圆柱鞅驱动的BSDE及其在逼近中的应用

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英文标题：
《BSDEs driven by cylindrical martingales with application to approximate
  hedging in bond markets》
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作者：
Yushi Hamaguchi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider Lipschitz-type backward stochastic differential equations (BSDEs) driven by cylindrical martingales on the space of continuous functions. We show the existence and uniqueness of the solution of such infinite-dimensional BSDEs and prove that the sequence of solutions of corresponding finite-dimensional BSDEs approximates the original solution. We also consider the hedging problem in bond markets and prove that, for an approximately attainable contingent claim, the sequence of locally risk-minimizing strategies based on small markets converges to the generalized hedging strategy.
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中文摘要：
我们研究了连续函数空间上由柱鞅驱动的Lipschitz型倒向随机微分方程。我们证明了这种无限维盲分离方程解的存在性和唯一性，并证明了相应的有限维盲分离方程的解序列近似于原解。我们还考虑了债券市场中的套期保值问题，证明了对于一个近似可实现的或有权益，基于小市场的局部风险最小化策略序列收敛于广义套期保值策略。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> BSDEs_driven_by_cylindrical_martingales_with_application_to_approximate_hedging_.pdf (243.13 KB)

2022-6-10 03:30:06 上传

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关键词：BSDE SDE bond markets Differential Mathematical

圆柱鞅驱动的BSDE及其在债券市场近似套期保值中的应用*摘要研究了连续f函数空间上由柱鞅驱动的Lipschitz型倒向随机微分方程。我们证明了这种有限维盲分离方程解的存在性和唯一性，并证明了相应的有限维盲分离方程解的序列与原解近似。我们还考虑了债券市场中的套期保值问题，证明了对于近似可实现的或有权益，基于小市场的局部风险最小化策略序列收敛于广义套期保值策略。1引言在数学金融中，反向随机微分方程（BSDE）已被研究并应用于有限资产交易的股票市场中的期权对冲和投资组合优化问题的理论。El Karoui、Peng和Quenez【14】研究了套期保值问题、递归效用和基于有限维BSDE的控制问题。另一方面，还对有限维（正向）SDE进行了深入研究，并将其应用于数学金融；参见Da Prato和Zabczyk【6】，了解有限维SDEs和Carmona和Tehranchi【5】在债券市场的应用总结。在本文中，受债券市场套期保值问题的激励，我们研究了一些有限维BSDE。正如比约克（Bj¨ork）等人[1]所述，在连续时间债券市场中，与股票市场不同的是，存在可交易资产的连续统一体（零息票债券由其到期日参数化），价格曲线的时间演化由内维随机过程描述。

为了在这个模型中描述投资组合理论，我们必须考虑交易策略，其中可能有各种性质的零息票债券的连续体。因此，在债券市场中，关于有限维（半）鞅的随机积分自然产生，术语“交易策略”必须在有限维环境中推广。DeDonno和Pratelli【9】以及Mikulevicius和*日本京都大学数学系，京都606–8502，hamaguchi@math.kyoto-u、 ac.jpRozovskii【15，16】。他们引入了广义被积函数空间，并定义了关于有限维鞅的广义随机积分。更一般地，DeDonno和Pratelli【11，10】研究了有限维半鞅的随机积分（另见DeDonno【7】）。在市场模型的背景下，广义被积函数被视为广义交易策略，它不一定代表真正的交易策略。广义策略被定义为债券市场中现实交易策略的限制，如简单交易策略和度量值策略。从数学金融应用的角度来看，构建广义整数的“合理”近似序列f非常重要。本文的主要目的是对上述问题做出贡献。我们在连续函数空间上研究了圆柱鞅驱动的Ylipschitz型BSDE。我们将证明这种有限维BSDE的解的存在性和唯一性，并证明相应的有限维BSDE的解序列近似于原始解。

