时间非齐次多项式过程

（25）从方程（17）中回忆，Xit“Xis ` Mis，t ` Bis，t，使得fkpxtq“fkpxq ` tsd"yi”1DifkpXu'qdMis，u'tsd'i“1DifkpXu'qdCijs，u'ts'RdW pu，ξquXpdu，dξq.（26）补偿ux我们得到fkpxq是一个具有唯一半鞅的特殊半鞅分解。使用等式（9）中的符号我们用Mfks表示局部鞅部分，并获得fkpxtq“fkpxq ` Mfks，t ` tsd ` i”1DifkpXu'qdBis，u ` tsd'i，j”1DijfkpXu'qdCijs，u ` ts'RdW pu，ξqνpdu，dξq“fkpxq'Mfks，t'tsHufkpXuqdu；（27）时间非齐次多项式过程15最后一个等式来自引理3.5，特别是方程式（9）。我们将此表示应用于二次多项式fijp XQ：“xixj，1di，jdd并获得ztsHufijpXuqdu（28）“ztsd"yk”1DkfijpXu'qdBks，uztsd"yk，l“1DklfijpXu'qdCkls，uztszRdξiξjνpdu，dξq”tsXju dBis，uztssui'dBjs，u'Cijs，tztszRdξiξjνpdu，dξq.“ztsXjubipu，Xuqdu `ztsXiubjpu，Xuqdu ` Cijs，tztszRdξiξjνpdu，dξqwith bip.，.q来自方程式（23）。鉴于我们的主张，setaijpu，ξq：“Hufijpξq'ξjbipu，ξq'ξibjpu，ξq。由于Hufijp PpSq，根据定理3.7 c）和d），我们得到了aijpu，、q P PpSq andaijp，、ξq P Cr0，T q。此外，表示（19）现在遵循（28），并证明了i）。ii）：首先，定义可预测和递增的过程A byAs，tpωq：“ztszRd |ξ|νpω；du，dξq，sdtdt.然后，根据Jacod和Shiryaev（2003）中定理II.1.8的证明中的相同论点，在pRd，BpRdqq上存在一个转移核Ktpω；dξq”Ktpω；dξqdAs，tp q。此外，由于by（19）d"yi“1Ciis，tpωq\'as，tpωq“d"yi“1ztsaiipu，Xupωqqduan由于pCiis，tq，i P t1，…，du和pAs，tq是有限变化的非负增长过程，它们对于Lebesgue测度是绝对连续的。

根据命题I。3.13在Jacod和Shiryaev（2003）中，存在可预测的过程，即，t“ztsciiudu和As，t”tsaudu，sdtdt.ThenrKtpω；dξq：“~atpωqKtpω；dξq再次是一个可预测的过渡核。它几乎可以肯定地满足νpω；dt，dξq”rKtpω；dξqdt qdt。这允许获得（19）的以下表示，这次对于所有1di，jdd：Cijs，tpωq“zts^aijpu，Xupωqq'RdξiξjrKupω；dξq˙du，sdtdt。因此，pCijs，tq对于i‰j的勒贝格度量也是绝对连续的，从而产生表示Cijs，t”tsscijudu。根据Jacod和Shiryaev（2003）中的命题II.2.9，我们能够找到c和K，从而ctpωq“cpt，Xtpωqq和~Ktpω；dξq“KtpXtpωq；dξq，显示（20）（以及ii）和（21）的有效性。16 M.AGOITIA和T.SCHMIDTiii）：将ii）的结果插入到（27）中，并将我们获得的可预测有限变量部分与s中的连续性相等，即zRd | k | l | 3^kl˙fk˙lpxqξlKspx；dξq“Hsfkpxq"yd"yi”1dijpxqqbips，xqforall x P s.现在| k |“3该方程的读数为zRdξkKspx；dξq”Hsfkpxq'd"yi“1Difkpxqbips，xq'd"yi，j”1difkpxqaijps，xqand此处右侧为PpSq（作为x的函数），并在s中连续（如下所示），显示了（22）对于| k |”3。一般| k | 3的有效性现在由归纳得出。我们的下一个目标是扭转上述程序。我们证明了一个满足定理5.2中i）-iii）的特殊半鞅确实是m-多项式，如果转移核Ktsatisfyan附加条件。定理5.3。设X“pXtq0dtdTbe为状态空间为S的马尔可夫过程，设mě2。假设对于所有0dSdt和所有X P S，过程pXtqsdtd是关于P的特殊半鞅Ohm, F，Fs，Ps，xq及其特性pBs，Cs，νq满足定理5.2的iiiq。

