“S | fpξq | Ps，tpx，dξqa8. 此外，请注意，对于状态空间S、Ps、tf“0上的任何多项式F，可以很好地定义变换运算符。ii）变换运算符pPs、tqps、tqP称为时间齐次，ifPs，t“P0，s’t”：Ps’t。这是Cuchiero et al.（2012）所述的情况，但在sTh~nPsfpxq在s“0代替了此处所需的连续可微性。在时间齐次的情况下，可以通过半群方法将零处的连续性扩展到整条直线。原因是在时间齐次的情况下，转移算子Ps，tca可以简化为马尔可夫半群。在更一般的情况下，我们认为这将不再可能。iii）非常有效的研究时间非齐次马尔可夫过程的技巧是将时间作为过程的附加坐标。转换后的过程称为时空过程，比较一下B¨ottcher（2014）的这种处理方法。应用这个技巧4 M.AGOITIA和T。

Schmidto多项式过程会严重限制时间不均匀性的类型，因为对时间的依赖性要求是多项式形式。在下面的命题中，我们证明多项式过程可以等价地由以下两个更简单的条件来描述。提案2.1。过渡运算符pPs、tqps、tqP是m-多项式当且仅当以下两个条件成立：i）对于所有k P t0，mu，所有f P PkpSq和ps，tq P,S Q xTh~nPs，tfpxq在PkpSq中，ii）对于所有k P t0，mu、所有f P PkpSq和x P S， Q ps，tqTh~nps，tfpxq在Cp中q、 证明。必要性从定义开始就紧随其后。为了提高效率，设0dkdm和f P PkpSq。映射S Q xTh~nxl的一个子族，0| | l | k，将构成我们用tv表示的KPSQ的基础，vNu。条件i）得出Ps，tf P PkpSq for everyps，tq P. 因此，存在系数αfjps，tq，0djdN，因此ps，tf“N"yj”1αfjps，tqvjan，我们需要证明αfjP Cpq、 j“1，…，N.为此，让v，…，vndnote tv，…，vNu的双重基础，即每个vjis是双空间pPkpSqqandvipvjq“1ti”ju的一个元素。然后vipPs，tfq“vi"yN"yj”1αfjps，tqvj,“N"yj”1αfjps，tqvipvjq“αfips，tq。根据条件iiq映射 Q ps，tqTh~nps，tfpxq对于所有x P S都是连续可微的。因此，引理A.2也将映射 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq持续存在差异。但线性泛函vi（作用于有限维空间）自动连续且有界。表示其运算符范数vi, 即vi “最大0‰gPPkpSq | vipgq |}g}k，我们得到| vIPP，tfqvIPP，tfq |”| vIPP，TFP，tfq |vi Ps，tf'Ps，tf}k。但这里，右边是0，对于Ps，tq~nPs，tq，通过Ps，tqTh~nPs，tf P pPkpSq，}的连续性kq和so的连续性 Q ps，tqTh~nvIPP，tfq“αfips，tq如下。

以同样的方式，我们看到αi甚至是连续可微的。2.1. 相关的多项式过程。因为我们对马尔可夫过程感兴趣，它是半鞅，所以我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，T s~ns，X是坐标过程，过滤是由X生成的规范过滤pFtq0dTdT。此外，F“FT。然后，根据Revuz和Yor（1994）中的定理III.1.5，对于任何初始分布和转移操作符pPs，tqps，tqPp上存在唯一的概率测度Ohm, F q使得X是马尔可夫的，关于转移算子pPs，tqps，tqP的正则滤波.时间非齐次多项式过程5这一设置允许我们引用多项式过程X，它是一个具有多项式演化系统的马尔可夫过程，没有强加Feller性质（参见第4节）。我们还使用了m-多项式过程现在显而易见的定义。3、进化系统在这一节中，我们证明了多项式过程中的转移算子实际上导致了一个进化系统。在时间不均匀的情况下，进化系统取代了半群，但人们对它的了解要少得多。我们参考Pazy（1992）；Gulisashvili和van Casteren（2006）进行了更详细的阐述。定义3.1。两参数有界线性算子族U“pUs，tqps，tqP如果满足以下两个条件，ona Banach空间pB，}¨}q称为演化系统：i）Us，s“I表示所有0dsdT（其中I表示单位运算符），ii）Ur，sUs，T”Ur，T表示所有0drdsdTdT。进化系统的重要性源于这样一个事实，即我们可以通过转移概率函数将进化系统与马尔可夫过程相关联。请注意，马尔可夫半群pPtq0dTdtindect通过U ps，tq“Pt\'s，ps，tq P诱导进化系统.