我们可以说，这个近似值正好符合债券市场在有限维BSDE方面的公式。作为应用，还讨论了期货市场中的套期保值问题。我们考虑满足所谓“结构条件”的债券市场模型，如在有限维环境中。我们引入了广义交易策略和近似可实现未定权益的概念，并构建了由数量有限的零息票债券组成的子市场，我们称之为小型市场。我们考虑基于小市场的局部风险最小化策略，Schweizer[17、19、20]定义了这些策略，Buckdahn[2]根据（一维）鞅驱动的BSDE研究了这些策略。我们证明，对于债券市场中近似可实现的未定权益，广义对冲策略近似为一系列基于小型市场的局部风险最小化策略。这一结果进一步发展了通过相应的有限维价值函数来近似有限维市场中的价值函数的方法，这是由DeDonno、Guasoni、Pratelli【8】和Campi【3】研究的。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了在[9]和[15，16]中发展的关于连续函数空间上圆柱鞅的随机积分。第三节研究圆柱鞅驱动的盲源微分方程；我们证明了它的存在性、唯一性和一个近似结果。

在第4节中，我们研究了套期保值问题在债券市场中的应用，并给出了一般化策略的近似结果。2关于圆柱鞅的随机积分在本节中，我们将简要回顾关于圆柱鞅的有限维随机积分理论，继Mikulevicius和Rozovskii【15，16】以及De Donno和Pratelli【9】之后。让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）是满足通常条件的过滤概率空间，P是Ohm ×[0，T]。在整个过程中，我们假设∈ (0, ∞) 是一个常量。我们用H（P）表示所有右连续平方可积鞅的空间。设X是紧度量空间，B（X）是X上的Borelσ-场。在我们对债券市场的应用中，X将被视为一个紧区间[0，T*]代表零息票债券的到期日。设C=C（X）是X上具有一致收敛拓扑的所有连续f函数的空间，M=M（X）是拓扑对偶，即X上的Radon测度空间。众所周知，M相对于弱*-拓扑σ（M，C）。我们用h·、·iM、C表示正则配对。用K+（X）表示X×X上所有对称和非负有限函数的空间，即函数F:X×X→ R使得对于所有x，y，F（x，y）=F（y，x）∈ XandPdi，j=1F（xi，xj）cicj≥ 0表示所有d∈ N、 x，除息的∈ 十、 和c，cd光盘∈ R、 allF的集合∈ 在X×X上连续的K+（X）用K+c（X）表示。考虑一类平方可积鞅M=（（Mxt）t）∈[0，T]）x∈十、 也就是说，对于allx∈ 十、 Mx公司∈ H（P）。我们强加以下假设。假设1。

存在严格递增且有界的可预测过程a和aP B（X） B（X）-可测函数Q开启Ohm ×【0，T】×X×X，满足以下条件。（i） 对于所有（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]，Qs，ω在K+c（X）中。（ii）对于所有（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]，RtQs，ωdAs（ω）在K+c（X）中。（iii）对于每个x，y∈ X和t∈ [0，T]，hMx，Myit=ZtQs（x，y）dAsP-a.s.备注2.1。在一些文献中，过程A被假定为仅是非减量且可预测的。在这种情况下，在不丧失一般性的情况下，我们可以进一步假设a是通过用r cta n（t+At）替换At而严格增加和有界的。对于Q∈ K+c（X），我们可以通过设置（Qu）（X）=ZXQ（X，y）u（dy）=hu，Q（X，·）iM，c，u，从m到c定义相应的线性映射（也用Q表示）∈ M、 那么Q是对称的非负定义，即hu，QνiM，C=hν，QuiM，Cand hu，QuiM，C≥0表示所有u，ν∈ MQ也是（弱）连续的。设D表示X上狄拉克测度的所有线性组合的集合。对于元素u=Pni=1ciδxi∈ D、 其中，每个Ci是一个实常数，δxi是xi处的Dirac测度∈ 十、 我们设定m（u）=nXi=1ciMxi。那么，M（u）是一个平方可积鞅。线性映射u7→ M（u）从Dinto H（P）唯一扩展到连续线性映射M:M→ H（P）。对于每个u，ν∈ M、 M（u）和M（ν）之间的交叉变化由hm（u），M（ν）it=Zthu，QsνiM，CdAs给出。函数Qs，ω被称为协方差算子函数，而Qs，ωdAs（ω）被称为圆柱鞅M的可预测二次变化。简单被积函数H是形式为H=nXi=1hiδxi的过程，其中每个hi是实值有界可预测过程和xi∈ 十、 H可以看作一个M值过程。

