圆柱鞅驱动的BSDE及其在逼近中的应用

在小型市场中，我们采用Schweizer[19，20]中定义的（有限维）策略。定义4.2。修复n∈ N、 第N个小市场中的L策略是一对φ=（H，η），其中H∈ L（Mn，Rn）和η是实值适应过程，因此（贴现）值过程Vt（φ）=ηt+Ht（\'Pnt）=ηt+nXi=1Hit'ptis右连续且平方可积，即Vt（φ）∈ L（P）表示所有t∈ [0，T*].设φ=（H，η）为第n个小市场的L策略。φisCt（φ）=Vt（φ）的（累计）成本过程-ZtHsd？Pns。如果成本过程满足Ct（φ），则φ称为自我融资≡ 对于一些F-可测的随机变量c∈ 如果C（φ）是martinga le（然后是平方可积的），则L（F，P），a和平均自融资。φisRt（φ）=E的风险过程（CT*(φ) - Ct（φ））英尺, t型∈ [0，T*].设R（φ）=E[（CT*(φ) - C（φ））]并称之为φ的总风险。对于小市场中的L-策略φ=（H，η），有限维被积函数HRE表示持有期限固定（有限数量）的零息票债券的数量，实际调整过程η表示银行账户中的头寸。然后，Stocastic integrator r·Hsd表示与投资相对应的累积收益。提案4.3。（i） 对于给定的右连续、自适应、平方可积过程∈ L（Mn，Rn），存在唯一的实值适应过程η，使得φ=（H，η）是第n个小市场中的L-策略，具有给定ξ的成本过程C.（ii）∈ L（英尺*, P） a和H∈ L（Mn，Rn），存在唯一的平方可积函数C和唯一的实值适应过程η，使得φ=（H，η）是具有成本过程C且满足VT的第n个小市场中的一种策略*（φ） =ξP-a.s.这里，“唯一”一词是指“唯一到不可区分”。证据

（i） ：通过ηt=ZtHsd？Pns确定φ=（H，η）- Ht（Pnt）+Ct，t∈ [0，T*].然后，价值过程可以写为V（φ）=R·Hsd'Pns+C。通过假设过程V（φ）是右连续且平方可积的，因此φ是当时小市场中的L-策略。φ的成本过程C（φ）与C一致。设φ′=（H，η′）为第n个小市场中的策略，成本过程C。然后，价值过程V（φ）和V（φ′的正确连续性得出这两个过程是不可区分的，因此η和η′也是不可区分的。（ii）：设置=Eξ -ZT公司*Hsd？Pns英尺, t型∈ [0，T*],让C是C的正确连续版本。那么过程C是一个右连续平方可积鞅。对于这对（C，H），定义一个实值适应过程ηasin（i）。那么φ=（H，η）是第n个小市场的L策略，具有成本过程c和满意度VT*(φ) = ξ. 设（C′，η′）是满足（ii）中断言的一对。然后，C′的马丁格尔性质得到C′t=E[C′t*| 英尺]=E及物动词*(φ′) -ZT公司*Hsd？Pns英尺= Eξ -ZT公司*Hsd？Pns英尺= CtP-a.s.适用于所有t∈ [0，T*] 然后C和C′的右连续性得出这两个鞅是不可区分的。现在，过程η和η′的不可区分性来自（i）。因此，在小型市场中，L-策略的特征可以是有限维整数H和成本过程C。此外，对于任何索赔ξ∈ L（英尺*, P） ，在小市场中存在一种平均自我融资L-策略，该策略通过成本过程C实现了索赔ξ，而该martinga le C完全由有限维积分决定（当然也由索赔ξ决定）。考虑到这一事实，让我们在整个市场中定义一个通用战略。定义4.4。我们称一对Φ=（H，C）为广义L-策略，如果H∈ L（M，U′）和ifC是一个实值、右连续的平方可积过程。

对应于Φ的广义值过程由vt（Φ）=ZtHsd'Ps+Ct，t定义∈ [0，T*]. （4.3）如果成本过程满足Ct（φ），Φ称为自我融资≡ 对于某些F-可测Rando mva变量c∈ 如果C是（平方可积）鞅，则为L（F，P）和平均自融资。备注4.5。如果H在L（M，M）中，那么它可以被视为持有的零耦合债券，可能有很多到期日。然而，一般而言，广义L-策略Φ=（H，C）并不代表经典意义上的交易者投资组合。由于每个“Pt”不一定在Ut中，零息票债券中的“Ht”（“Pt”）位置通常没有定义，因此银行账户中的“η”位置无法通过广义策略Φ识别。广义策略是可行的，但在小市场中可以用一系列现实策略来近似，因此我们应该采用其合理的近似顺序。在为广义策略构造合理的近似之前，让我们先介绍一下索赔的近似可达到性的概念。定义4.6。未定权益是一个随机变量ξ∈ L（英尺*, P） 。如果存在一个自我融资的广义L-策略Φ=（H，c），使得ξ=VT，则断言ξ是近似可实现的*（Φ）=c+ZT*Hsd“PsP-a.s.如果所有未定权益都是近似可附的，则市场”P被认为是近似完整的。备注4.7。值得注意的是，我们对未定权益集和近似完整性的定义是基于主观测度P。下面的命题4.8描述了根据相应BSDE的解，索赔的近似可赔性。

