潜在alpha模型中的带学习的交易算法

众所周知，ICL通常低估了潜在状态的真实数量，而BIC通常高估了潜在状态的数量。对于INTC，BIC和ICL分别估计了5个和1个潜在状态。这意味着真正的国家数量应该在这个范围内。回想一下，ui、κi和θi可分别解释为噪声级、平均回复率和平均回复水平。我们发现，与实现的每日股价波动相比，平均回归水平变化不大（绝对值均小于3美分），其波动范围可以介于两者之间-50美分至50美分。这表明，日常资产价格通常意味着无论最近的过程处于何种状态，都会恢复到其初始值。状态之间的区别在于通过κi的平均反转强度和基本噪声水平ui。附录E中所示的转移概率估计表明，无论潜在状态的数量如何，潜在过程都存在持续性。这意味着交易者能够检测市场状态，并在状态再次切换之前对其采取行动。根据附录E中估计的发电机矩阵，agiven状态下的平均时间范围为几秒到800秒以上，具体取决于允许的潜在状态数。8、结论在本文中，我们解决了一个有限期最优交易问题，其中资产的中间价格包含一个潜在的阿尔法成分，该成分源于一个分散漂移以及一个纯跳跃成分。我们得到了封闭形式的解，直到计算出一个依赖于势模型类的期望。最优交易速度是经典的AC交易策略加上一个包含交易者对潜在因素的估计及其预测的调节项的组合。

该解决方案的形式在精神上与Cartea和Jaimungal（2016）的结果相似，在Cartea和Jaimungal（2016）中，作者有一个源自市场秩序流动的阿尔法成分，但这项工作被视为可见。我们给出了两个例子，一个是交易者希望完全平仓（最优执行问题），另一个是交易者利用潜在状态生成统计套利交易策略。两个例子都表明，合并潜在状态具有重要价值。最后，我们提出了一种使用EM算法从数据中获得参数估计的方法，并将其应用于一个示例股票。有许多潜在的未来方向有待研究。我们已经研究过的一个方向是将分析推广到交易多重集，以及纳入多个潜在因素。在这项工作中，交易者被假设为连续执行交易，并使用市场订单，这些订单会遍历限额订单簿（LOB），从而获得暂时的价格影响。分析在离散时间执行市场指令的情况将是一件有趣的事情，因此将该问题重新描述为一个具有潜在α因子的脉冲控制问题。按照类似的思路，代理商可能希望使用限价订单从策略中挤出更多利润。按照Cartea和Jaimungal（2015）以及Huitema（2013）的思路，结合市场和限额订单，但包括潜在的阿尔法因素也将非常有趣。附录A.定理3.1的证明。我们在这里证明σ>0的情况。

σ=0和A：=0的情况可以通过排除所有分歧项以相同的方式得出。由于Novikov条件（3.1），我们可以通过Radon-Nikodym导数确定测量值QdQdPt=经验值-σ-1ZtAu公司-dWu公司-σ-2Zt（金-)杜邦×经验值Zt（λ+u-- 1） 杜邦-Ztlog（λ+u-)dN+u×经验值Zt（λ-u-- 1） 杜邦-Ztlog（λ-u-)dN-u,其定义如下：在测量Q下，过程σ-1（英尺-b（N+t-N-t） ）是布朗运动，N+和N-thave强度过程等于1。故意选择此测量值，以便Ft、N+和N-皮重Q与Θt无关。此外，此Radon-Nikodym导数的逆为dPdQ公司t=ζt=expσ-2ZtAu公司-（dFu- b（dN+t- dN-t） （）-σ-2Zt（金-)杜邦×经验值Zt（1- λ+u-)du+Ztlog（λ+u-)dN+u×经验值Zt（1- λ-u-)du+Ztlog（λ-u-)dN-u.（A.1）使用最后两个表达式，我们可以根据Q期望值重新写入滤波器，以获得πjt=EQ{Θt=θj}ζt | Ft公式[ζt | Ft]（A.2）=公式{Θt=θj}ζt | FtPJi=1EQ{Θt=θi}ζt | Ft（A.3）=∧jtPJi=1∧it。（A.4）接下来，我们将尝试为每个∧jtterm找到SDE。这可以通过首先定义过程δjt=1{t=θj}来实现，该过程满足SDEdδjt=JXi=1δit-Cj，idt+dMjt，在度量Q下，其中Mjt是平方可积的，Gt-适应的，Q-鞅和CCC是Θt的生成矩阵。剩下的就是计算∧jtis的动力学，以确定ζtδjt的动力学，然后在Ft条件下取适当的Q期望值。