如果加上，xzRd |ξ| mKtpXt，dξqa8，对于几乎所有的0dsdtdt，（29）或zRd |ξ| mKtpXt，dξqdCp1 ` | Xt | mq，0dtdt，（30）对于某些常数C，则X是m多项式过程，对于所有g P PmpSq，0dsaand x P s它认为hsgpxq“d"yi”1Digpxqbips，xq\'d"yi，j“1Di，jgpxqcijps，xq\'Rdpgpx\'ξq'gpxq\'d"yi”1Digpxqξiqspx，dξq，（31）其中bi，cij，ks在定理5.2的iiiiiiiq中定义。让g P和de finev px，ξq：“gpx'ξq“gpxq‘d"yi”1Digpxqξi，x P s，ξP Rd.根据泰勒公式V px，ξq“m | l|“2Dlgpxqξll！and so | V px，ξq | ` |ξ| ^ |ξ| mm"yl |”2 | Dlgpxq | l！：` |ξ| ^ |ξ| m| hpxq。特别是，（19）和（22）表示| Rd | V px，ξq |124; Kupx，dξqdhpxqzRd ` |ξ| ^ |ξ| mKupx，dξqa8.时间非齐次多项式过程17因此过程pstssRdV pXu，ξqKupXu，dξqduqsdtd是局部可积变分。它的o’s公式产生了mgs，t：“gpXtq'gpxq'tsd”"yi“1DigpXuqbipu，Xuqdu（32）'tsd"yi，j”1dijgpxuqcipu，Xuqdu'tszRdV pXu，ξqKupXu，dξqdu，sdtdt，是关于随机基p的局部鞅Ohm, F，Fs，Ps，xq（比较Jacod和Shiryaev（2003）中定理II.2.42，aq~ncq的证明）。定义生成器ugpxq：“d"yi”1Digpxqbipu，xq\'d"yi，j”1dijgpxqcipu，xq\'RdV px，ξqKupx，dξq。根据定理5.2中iiiiq的有效性，cijpu，xq“aijpu，xq'RdξiξjKupx，dξq。此外，再次使用泰勒公式，V px，ξq d"yi，j”1dijjgpxqξiξj“m | l |”3Dlgpxqξll！（按照约定，m | l |”3p…q：“0 if m”2）。因此，Lugpxq“d"yi“1Digpxqbipu，xq\'d"yi，j”1dijgpxqaipu，xq\'Rd^m"yl |”3Dlgpxqξll！Kupx，dξq。定理5.2中的条件iq'iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii接下来，我们证明了MG实际上是一个真鞅。

使用该| gpyq | Cp1 ` | y | mq获得一些常数Cwe，xsupsdτt | Mgs，τ|dEs，xr | gpXτq | s | gpxq | `zsβpuq Es，xr | Xu | msdudCp1 ` Es，xr | Xτm | sq | gpxq | `ztsβpuqdu Es，X | supsdu |τXu | Xu | m. （33）现在，Es，x“supsdudτ| Xu | ma8通过应用Burkholder-Davis-Gundy不等式，遵循Cuchiero et al.（2012）中的假设（29）和/或（30），我们在下面的引理5.4中提供了精确的证明。由于MG是一个局部鞅，因此（33）的结果一致性意味着它确实是一个真正的鞅。正如引理3.5中iq~niiq的证明一样，我们可以看到，tgpxq“gpxq `ztsPs，uLugpxqdu.18 M.AGOITIA和T.Schmidt，尤其是在定理3.7的证明中，uTh~nPs，uLugpxq是连续的，因此存在以下限制：limhOE0h'1pPs，s ` hgpxq'gpxqq“Lsgpxq。因此，g P D pHsq和Hsgpxq”Lsgpxq。总之，我们已经证明定理3.7中的所有条件aq'dq都是满足的，因此X是M多项式。定理5.3的证明依赖于以下引理，该引理是Cuchiero等人（2012）中引理2.17对时间不均匀设置的改编。引理5.4。设0dsaτT和x P E为固定值。考虑一个半鞅X，并假设其半鞅特征pB，C，νq满足定理5.2中的iq'iiiq点。然后存在一个常数Csuch thatEs，x“supsdudτ| Xu | md^| x | m\'1zτsEs，xzRd |ξ| mKupXu，dξq杜zτsEs，xr | Xu | ms du˙。（34）此外，如果满足条件（29）或（30）中的一个，则存在有限常数▄Cand▄Csuch thatEs，x▄supsdu▄τ▄Xu▄mdИCeCτ。（35）证明。通过Yt“pt，Xtq和状态空间▄E：“rs，t q^Rdand sample space▄定义sdtat进程YOhm :“rs，T q^Ohm. 过程Y是一个时空齐次马尔可夫过程。