集合f（ω，t，y，Ht，ω）=-Ht，ω（bt，ω），αt=1+|λt | U′t，a ndKt=RtαsdAs=Kt+at，使用第3节中的符号，并回顾平均方差权衡过程K=R·|λt | U′t有界以及递增过程a是连续且有界的假设。那么，对于任何索赔ξ∈ L（英尺*, P） ，数据（f，ξ）满足推论3.10中的所有假设。因此，存在唯一的解（Y，H，N）∈书信电报*BSDEYt的×L（M，U′）×H（P）=ξ-ZT公司*tHs（bs）dAs-ZT公司*tHsdMs-ZT公司*tdNs，t∈ [0，T*]. （4.4）提案4.8。对于索赔ξ∈ L（英尺*, P） ，以下条件是等效的。（i） ξ近似可达到。（ii）唯一溶液（Y、H、N）∈ 书信电报*带f（ω，t，y，Ht，ω）的BSD E（f，ξ）的×L（M，U′）×H（P）=-Ht，ω（bt，ω）满足≡ 此外，在这种情况下，实现索赔ξ的自融资广义L-策略是Φ=（H，Y），相应的值过程是V（Φ）=Y。证据假设索赔ξ∈ L（英尺*, P） 大约可以实现。然后存在自融资广义L-策略Φ=（H，c），使得ξ=VT*(Φ). 现在让Y=V（Φ）。根据值过程的定义，Y是右连续的、自适应的和平方可积的。此外，进程Y在LT中*. 事实上，我们有那个该死的kT*= EZT公司*YtdAt公司≤ T*凯特*吉隆坡∞E“支持∈[0，T*]Yt#。对于每个t∈ [0，T*], 我们有≤ 2c+2ZtHsd？Ps≤ 2c+4ZtHsdMs+ 4.ZtHs（bs）dAs≤ 2c+4ZtHsdMs+ 4.ZT公司*|Hs（bs）| dAs.自c起∈ L（F，P），H∈ L（M，U′）和递增过程A是有界的，通过使用Burkholder-Davis-Gundy不等式和估计（4.2），我们可以看到kY kT*< ∞ 因此Y∈ 书信电报*. 因为ξ=VT*（Φ）=YT*= Yt+ZT*tHsd？Ps=Yt+ZT*tHs（bs）dAs+ZT*每个t的THSDMs∈ [0，T*], 我们看到三重（Y，H，0）∈ 书信电报*×L（M，U′）×H（P）是BSDE（f，ξ）的（唯一）解，其中f（ω，t，y，Ht，ω）=-Ht，ω（bt，ω）。相反，假设断言（ii）成立。

ThenYt=ξ-ZT公司*tHs（bs）dAs-ZT公司*tHsdMs=ξ-ZT公司*tHsd？Ps，t∈ [0，T*],特别是ξ=Y+RT*Hsd'PsP-a.s.自索赔ξ和随机积分RT起*Hsd’Psis在L（P）中，随机变量Yis在L（F，P）中。因此，对Φ=（H，Y）是一种自我融资的广义L-策略，满足VT*（Φ）=ξP-a.s。剩余的评估是微不足道的。对于一个近似可实现的索赔ξ，存在一个自我融资的广义L战略Φ，它正式复制了该索赔。然而，这种策略Φ是切实可行的，我们应该为Φ构建一个合理的近似序列，这在财务上是有意义的。为此，我们将重点放在局部风险最小化策略和Schweizer引入的所有市场中未定权益的F¨ollmer–Schweizer分解上【19，20】。我们将回顾模型中的定义和相应结果。定义4.9。修复n∈ N并考虑第N个小型市场。（i） 一双 = （δ，）由一个Rn值可预测过程δ和一个实值适应过程δ组成，如果hR··δsdMnsi=R····δs | U′sdAs（因此alsoR··| Pni=1δisbs（Ti）| dAs）一致有界，则称为第n个小市场中的小扰动() = +Pni=1δi？pTis平方可积，a和VT*() = 0 P-a.s.（ii）对于每个小扰动 = [0，t]的（δ，）和子区间（s，t）*], 我们定义了小扰动|（s，t）=（（δ1l]]s，t]]，如果t<t*,（δ1l]]s，t]]，1l[[s，t]*]]) 如果t=t*.对于L策略φ和小扰动, 在第n个小市场中，和分区τ={t，t。

