圆柱鞅驱动的BSDE及其在逼近中的应用

唯一性：必须证明三元（0，0，0）是SDE（0，0）的唯一解。Let（Y，H，N）∈ Sβ是BSDE（0，0）的解。然后Yt=-RTtHsdMs-RTtdNtP-a.s.适用于所有t∈ [0，T]。由于右侧的随机积分是后向鞅，并且过程Y是自适应的，因此，对于每个t∈ [0，T]产生Y≡ 0 . 然后我们得到了NT=-由于Nis与M强正交，我们在L（M，U′）和N中看到H=0≡ 存在性：首先，对于任何过程h，常数p>0，t∈ [0，T]，它认为ZTthsdAs公司=中兴通讯-pKs/2αsepKs/2α-1HSDAS≤中兴通讯-pKsαsdAsZTtepKsα-2shsdAs=pe-pKt公司- e-pKT公司ZTtepKsα-2shsdAs。（3.3）特别是，由于α-1克∈ LT，β根据假设，在上述估计中设置h=g，p=β，t=0，得出RTGSDAS∈ L（英尺，P）。SeteLt=Eξ+ZTgsdAs英尺, t型∈ [0，T]并用L表示L的右连续版本。那么L在H（P）中。因此，存在∈ L（M，U′）与鞅N∈ H（P）使得N=0，N是强正交的toM，L=L+Z·HsdMs+N。设置Yt=Lt-RtgsdAs。那么Y是右连续的和自适应的。此外，Y可以写成asYt=ξ+ZTtgsdAs-ZTTHSDM-ZTtdNs，t∈ [0，T]。我们证明了三重（Y，H，N）在Sβ中。注意YT=Eξ+ZTtgsdAs英尺≤ E“ξ+ZTtgsdAs英尺#≤ 2E类ξ英尺+ 2E“ZTtgsdAs公司英尺#≤ 2E类ξ英尺+βe-βKt/2EZTteβKs/2α-2sgsdAs英尺, t型∈ [0，T]，其中我们在第一个不等式中使用了Jensen不等式，在第三个不等式中使用了p=β/2的估计值（3.3）。我们看到tkαY kT，β=E中兴通讯βKtαtYtdAt≤ 2E类ZT公司eβKtαtξ+βeβKt/2αtZTteβKs/2α-2sgsdAsdAt公司= 2E类ξ中兴通讯βKtdKt+βE中兴通讯βKs/2α-2sgsZseβKt/2dKtdAs公司≤βkξkβ+βkα-1gkT，β<∞,因此αY∈ LT，β。接下来，让我们证明H∈ Lβ（M，U′）和N∈ Hβ（P）。Setn=R·HsdMs+N∈ H（P）。由于N与M强正交，它认为hni=R·| Hs | U′sdAs+hni。

注意到增加过程K在假设2下是连续的，It^o的公式得出thatd（eβKt（hniT- hnit））=βeβKt（hnit- hnit）dKt- eβKtdhnit和hencekHkM，β+kNkHβ（P）=e中兴βKtdhnit= E[hniT]+βE中兴通讯βKt（hniT- hnit）dKt（3.4）=kHkM+kNkH（P）+βE中兴通讯βKtE[hniT- hnit | Ft]dKt. （3.5）此外，我们还有- hnit | Ft]=E（nT- nt）英尺= E“ξ - Yt+ZTtgsdAsFt#=E“ξ+ZTtgsdAs英尺#- Eξ+ZTtgsdAs英尺≤ 2 E“ξ+ZTtgsdAs公司Ft#，（3.6），其中我们使用了等式Yt=E[ξ+RTtgsdAs | Ft]。因此，与上述估计相同，我们可以证明（3.4）中的第三项是有限的。因此，kHkM，β+kNkHβ（P）<∞所有的断言都得到了证明。引理3.6。固定β>0且let（Y，H，N）的β标准研发数据∈ Sβ是SDE（f，ξ）的溶液。然后，支持∈[0，T]| eβKtYt |在L（P）中。因此，对于任何L∈ Hβ（P），t弹性积分r·eβKsYs-这是一个鞅。证据通过使用hs=f（s，Ys，hs）和p=β的估计（3.3），我们可以显示eβKtYt=EheβKtξFti+EeβKtZTtf（s、Ys、Hs）dAs英尺≤ 2HeβKtξFti+2EeβKtZTtf（s、Ys、Hs）dAs英尺≤ 2HeβKTξFti+βE“中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs1/2英尺#。