特别地，这个过程是一个pd'1q维半鞅，其特征为p▄B，▄C，~νq定义为：~Bt“ztsbpYuqdu”ztsbpu，XuqduCt“ztscpYuqdu”ztspu，Xuqdupω；dt，dξq“~KpYtpωq，dξqdt”KtpXtpωq，dξqdt。由于b、c和K满足定理5.2中的iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCuchiero et al.（2012）中命题2.12的条件（2.11）-（2.13）。然后，Cuchiero et al.（2012）中的引理2.17得出（34）和（35）. 5.1. 多项式跳跃差分。我们通过介绍一类定理5.3适用的过程来结束本节。定义5.1。设mě2和X“pXtq0dtdTbe是一个具有不同特征pb、c、Kq的S值半鞅。然后，如果以下条件成立，我们称X为m多项式跳差：i）对于所有1didd、0dtat和所有X P S:bipt，.q P PpSq和bip，xq Cr0，t q.ii）对于所有1di、jdd、0dtat和所有X P S:cijpt，.q P和cijp，PpSq al的时间非齐次多项式过程l 2~nk~nm存在αlP Cr0，T q，0~nl~nk~n，因此zRdξkKtpx，dξq“| k | l |”0αlptqxl，x P S，T P r0，T q.iv）其中，xzRd |ξmKtpXt，dξqa8，对于几乎所有的0dsdtdt，或zRd |ξ| mKtpXt，dξqd| Cp1 ` | Xt | mq，0dtdt。注意上述假设ii）和iii），对于| k |”2，意味着函数saijpu，yq“cijpu，yq ` RdξiξjKupy，dξq满足定理5.2，第1部分的所有要求），以下推论立即来自定理5.3。推论5.5。让X“pXtq0dtdtb为S值m多项式跳变差。然后，X是m多项式过程及其微型生成器pHsq0dSdTsatis fieshsfpxq“d”我“1Difpxqbips，xq\'d"yi，j”1Di，jfpxqcijps，xq\'Rdpfpx`ξq'fpxq'd"yi”1DifpxqξiqKspx，dξq，适用于所有f P PmpSq，0dsaT和x P s.6。

示例在本节中，我们使用上面讨论的特征化结果来展示多项式过程的一些示例，以及不属于此类别的随机过程的示例。我们首先证明了一些广泛使用和著名的随机过程类确实是多项式。这表明多项式过程的广泛适用性。6.1. 多项式微分。S值半鞅pXtq0dtd如果是一个没有跳跃的多项式it^o过程，则称为多项式微分，即Kt“0表示所有0dtdt。根据推论5.5，多项式微分是一个多项式过程。特别是，如果c“σσJ，σ”σpt，xq P Rd^d表示σijpt，q P PpSq和σijp，xq P Cr0，t表示所有1di，Jdd，x P S和0dtat，则x是随机微分方程dxt的强解“bpt，Xtqdt `σpt，XtqdWt，其中W是标准的d维布朗运动。回想一下，通过定义，bipt，.q PPpSq对于所有0dtdt.20 M.AGOITIA和t.SCHMIDT6.2。时间非齐次L'evy过程。Rd值过程pXtq0dtd，如果它有独立的增量，则称为时间齐次L'evy过程。对于每0dtdt，X的定律以特征f为特征Uctione“eixu，Xtyi”exp^z"ixu，bsy'xu，csuy'Rd'eixu，ξy'1'ixu，ξy1t'ξ'Kspdξqds˙，其中每0dsdT，它认为bsP Rd、csP Rd^非对称和正定义，Ks是Rd的度量，参见Kluge（2005）。那么X是一个具有不同特征pb，c，Kq的半鞅，参见Jacod和Shiryaev（2003）。特别是，如果sTh~nbS和sTh~ncS是连续的，并且如果F满足某些mě2的条件（29）或（30），则Xis是m-多项式。6.3. 一系列流程。如果杀伤率为常数且L'evy度量νipt，¨q，对于i P t1，…，pu，满足ξ1，ξmνipt，dξq，tě0，则S“Rp'Rd'pism多项式上的随机连续过程X。