，tk} [0，T*] 0=t<t<···<tk=t*, 我们设置τ[φ，] =k-1Xi=0Rti（φ+|（ti，ti+1]）- Rti（φ）E[Ati+1- Ati | Fti]1l]]ti，ti+1]]。（请注意，过程A严格递增，并受我们的假设限制。）（iii）对于Everymall扰动，第n个小市场中的L策略φ称为局部风险最小化 在第n个小市场和每个递增序列（τk）k中∈对于倾向于同一性的分区，我们有→∞rτk[φ，] ≥ 0日期 dP-a.s.在我们的模型中，由于过程a和均值-方差权衡过程K是连续的，小市场中的局部风险最小化策略具有以下定理的特征。定理4.10（Schweizer【20】）。假设一个索赔ξ∈ L（英尺*, P） 已激活。修复n∈ N、 然后，对于满足VT的第N个小市场中的L策略φ*（φ） =ξP-a.s.，以下断言是等效的。（i） φ是第n个小市场的局部风险最小化。（ii）φ是平均自融资，成本函数C（φ）与Mn强正交。由于定理4.10，局部风险最小化策略与下面定义的索赔的F¨ollmer–Schweizer分解相关。定义4.11。对于每个n∈ N、 我们说这是一项索赔ξ∈ L（英尺*, P） 如果表示为ξ=ξ0，n+ZT，则允许第n个小市场中的F¨ollmer–Schweizer分解*Hξ，nsd'Pns+Nξ，nT*P-a.s.，其中ξ0，n∈ L（F，P），Hξ，n∈ L（Mn，Rn），过程Nξ，N=（Nξ，nt）t∈[0，T*]是一个（rig htcontinuous）平方可积鞅，它在零处为零，与Mn强正交。修正任何索赔ξ∈ L（英尺*, P） 和n∈ N、 考虑有限维BSDE（f，ξ），其中f（ω，t，y，h）=-h（bt，ω）=-Pni=1hibt，ω（Ti），对于h∈ 注册护士；Ynt=ξ-ZT公司*tHns（bs）dAs-ZT公司*tHnsdMns公司-ZT公司*tdNns，t∈ [0，T*]. （4.5）根据推论3.10，存在唯一解（Yn，Hn，Nn）∈ 书信电报*BSDE（4.5）的×L（Mn，Rn）×H（P）。

特别地，权利要求ξ可以写成ξ=Yn+ZT*Hns（bs）dAs+ZT*HnsdMns+NnT*= Yn+ZT*Hnsd？Pns+NnT*P-a.s.由于平方可积marting-ale-nni在零处为零，且与Mn强正交，因此该定理ξ在第n个小市场中允许唯一的F¨ollmer–Schweizer分解。定义一个完全连续的平方可积鞅Cnby Cnt=Yn+Nnt，t∈ [0，T*],并考虑命题4.3中关于有限维被积函数Hn的相应过程ηnas∈ L（Mn，Rn）和马丁酒Cn。那么，对φn=（Hn，ηn）是第n个小市场中的平均自我融资L策略，成本过程满足VT*（φn）=ξP-a.s。由于cns是一个平方可积鞅，强正交于toMn，根据定理4.1 0，φnis在n-t h小市场上局部风险最小化。现在我们可以说明关于广义策略的合理近似序列的结果。定理4.12。Letξ∈ L（英尺*, P） 是一个近似可实现的断言，Φ=（H，c）是满足VT的自融资广义L-策略*（Φ）=ξP-a.s.，φn=（Hn，ηn）是第n个小市场满足VT的局部风险最小化L策略*（φn）=ξ，对于每个n∈ N、 然后它保持着→∞V（φn）=LT中的V（Φ）*,画→∞Hn=H in L（M，U′），limn→∞R（φn）=0，其中每个R（φn）是定义4.2中定义的φ的总风险。此外，存在一个常数γ>0，这仅取决于过程K的均值-方差权衡和递增过程A，使得kv（Φ）- V（φn）kT*+ kH公司- HnkM公司≤ γR（φn）表示所有n∈ N、 证明。根据命题4.8，（V（Φ），H，0）∈ 书信电报*×L（M，U′）×H（P）是有限维BSDE（4.4）的唯一解。另一方面，对于每个n∈ N、 （V（φN），Hn，Nn）∈书信电报*×L（Mn，Rn）×H（P），Nn=C（φn）- V（φn）=C（φn）- C（φn）是有限维BSDE（4.5）的唯一解。注意，对于每个n∈ N、 我们有knnkh（P）=kNnT*kL（P）=E（CT*（φn）- C（φn））= R（φn）。