因此，E“supt∈[0，T]eβKtYt#≤ 2E“支持∈[0，T]EeβKT/2ξ英尺#+βE支持∈[0，T]E“中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs1/2英尺#≤ 8EeβKTξ+βE中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs≤ 8kξkβ+βkα-1f（·，0，0）kT，β+kαY kT，β+kHkM，β< ∞,我们在第二个不等式中使用了Doob不等式，在第三个不等式中使用了Lipschitz条件（3.2）。让我∈ 给出Hβ（P）。注意到备注3.1（iii）和K是连续的，我们得到了e“ZTe2βKtYt-d[L]t1/2#≤ E“中兴通讯βKtd[L]t1/2中断∈[0，T]eβKt/2 | Yt|#≤ kLkHβ（P）·支持∈[0，T]eβKt/2 | Yt|L（P）<∞,因此，随机积分r·eβKsYs-这是一个鞅。定理3.4的证明。

定义a ma pΦ：Sβ→ SβbyΦ（Y，H，N）=（by，bH，bN），其中（by，bH，bN）是BSDEbYt=ξ+ZTtf（S，Ys，Hs）dAs的唯一解-ZTtbHsdMs-ZTtdbNs，t∈ [0，T]。引理3.5，自过程（α-1sf（s、Ys、Hs））s∈[0，T]为LT，β表示任何（Y，H，N）∈ Sβ，映射Φ定义良好。为了证明定理3.4，必须证明Φ是Sβ上的收缩映射。固定两个元素（Y、H、N），（Y、H、N）∈ Sβ并考虑（bYi，bHi，bNi）=Φ（Yi，Hi，Ni），每个i=1，2。定义δY=Y- YandδbY=bY-通过以同样的方式确定δH、δbH、δN和δbn。然后δbY satiesδbYt=ZTt（f（s，Ys，Hs）- f（s、Ys、Hs））dAs-ZTtδbHsdMs-ZTtdδbNs，t∈ [0，T]对于P-a.s.通过注意到K=R·αsdAsas以及a在假设2下是连续的，它^o\'s公式暗示d |δbYt |=-2δbYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Yt，Ht））dAt+dZ·δbHsdMst+d[δbN]t+2δbYt-dZtδbHsdMs+δbNt而thatd（eβKt |δbYt |）=eβKt（βαt |δbYt | dAt+d |δbYt |）。自δbH起∈ Lβ（M，U′）和δbN∈ Hβ（P），引理3.6意味着随机积分r·eβKtδbYt-d（RtδbHsdMs+δbNt）是鞅。因此，在[0，T]上积分并进行预测得到βKT |δbYT | i- Eh |δ乘以| i=E中兴通讯βKt（βαt |δbYt|- 2δbYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Yt，Ht）））dAt+ E中兴通讯βKtdZ·δbHsdMst+dhδbNit= E中兴通讯βKt（βαt |δbYt|- 2δbYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Yt，Ht）））dAt+ E中兴通讯βKt|δbHt | U′tdAt+dhδbNit,其中，我们使用了关系hR·△nHsdMsit=Rt |δnHs | U′sdAs，t∈ [0，T]，在第二个等式中。由于δbYT=0，它认为βkαδ乘以kT，β+kδbHkM，β+kδbNkHβ（P）≤ E中兴通讯βKt2 |δbYt |·| f（t，Yt，Ht）- f（t，Yt，Ht）| dAt≤ E中兴通讯βKt2 |δbYt |·（ηt |δYt |+θt |δHt | U′t）dAt≤ E中兴通讯βKt2uαt |δbYt |+αtu|δYt |+u|δHt | U′tdAt公司对于任何常数u>0，我们使用了Lipschitz条件（3.2）和平凡的不等式2ab≤ ua+bu适用于所有a、b∈ R和u>0。（3.7）因此，我们有（β- 2u）kαδ乘以kT，β+kδbHkM，β+kδbNkHβ（P）≤u（kαδY kT，β+kδHkM，β），对于任何常数u>0。