（36）事实上，根据Filipovi\'c（2005）中的定理2.13，我们知道强正则过程是一个Feller半鞅，具有极小生成元，由以下公式给出：H f pxq“d"yk，l”1Aklpt，xqDk，lfpxq\'xBpt，xq，f pxqy'Cpt，xqf pxq'zEztupfpx'ξq'fpxq'xf pxq，χpξqyq Mpt，x，dξq，式中，xq“aptq\'m"yi”1αiptqxi，aptq，αiptq P Rd^d，Bpt，xq“bptq\'n"yi”1βiptqxi，bptq，βiptq P Rd，Cpt，xq“cptq\'m"yi”1γiptqxi，cptq，γiptq P R\'，Mpt，x，dξq“λpt，dξP"yi“1νipt，dξqxi，其中λpt，¨q是Ez t0u上的Borel度量。特别是，差异特征在X中起作用。系数的性质由所谓的可容许条件和连续性来表征。有关详细信息，请参阅Filipovi\'c（2005）。注意，这里我们还假设了连续的差异性。（时间不均匀）Keller-Reselet等人（2018年）研究了没有随机连续性假设的a ffeneprocesses。时间非齐次多项式过程216.4。非m-多项式的时间非均匀过程示例。具有二次漂移的过程。让SAR关闭。设X为SDE（直到爆炸）dXt“paptq ` bptqXt ` Xtqdt ` dWt，X”X的解，其中aptq和bptq是连续且有界的函数。过程的生成器可以很容易地获得，并由下一个表达式Htfpxq“paptq ` bptqx ` xqdfpxqdx给出。但此运算符将m阶多项式映射为m ` 1阶多项式。即，如果我们取fmpxq“xmP Pm并应用操作符Ht，然后应用htfmpxq”maptqxm'1'mbptqxm'mxm'1'mpm'1qxm'2。我们可以看到该HtfmP Pm'1。因此我们得出结论，HtpPmqAPm'1，因此过程X不是m'多项式。柯西过程。

根据Gulisashvili和van Casteren（2006）的示例1.12.2，如果转移密度为byps，tpx，yq“Γ710; d\'1˙t\'s”π'pt'sq'y'x'pd'1q，0dsat，x P Rd，y P Rd.为了在下一次计算中简单起见，我们只考虑情况d“1，x”0和s”0。首先，我们将取fpxq“x P PpRq，并计算ta0P0，tfp0q“ErXt | x“0s”tπzR ` yt ` ydy”tπlnpt ` yqˇ8。对于每个fpxq P Pk，k，都会得到相同的结果“0，…，m和对于每个m P N，因为已知Cauchy分布具有每个阶的有限矩。特别是，Cauchy过程提供了一个马尔可夫过程的进一步示例，该马尔可夫过程对于任何m P N都不是m多项式。6.5.一个m多项式过程，它不是一个函数。我们再次考虑方程（51），Xt给出的一维tochastic过程“ztsapuqdu ` wt我们还考虑了，对于一些常数A，A，A，processYt”A ` AXt ` AXt。我们现在将证明过程pX，Y q是一个二维多项式过程，它不是一个有效的过程。从它的^o引理中，我们知道Ytis的动力学由dyt“pA\'A\'2axqaptqdt\'pA\'2axqdwt”给出，从而得到了^dXtdYt˙“^aptqpA ` Aqaptq˙` 2aptqxt˙dt ` A ` 2xt˙dWt.22 M.AGOITIA和T.Schmidt正如我们在第6.1节中讨论的那样，这是多项式微分的动力学。让我们计算它的第二个特征：由于^A ` 2xt˙是标准偏差，方差由^A ` 2xt˙` 1 A ` 2xt”“^1 A\'2AXtA\'2AXtpA\'2AXtq˙。它可以表示为：^1 AAA˙^0 2A2A4AA˙Xt^0 0 4A˙Xt。第二个特征是：Ct”tz1 AAA˙^0 2A2A4AA˙Xu^0 4A˙Xu”du，因为第二个特征是二次函数，所以它不是一个有效过程。6.6. 具有跳跃的雅可比过程。能源市场有一些有趣的程式化事实：它们抑制了强烈的季节性影响，有向上和向下的跳跃/峰值。