定义H相对于M的随机积分byHoM=Z·HsdMs=nXi=1Z·hisdMxis。注意HoM∈ H（P）andE“ZTHsdMs#= E“ZTnXi，j=1HISHJSHDHMXI，Mxjis#=E”ZTnXi，j=1hishjsQs（xi，xj）dAs#=EZThHs、QsHsiM、CdAs.如果实值过程hHs、fiM、Care对所有f都是可预测的，则称M值过程H为（弱）可预测的∈ C、 请注意，对于M值可预测过程H、hHs、QsHsiM、Cis，它是实值可预测过程。设L（M，M）表示所有M值可预测过程H的集合，使得ZThHs、QsHsiM、CdAs1/2< ∞. （2.1）定理2.2。所有简单被积函数的集合在L（M，M）中相对于norm（2.1）是稠密的。因此，地图H 7→ HoM可以唯一地从L（M，M）连续扩展到H（P）。该扩展是线性的，所有H，K的hhoM，KoMit=ZthHs，QsKsiM，CdAsholds∈ L（M，M）。备注2.3。在财务方面，每小时∈ L（M，M）被认为是债券市场中的一种度量值交易策略；符号测度Ht，ω表示X=[0，T]中所有到期日的零息票债券的持有量*] 事件ω的时间t。空间L（M，M）不完整，如【9】所述。我们需要进一步扩展积分，如下所示。对于对称、非负定义和连续线性映射Q:M→ C、 用（Qu，Qν）UQ=hu，QνiM，C，u，ν定义Q（M）上的标量积∈ M、 （2.2）那么Q（M）承认一个关于（2.2）导出的范数的唯一完成UQin C。这个完成式UQis是一个可分离的Hilbert空间，并连续嵌入到C中。映射Q:M→ C可以从U′Qto UQ连续扩展到正则同构，其中U′qi是UQ的拓扑对偶。此外，U′Q是相对于标量积（u，ν）U′Q=hu，QνiM，C，u，ν诱导的范数的M/KerQ的完成∈ M、 因此，我们可以构造一系列希尔伯特空间Ut，ω=UQt，ω和U′t，ω=U′Qt，ω参数化为（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

我们称之为（Ut，ω）（t，ω）∈[0，T]×OhmM.definition 2.4的协方差空间族。U′值过程H是Ohm×[0，T]使得Ht（ω）∈ U′t，ω表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 我们说，如果过程（ω，t）7→ （Ht（ω），u）U′t，ω可预测任何u∈ M、 备注2.5。设{x，x，…}是X的一个可数稠密子集。通过标准或thogonalization过程，我们可以构造一个过程序列{em}m∈Nof the formems=Pmk=1αm，ksδxkf for each m∈ N、 其中αm，kar是实值可预测过程，因此ems，ωm级∈ 带ems的N，ω6=0是U′s，ω对于任意（s，ω）的完全正交系统∈ [0，T]×Ohm. 然后每个U′值可预测过程H可以展开为U′，ωasHs，ω=Xm∈N（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω。注意，对于每m∈ N、 过程（Hs，ems）U′s=Pmk=1αm，ks（Hs，δxk）U′s是实值且可预测的，因此过程| Hs | U′s=Pm∈N |（Hs，ems）U’s |。有关更多详细信息，请参见[1 5]。确定setL（M，U′）=HH是U′值可预测过程s.t.EZT | Hs | U’sdAs< ∞.L（M，U′）是一个Hilbert空间，其标量积（H，K）M=EZT（Hs，Ks）U′sdAs, H、 K级∈ L（M，U′）。设k·Km表示相应的nor m。定理2.6（D e Donno和Pratelli[9]，De Donno[7]）。对于任何H∈ L（M，U′），存在一个简单被积函数序列（Hn）n∈n确保Hnt，ω收敛于Ht，ωin U′t，ωfor all（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和（HnoM）n∈Nis是H（P）中的Cauchy序列。因此，我们可以将随机积分HoM=Rohsdms定义为序列的极限（HnoM）n∈N、 映射L（M，U′） H 7→ 高o米∈ H（P）是线性的。对于任何H，K，我认为hhoM，KoMit=Zt（Hs，Ks）U′sda和hencekHoMkH（P）=khkm∈ L（M，U′）。推论2.7。