现在，由于β>3，我们可以选择一个常数u>0，以便β- 2u=1，然后u=β-1.∈ (0, 1). 取该u>0得到k（δbY，δbH，δbN）kSβ≤β-1k（δY，δH，δN）kSβ，因此映射Φ是Sβ上的收缩映射。接下来，我们给出唯一解（Y，H，N）的近似结果∈ BSDE（f，ξ）的Sβ通过相应的有限维BSDE的一系列解。设{x，x，…}是X的可数稠密子集。对于每个n∈ N、 设Mn为N维平方可积鞅Mn=（Mx，…，Mxn）tr。此处，（·）tr表示（有限维）向量的转置，因此Mn为列向量。修复任意n∈ N、 N维被积函数的空间由l（Mn，Rn）定义=HH为Rn值可预测，kHkMn=EZTHtrtdhMnitHt公司< ∞.那么L（Mn，Rn）是希尔伯特空间。此外，对于任何H∈ L（Mn，Rn），我们有∈ H（P）和kHoMnkH（P）=kHkMn。平方e可积鞅集合中mn生成的稳定子空间与n维向量随机积分集合{HoM | H一致∈ L（Mn，Rn）}。因此，对于任何r和om变量ξ∈ L（FT，P），存在唯一的H∈ L（Mn，Rn）和N∈ H（P）使得N=0，Nis与Mn强正交，ξ=E[ξ]+ZTHsdMns+NT。（3.8）注意，mn的可预测二次变化可以写成ashMnit=Zt∑nsdAs，t∈ [0，T]，其中∑ns，ω=（∑n，（i，j）s，ω）i，j=1，。。。，n为∑n，（i，j）s，ω=Qs，ω（xi，xj）。我们可以确定每个元素H=（H，…，Hn）tr∈ 通过设置H=Pni=1Hiδxi，L（Mn，Rn）具有M值可预测过程（也用H表示）。

然后我们得到了thatkHkMn=EZTHtrtdhMnitHt公司= EZTHtrt∑ntHtdAt= E“ZTnXi，j=1HitQt（xi，xj）HjtdAt#=EZThHt、QtHtiM、CdAt= EZT | Ht | U′tdAt= kHkM<∞.因此，我们看到测度值过程H在L（M，U′）中，空间L（Mn，Rn）与L（M，U′）的子空间等距。对于每个n∈ N和aβ-标准数据（f，ξ），考虑有限维BSDEYnt=ξ+ZTtf（s，Yns，Hns）dAs-ZTtHnsdMns-ZTTDNS，t∈ [0，T]。（3.9）我们将此BSDE称为BSDEn（f，ξ）。设Lβ（Mn，Rn）和Snβ是对应的有限维解空间，即Lβ（Mn，Rn）=H∈ L（Mn，Rn）kHkMn，β=E中兴通讯βKtHtrtdhMnitHt< ∞andSnβ=（φ，K，L）αφ ∈ LT，β，K∈ Lβ（Mn，Rn）和L∈ Hβ（P）.我们可以看到Lβ（Mn，Rn） L（M，U′）和Snβ Sβ通过识别每个有限维积分H和相应的度量值被积函数，对于任何n∈ N和β≥ 定义3.7。对于n∈ N和aβ-带β的标准数据（f，ξ）≥ 0，一个三元组（Yn，Hn，Nn）∈如果Nn=0，hNn，Mxii，则Snβ称为BSDEn（f，ξ）的解≡ 0表示i=1，n和（3.9）保持P-a.s。用mn替换M，并注意表示公式（3.8），我们可以用与定理3.4相同的方式显示以下命题。定理3.8。让β>3。对于n∈ N和aβ-标准dat a（f，ξ），在Snβ中存在BSDEn（f，ξ）的唯一溶液（Yn，Hn，Nn）。下面的定理是关于有限维BSDE（f，ξ）唯一解的近似方法的第二个主要结果。定理3.9。设（f，ξ）为β>3的β-标准数据。Let（Y，H，N）∈ Sβ是BSDE（f，ξ）和（Yn，Hn，Nn）的唯一解∈ Snβ是每个n的BSDEn（f，ξ）的唯一解∈ N、 然后我们得到了k（Y，H，N）- （Yn，Hn，Nn）kSβ→ 0作为n→ ∞.此外，存在一个仅依赖于β的常数γ>0，使得kα（Y- Yn）kT，β+kH- HnkM，β≤ γkN- NnkHβ（P）（3.10）适用于所有n∈ N、 证明。对于每个n∈ N、 定义δnY=Y- Yn，δnH=H- Hn，δnN=N- Nn。