最重要的是，电力现货价格有上下限。正如我们现在所展示的，时间非齐次多项式过程非常适合捕捉所有这些影响。Agoitia Hurtado（2017）提供了更详细的应用程序。事实上根据以上结果，我们可以使用雅可比过程的一个变量，其中包含跳跃（此处为非季节性）dSt“κpθ'Stqdt'aStp1'StqdWt'dJtwhere（向下跳跃，'1daaba0）Kpt、dξq”1rax、bxspξq'1loga{bξ1dξ或（αp p0，1q）Kpt、dξq“1r1'x、αp1'xqspξqlog{αξ'1dξ的线性组合这些）. Cuchiero等人（2017年）提供了更多此类过程的示例和详细研究。多项式过程：计算m-多项式过程的一个重要性质是它们的动量，xrXkts“Ps，tfkpxq，fkpxq”xk，k P Nd可以用相当简单的方式计算，因为Kolmogorov方程将此问题简化为普通线性微分方程解的计算。在本节中，我们将展示时间非齐次多项式过程。时间非齐次多项式过程237.1。表示矩阵。遵循Kreyszig（1989）第2.9节我们回顾了为线性算子表示矩阵的众所周知的概念。在这方面，考虑一个有限维R向量空间V，其基为pv，设L是V上的线性算子。由于每个u P V都有一个唯一的表示u“rNj”1ujvju，…，uNP R，通过线性Lv“rNj”1ujvj。由此我们推断，L由Lvj，j“1，…，N唯一确定。自LvjP V以来，存在唯一的系数lij，使得Lvj“N"yi”1lijvi（37）和矩阵L“plijqNi，j“1P RN^称为L相对于V的给定基的表示矩阵。对于任何矩阵A P RN^，我们定义谱范数}A}：“max | x |”1 | Ax |。请注意，L的谱范数确实取决于所选的基。

这使我们可以自由地将L任意的谱范数变小：实际上，考虑εa0和基ε'1pv，vNq。通过（37），我们得到了L关于这个基的表示，用Lεsaties}Lε}“ε}”L}表示。备注7.1。注意，}A}”bλmaxpAJAq，（38），即范数由正定义对称矩阵AJA的最大特征值的平方根给出。鉴于（38），范数}A}被称为A的谱范数。此外，maxij | aij | A}A}n maxij | aij |（39）特别是，在“paijptqq P pRN^N，}。}q是连续的或可微的，如果这对所有系数函数aijptq都成立，请参见Teschl（2012）。7.2。多项式过程的表示。我们继续前面章节的设置，研究封闭状态空间SArd上的多项式过程X，并用pPs、tqps、tqP表示其转移运算符pHsq0dsaT的微型生成器。确定0dkdm，并考虑PkpSq的固定基础。对于每个ps，tq P, 我们用Ps、t和Hs表示Ps、tand和Hs的表示矩阵。提案7.1。根据上面的假设和符号，以下情况成立：i）映射r0，T q q sTh~nhsi是连续的。ii）对于每个t P r0，t q映射r0，tq q sTh~nPs，是右可区分的和d\'dsp，t“'HsPs，t.（40）iii）对于每一个s P r0，t q映射rs，t q q tTh~nPs，是右可微的和d'dtPs，t”Ps，tHt。（41）证明。假设Ps，t“ppijs，tqNi，j”1和Hs“paijsqNi，j”1代表Ps的矩阵，并与给定基pv，…，PkpSq的vNq有关。注意，pijs，t“xei | Ps，tejy和aijs”xei | Hsejy，24 M AGOITIA和t.SCHMIDTwhere pejqNj“1指定RN的标准基。让可逆线性映射U:PkpSq~nRN由Uvj”ej定义。然后，由命题A.4定义，映射sTh~nHsvj”HsU'1ejP pPkpSq，}kq对于每个j”1，…，N是连续的。