由M=（Mx）x生成的稳定子空间∈Xin平方可积鞅集与随机积分集{HoM | H一致∈ L（M，U′）}。因此，对于任何ξ∈ L（FT，P），存在唯一的H∈ L（M，U′）和N∈ H（P），使得N=0，N与M强正交，ξ=E[ξ]+ZTHsdMs+NT。3连续函数空间上圆柱鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDE）在本节中，我们考虑了C上平方可积圆柱鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDE）。我们保留第2节中的符号，并进一步施加以下假设。假设2。假设1中的可预测过程A是连续的。对于下面指定的给定数据（f，ξ），我们考虑的BSDE形式为：yT=ξ+ZTtf（s，Ys，Hs）dAs-ZTTHSDM-ZTtdNs，t∈ [0，T]。（3.1）为了参考此BSDE，我们使用符号BSDE（f，ξ）。这里，数据（f，ξ）由驱动程序f和满足以下假设的终端条件ξ组成。假设3。（i） 驱动器f是{（ω，s，y，h）|ω上的实值函数∈ Ohm, s∈[0，T]，y∈ R、 h类∈ U′，ω}这样；o对于任何U′值可预测过程K，函数（ω，s，y）7→ f（ω，s，y，Ks，ω）isP B（R）-可测，并且o存在正的可预测过程η和θ，使得| f（t，y，Kt）- f（t，y，Kt）|≤ ηt | y- y |+θt | Kt- Kt | U′tdAt dP-a.e.（3.2）适用于任何y，y∈ R和U′值过程K，K.（ii）终端条件ξ是一个实值且FT可测的随机变量。我们定义了αt=pηt+θt>0和Kt=RtαsdAs。请注意，α和K都是可预测的，K是连续的，没有递减。

对于每个β≥ 0，定义以下空格；Lβ=ζ ∈ L（英尺，P）kζkβ=EeβKT |ζ|< ∞,LT，β=φφ是一个实值且c\'adl\'ag适应的过程s.t.kφkT，β=E中兴通讯βKt |φt | dAt< ∞,Lβ（M，U′）=K∈ L（M，U′）kKkM，β=E中兴通讯βKt | Kt | U′tdAt< ∞,Hβ（P）=L∈ H（P）kLkHβ（P）=E中兴通讯βKtd[L]t< ∞,Sβ=（φ，K，L）αφ ∈ LT，β，K∈ Lβ（M，U′）和L∈ Hβ（P）.备注3.1。（i） 如果过程K=R·αs是一致有界的，则所有空间slβ（分别为LT，β，Lβ（M，U′），Hβ（P））与L（分别为LT=LT，0，L（M，U′），H（P））重合，所有范数都是等价的。（ii）对于任何β≥ 0，我们可以定义随机积分KoM∈ K的H（P）∈ Lβ（M，U′）。此外，可以表明KoM∈ Hβ（P）。（iii）对于任何L∈ Hβ（P），自【L】- hLi是鞅，K是可预测的，我们有中兴通讯βKtd[L]t= E中兴βKtdhLit< ∞.（iv）集合Sβ是一个Hilbert空间，其normk（φ，K，L）kSβ=KαφkT，β+kKkM，β+kLkHβ（P）。定义3.2。固定任意β≥ 满足假设3的数据（f，ξ）称为β-标准ifα-1f（·，0，0）∈ LT、β和ξ∈ Lβ。定义3.3。对于aβ-标准数据（f，ξ），β≥ 如果N=0，hN，Mxi，则Sβ中的三元（Y，H，N）称为BSDE（f，ξ）的解≡ 0表示所有x∈ 十、 （3.1）持有P-a.s。以下定理是我们关于有限维BSDE（3.1）解的存在唯一性的第一个主要结果。定理3.4。让β>3。对于aβ标准d数据（f，ξ），Sβ中存在唯一的BSDE（f，ξ）解（Y，H，N）。定理3.4通过对Carbone、Ferrario和Santacrosse【4】以及El Karoui和Huang【13】中的论点进行轻微修改得到证明。为了完整性，我们通过在我们的设置中应用[4]，给出了第3.4条的证明。首先，考虑驱动因子f既不依赖于Y也不依赖于K的情况。引理3.5。固定任何β>0，并让ξ∈ Lβ和f（ω，t，·，·）≡ g（ω，t）带α-1克∈ LT，β。因此，在Sβ中存在BSDE（f，ξ）的唯一解。证据