演进系统pUs、tqps、tqP被称为强连续if for eachps，tq P 和f P B，limQpv、wq~nps、tq}Uv、wf'Us、，tf}“0.对于强连续演化系统，我们将其最小生成元定义为具有GSF的线性算子族G”pGsq0dsdTof：“limh'O0hpUs，s ` hf'fq。GSSQ的域D是存在上述极限的B的子空间。以下引理说明了强连续演化系统的Kolmogorov方程。方程（6）被称为Kolmogorov向后方程，（7）被称为Kolmogorovforward方程。这一基本结果的证明见（R¨uschendorf et al.，2016，引理2.1）。引理3.1。对于具有最小生成元的强连续演化系统U，它认为：i）如果f P B和sTh~nUs，tf对于0dsat，然后是dadsUs是右可微的，tf“'GSU，tf。（6）尤其是美国，tf P DpGsq用于0dsat。ii）如果f P D pGsq用于0dsat，则D\'dtUs，tf“Us，tGtf。（7）让我们强调一下，上述方程对于Banach空间pB，}成立q、 我们的下一步是证明m-多项式过程的转移算子构成了一个强连续演化系统。在下文中，我们将此进化系统称为马尔可夫过程的关联进化系统。提案3.2。如果转换运算符pPs、tqps、tqP是m-多项式，它们在pPkpSq上形成了惊人的连续演化系统，}每0dkdm.6 m.AGOITIA和T.SCHMIDTProof的kq。验证pPs、tqP、tqP是满足定义3.1中i）点和ii）点的线性算子族。此外，它们是有界的，作为有限维赋范空间pPkpSq上的线性算子，}¨}kq是自动有界的。所有这些都是为了表现出很强的连续性，即。

对于每个f P PkpSq，我们有}Ps，tf'Pu，vf}k~n0 Q ps、tq尼普、vq。根据引理A.2，这相当于所有x P S的| Ps、tfpxq'Pu、vfpxq | ni0。然而，这遵循命题2.1 ii）。3.1. 小型发电机。在本小节中，我们将说明多项式过程的最小生成元（将在下文介绍）实际上与相关进化系统的最小生成元一致。过渡运算符pPs、tqps、tqP的最小生成器是线性算子族H“pHtq0dtdTsatisfyingpHsfqpxq：”limh'O0hpPs，s\'hf'fqpxq，x P s。同样，域D pHsq是所有x P s都存在上述极限的可测函数f:s~nR的集合。引理3.3。让转移算子pPs，tqps，tqP是具有独立生成器H的m-多项式。则以下情况适用：i）所有0dsaT的PmpSqAD pHsq。ii）如果0dkdm和Ps的f P PkpSq，tfpxq“k | l |”0αlps，tqxl，thenpHsfqpxq“k | l |”0D `αlps，sqxl，x P S.（8）iii）所有0dkdm和所有0dSaT的hspkpsqq。证明。让0dkdm.因为x是m多项式，P，.f PaPpSq。对于0dSaT和0h自αlP Cp以来，我们从上方获得了HPP、S ` hf ` fq pxq“k | l |”0h `αlps、S ` hq `αlps、sqxl~nk | l | 0D `αlps、sqxlas h~n0q、 因此，i）和ii）遵循。第iii部分）紧随（8）中H的表示。以下命题表明，微元生成器的这两个概念实际上在多项式的适当空间上重合。提案3.4。考虑m-多项式转移算子，其最小生成元为pHsq0dsd，并让pGsq0dsdTbe作为pPmpSq上相关进化系统的最小生成元，}kq。然后，它认为i）D pGsq“PmpSq对于每0dsaT，ii）如果f P PmpSq那么Gsf“Hsf对于每0dsaT。时间非齐次多项式过程7证明。显然，DpGsqaPmpSq。