然后δnH∈ Lβ（M，U′），δnN∈ Hβ（P）和δnY满足度δnYt=ZTt（f（s，Ys，Hs）- f（s，Yns，Hns））dAs-ZTtδnHsdMs-所有t的ZTtdδnns∈ [0，T]，P-a.s.通过注意到K=R·αsdAsas以及a在假设2下是连续的，它^o的公式意味着d |δnYt |=-2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt））日期+日期Z·δnHsdMst+d[δnN]t+2dZ·δnHsdMs，δnNt+2δnYt-δnHsdMt+2δnYt-dδnNtand thatd（eβKt |δnYt |）=eβKt（βαt |δnYt | dAt+d |δnYt |）。（3.11）注意过程2R·eβKtδnYt-δnHtdMtand 2R·eβKtδnYt-dδnNtare鞅。因此，通过对[0，T]积分（3.11）并计算期望值，我们得到eβKT |δnYT|- E|δnY|= E中兴通讯βKt（βαt |δnYt|- 2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）））dAt+ E中兴通讯βKtdZ·δnHsdMst+dhδnNit+2dZ·δnHsdMs，δnNt型= E中兴通讯βKt（βαt |δnYt|- 2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）））dAt+ E中兴通讯βKt|δnHt | U′tdAt+dhδnNit+2dZ·δnHsdMs，δnNt型,其中，我们使用了关系hR·△nHsdMsit=Rt |δnHs | U′sdAs，t∈ [0，T]，在第二个等式中。因为δnYT=0，所以我们有βkαδnykt，β+kδnHkM，β+kδnNkHβ（P）≤ E中兴通讯βKt2 |δnYt |·| f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）| dAt+ 2E类中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型. （3.12）由于驾驶员满足Lipschitz条件（3.2），因此它保持t仇恨中兴通讯βKt2 |δnYt |·| f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）| dAt≤ E中兴通讯βKt2 |δnYt |·（ηt |δnYt |+θt |δnHt | U′t）dAt≤ （2+u）E中兴通讯βKtαt |δnYt | dAt+uE中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt（3.13）对于所有u>0，我们在第二个不等式中使用了平凡不等式（3.7）。对于不等式（3.12）右侧第二项的估计，考虑过程hR·δnHsdMs，δnNi。每个Hs，ω可以在协方差空间U′，ωasHs，ω中展开=∞Xm=1（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω，其中{em}m∈Nis是一系列测度值可预测过程，对于每个过程（s，ω）∈ [0，T]×Ohm, ems，ω∈ 所有m的跨度{δx，…，δxm}∈ N与序列{ems，ω}m∈Nis是U′s的完全正交系，ω；见备注2.5。

定义Hnbybhns，ω=∞Xm=n+1（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω，（s，ω）∈ [0，T]×Ohm.显然，过程bhnis在L（M，U′）中。此外，由于H-bhni是过程{e，…，en}的线性组合，因此是狄拉克测度{δx，…，δxn}，我们可以看到它在L（Mn，Rn）中。由于鞅δnN=N- Nnis强正交toMn=（Mx，…，Mxn）tr，我们有Z·δnHsdMs，δnN=Z·bHnsdMs，δnN+Z·（Hs-bHns公司- Hns）dMns，δnN=Z·bHnsdMs，δnN.