（4.6）因此，Coro llary 3.10持有的主张。备注4.13。如Schweizer【19】所述，对于第n个小市场的局部风险最小化策略φ，过程V（φn）可以解释为基于第n个小市场的索赔ξ的内在估值过程，该过程与局部风险最小化的主观标准有关。定理4.12指出，对于近似可实现的索赔，内在估值过程序列和基于小市场的最优策略序列分别在L意义上收敛于广义估值过程和广义套期保值策略。此外，相应的总风险趋于零。在这种意义上，我们可以为债券市场中的广义结构构造一个“合理”的近似序列。请注意，如De Donno、Guasoni和Pratelli[8]所示，在一个完整的大型金融市场中，基于小型市场的持续债权的超级应用价格不一定会收敛于基于大型市场的超级应用价格。另一方面，定理4.12在风险方面调整了估价过程的近似程序，并为有限维市场模型中的未定权益定价理论提供了新的视角。致谢我要感谢我的导师Masanori Hino教授和IchiroShigekawa教授进行了有益的讨论。我还要感谢JunSekine fo教授就BSDE和债券市场的研究给了我很多宝贵的意见。参考文献【1】T.Bj¨ork、G.Di Masi、Y.Kabanov和W.Runggaldier。托瓦是债券市场的一般理论。财务Stoch。，1(2):141 –174, 1997.[2] R.Buckdahn。倒向随机微分方程。额外成本下的期权对冲。《随机分析、随机场与应用》（Ascona，1993），Progr第36卷。

概率。，第307-318页。Birkhauser，巴塞尔，1995年。[3] L.坎皮。大型金融市场中的平均变量套期保值。Stoc h.肛门。Appl，27（6）：1129–1147，2009年。[4] R.Carbone、B.Ferrario和M.Santacroce。c\'adl\'ag martinga les提出的反向随机微分方程。Teor公司。Veroyatn。Primen。，52(2):375–385, 2007.[5] R.A.Carmona和M.R.Tehranchi。利率模型：一个有限维度到仓促分析视角。斯普林格财务公司。Springer-Verlag，柏林，2006年。[6] G.Da Prato和J.Zabczyk。《有限维随机方程》，《数学年表》第152卷及其应用。剑桥大学出版社，剑桥，第二版，2014年。[7] 德多诺先生。关于一类广义被积函数。斯托赫。肛门。应用程序。，25(6):1167–1188,2007.[8] M.De Donno、P.Guasoni和M.Pratelli。大型金融市场的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115(12 ):2006–2022, 2005.[9] 德多诺先生和普拉特利先生。债券市场中度量值策略的使用。财务Stoch。，8(1):87–109, 2004.[10] 德多诺先生和普拉特利先生。Bond市场的随机积分理论。安。应用程序。概率。，15(4):2773–2791, 2005.[11] 德多诺先生和普拉特·埃利先生。关于半鞅序列的随机积分。在《数学课堂讲稿》第18卷第74节的备忘录《保罗·安德烈·梅耶：概率论》第三十九章中。，第119-135页。柏林斯普林格，2006年。[12] F.Delbaen和W.Schachermayer。绝对连续局部鞅测度的存在性。安。应用程序。概率。，5(4):926–945, 1995.[13] N.El Karoui和S.J.Huang。后向随机微分方程存在唯一性的一般结果。在《Backward随机微分方程》（Pa ri s，1995–1996）中，Pitman Res.第364卷记录了数学。序列号：。，第27-36页。朗曼，哈洛，1997年。[14] N。

El Karoui、S.Peng和M.C.Quenez。金融中的倒向随机微分方程。数学《财政》，7（1）：1997年1月至71日。[15] R.Mikulevicius和B.L。罗佐夫斯基。拓扑向量空间中的归一化随机积分。在《英国医学会讲稿》第1686卷第三十二卷S’eminaire de Probabilit’es中。，第137–165页。施普林格，柏林，1998年。[16] R.Mikulevicius和B.L.Rozovskii。随机偏微分方程的鞅问题。随机偏微分方程：六个视角，数学第64卷。测量声纳。，pa第243–325页。美国。数学Soc。，普罗维登斯，国际扶轮社，1999年。[17] M.Schweizer。半鞅的期权套期保值。S tochastic过程。应用程序。，37(2):339–363, 1991.[18] M.Schweizer。关于最小鞅测度和F¨ollmer-Schweizer分解。Stocha stic肛门。应用程序。，13(5):573–59 9, 1995.[19] M.Schweizer。通过二次套期保值方法引导的旅行。在期权定价、利率和风险管理方面，Handb。数学《金融》，第538-574页。剑桥大学。剑桥出版社，2001年。[20] M.Schweizer。多维资产和支付流的本地风险最小化。《金融数学进展》，巴纳赫中心出版社第83卷。，第213–229页。波兰Acad。Sci。仪器数学。，华沙，2008年。