因此，不等式（3.12）右侧的第二项可以估计为2e中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型= 2E类中兴通讯βKtdZ·bHnsdMs，δnNt型≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt1/2E中兴通讯βKtdhδnNit1/2≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt+E中兴通讯βKtdhδnNit, （3.14）我们在第一个不等式中使用了Kunita–Watanabe不等式。结合（3.12），（3.13）和（3.14），我们得到β - 2.- ukαδnY kT，β+1.-ukδnHkM，β+kδnNkHβ（P）≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt,（3.15）对于所有n∈ N和任何常数u>0。由于假设β>3，我们可以选择常数u>0，以便β- 2.- u>0和1-u> 0.现在，因为βKt | bHnt | U′t≤ eβKt | Ht | U′t∈ L（dAt dP）适用于所有n∈ N和| bHnt，ω| U′t，ω=∞Xm=n+1 |（Ht，ω，emt，ω）U′t，ω| n→∞-→ 0表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 支配收敛定理得出，当n趋于完整时，不等式的右侧（3.15）收敛到0，因此我们得到了该极限→∞k（δnY，δnH，δnN）kSβ=0。为了证明不等式（3.10），再次考虑不等式（3.12）右侧的第二项。通过使用Kunita–Watanabe不等式和不等式（3.7），我们得到了t2E中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型≤ 2E类中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt1/2E中兴通讯βKtdhδnNit1/2≤ λE中兴通讯βKtdhδnNit+λE中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt（3.16）对于所有λ>0。结合（3.12），（3.13）和（3.16），我们得到β - 2.- ukαδnY kT，β+1.-u-λkδnHkM，β≤ (λ- 1） kδnNkHβ（P）（3.17）对于所有n∈ N和任何常数u，λ>0。

由于β>3，我们可以选择常数u，λ>0，以便β- 2.- u> 0, 1 - 1/u- 1/λ>0和λ- 1 > 0. 然后，（3.10）保持γ=（λ- 1） 最大{（β- 2.- u)-1, (1 - 1/u- 1/λ)-1}.假设过程K=R·αs是一致有界的。在这种情况下，将α替换为eα=α+1和K byeK=R·eαsdAs（由于我们假设递增过程a是有界的，因此nek是有界的），我们得到以下推论。推论3.10。设（f，ξ）为满足假设3的数据。假设过程Kis一致有界，f（·，0，0）∈ LT和ξ∈ 五十、 那么下面的断言就成立了。（i） 存在唯一的三元组（Y、H、N）∈ LT×L（M，U′）×H（P），使得鞅N在零处为零，与M=（Mx）x强正交∈X且三重（Y、H、N）满足有限维BSDE（3.1）。（ii）对于每个n∈ N、 存在唯一的三元组（Yn、Hn、Nn）∈ LT×L（Mn，Rn）×H（P），使得鞅nni在零处为零，与Mn=（Mx，…，Mxn）强正交，并且t r iple（Yn，Hn，Nn）满足有限维BSDE（3.9）。（iii）对于上述（Y，H，N）和（Yn，Hn，Nn），N∈ N、 它坚持认为→∞Yn=Y，在LT，limn中→∞Hn=H in L（M，U′），limn→∞Nn=N，单位为H（P）。（iv）存在一个常数γ>0，仅取决于kATkL∞和kKTkL∞真讨厌- YnkT+kH- HnkM公司≤ γkN- NnkH（P）（3.18）适用于所有n∈ N、 备注3.11。注意，（3.10）和（3.18）中出现的常数γ>0不取决于可数密集子集{x，x，…}的选择在债券市场的X.4应用程序中，我们认为债券市场是由贴现价格曲线的时间演化建模的‘‘P=（’PTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]在过滤概率空间中定义的零耦合债券(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T*], P） 满足通常条件。我们假设T*> 0是有限且恒定的。

对于每个0≤ t型≤ T≤ T*, 随机变量“ptt”表示在时间t到期的零息票债券在时间t的贴现价格。对于t>t，通常假设贴现价格为“PTt=”PTt；这一假设代表了债券到期后自动转入银行账户的惯例。我们假设市场是无摩擦的，所有零息票债券在时间T到期∈ [0，T*] 可继续交易。注意，在本节中，将在区间[0，t]中考虑时间演化*]每个T∈ [0，T*] 将代表零息票债券的到期日。用第2节和第3节的符号，我们取X=[0，T*] 作为一系列进程的参数集。我们对市场模型施加以下假设。假设4.o折扣价格曲线'P=（'PTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]零耦合键的数量可以表示为“P=M+Z·bs（·）dAs，即对于每个T∈ [0，T*],(R)PTt=MTt+ZTB（T）dAs，T∈ [0，T*];o M=（（MTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]是C=C（[0，T]上的平方可积圆柱鞅*])定义过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T*], P） 满足假设1和2，T替换为T*;o b=（bs（·））s∈[0，T*]是一个C值过程，其中存在一个U′值可预测过程λ，使得（Qs，ωλs，ω）（T）=bs，ω（T）（4.1），对于所有T∈ [0，T*] 和（s，ω）∈ [0，T*] × Ohm 非退化过程Kt=Rt |λs | U′s是一致有界的。备注4.1。（i） 假设4是对所谓“结构条件”的有限维设置的自然概括，通常在数学金融中施加有限维半鞅。该条件与无套利条件（至少在有限维市场模型中）相关；参见【12】和【18】。

在有限维情况下，我们将非减损过程K=R·|λs | U′sdas称为均值方差权衡过程。（ii）对于任何t>t的“PTt=”PTt的约定，我们应假设所有t>t的MTt=MTTandbt（t）=0。然而，对于我们的结果来说，这个假设是不必要的。注意，由于质量（4.1），C值过程b实际上是U值可预测过程。此外，由于平均方差tradeo off过程K是有界的，因此对于任何H∈ L（M，U′），E“ZT公司*|Hs（bs）| dAs#= E“ZT公司*|（Hs，λs）U′s | dAs#≤ E“ZT公司*|Hs | U′s |λs | U′sdAs#≤ E千吨级*ZT公司*|Hs | U’sdAs≤ kKT公司*吉隆坡∞kHkM<∞, （4.2）其中，在第一个等式中，我们使用等式（4.1）和以下事实：映射Qs，ω从U′，ω到Us，ω为all（s，ω）∈ [0，T*] × Ohm, 在第三个不等式中，我们使用了Cauchy–Schwarz不等式。因此，对于任何H∈ L（M，U′），我们可以定义随机积分Ho\'P=R·Hsd'Ps，对于有限维半鞅P，我们可以将其定义为平方可积半鞅，即ZtHsd'Ps=ZtHsdMs+ZtHs（bs）dAs，t∈ [0，T*].有关有限维半鞅的广义随机积分的更详细讨论，请参见De Donno[7]。设{T，T，…}是区间[0，T]的可数稠密子集*]. 对于每个n∈ N、 考虑N维过程“Pn=（“PT，…，”PTn）trand Mn=（MT，…，MTn）tr。然后对于任何H∈ L（Mn，Rn）n维随机积分al Ho(R)Pn=R·Hsd'Pnsiswell定义，是一个平方可积半鞅，其正则分解为zthsd'Pns=ZtHsdMns+nXi=1ZtHisbs（Ti）dAs。在第3节中，我们通常将Rn值过程H=（H，…，Hn）tr与度量值过程H=Pni=1HiδTias进行识别。我们把n维半鞅称为第n个小市场。让我们介绍一下交易策略的概念。