过程δjtζt是SDEdζtδjt=ζt-δjt-σ-2Ajt-（dFt- b（dN+t- dN-t） ）+（λ+t-- 1） （dN+t- dt）+（λ-t型-- 1） （dN-t型- dt）+JXi=1ζt-δit-Cj、idt+dMjt=ζt-δjt-σ-2Ajt-（dFt- b（dN+t- dN-t） ）+（λ+，jt-- 1） （dN+t- dt）+（λ-,jt公司-- 1） （dN-t型- dt）+JXi=1ζt-δit-Cj，idt+dMjt，其中mjt是另一个平方可积、Gt-适应的Q-鞅。现在，我们将∧jt的表达式改写为随机积分∧jt=EQ“δjtζt | Ft#（a.5）=EQ”的期望值ζδj+Zt公司ζu-δju-σ-2Aju-（dFu- b（dN+u- dN-u） （）（A.6）+Ztζu-δju-（λ+，ju-- 1） （dN+u- du）+Ztζu-δju-(λ-,ju公司-- 1） （dN-u- du）+ZtJXi=1ζu-δiu-Cj、idu+dMju！英尺#。在这一点上，我们将需要一些条件来保证我们可以交换上述表达式中的集成顺序。首先，通过∧jt的定义，方程式ζδj | Fti=πj，（A.7），这允许我们替换（A.6）中的第一项。我们可以利用以下事实：-F-b（N+t-N-t） =wqt是写入Q的Q-布朗运动Zt公司ζu-δju-σ-2Aju-dWQu |英尺. （A.8）应用（Wong and Hajek，1985，第六章，引理3.2），其条件满足界（3.1），我们可以将上述项中的积分顺序交换为getZt∧ju-σ-2Aju-dWQu。（A.9）对于第三项和第四项，我们要注意，如果我们让U±t=u∈ 【0，t】：N±u>N±u-, 然后根据条件（3.1），我们知道U±几乎肯定是有限的，并且Ft是可测量的。因此，EQZt公司ζu-δju-（λ±，ju-- 1） dN±u | Ft= 均衡器徐∈U±tζu-δju-（λ±，ju-- 1） （N±u- N±u-) | 英尺（A.10）=Xu∈U±t∧ju-（λ±，ju-- 1） （N±u- N±u-) （A.11）=Zt∧ju-（λ±，ju-- 1） dN±t。

（A.12）我们可以在剩余的黎曼积分上应用Fubini定理，因为被积函数是平方可积的，可以交换积分阶，得到eq“ZtJXi=1ζu-δiu-Cj，i-ζu-δju-（λ+，ju-+ λ-,ju公司-- 2)!du | Ft#=ZtJXi=1∧iu-Cj，i- ∧ju-（λ+，ju-+ λ-,ju公司-- 2)!杜。通过使用最后的步骤交换每个部分的积分顺序，我们可以让鞅（Mjt）部分消失，得到∧jt=πj+Zt∧ju-σ-2Aju-（dFu- b（dN+u- dN-u） （）+Zt∧ju-（λ+，ju-- 1） （dN+u- du）+Zt∧ju-（λi，ju-- 1） （dN-u- du）+JXi=1Zt∧iu-Cj、idu，这是所需的结果。附录B.定理4.1的证明。首先假设σ>0，我们将依次证明定理4.1的主张。首先，在对过程cwt的定义中可以清楚地看到，它是一个满足[cW]t=t的P-几乎肯定连续过程，因为它是一个P-布朗运动和一个有限变化过程的总和。此外，通过对过程Ft的定义，我们可以写出WtasWt=σ-1.（英尺- F）-ZtAudu- b（N+t- N-t）. （B.1）因此，我们可以将最后一个公式插入到WTTO屈服的定义中，cWt=σ-1.（英尺- F）-ZtbAudu- b（N+t- N-t）, （B.2）这表明流程是经过Ft改编的。接下来，我们将通过取h的条件期望值cwt+hf来证明cwt是关于过滤Ft的P-鞅≥ 0，利用W的性质，我们得到了EhcWt+h | Fti=cWt+EhcWt+h-cWt | Fti=cWt+σ-1E“Zt+htdFu公司-博杜- b（dN+u- dN-u）| Ft#=cWt- σ-1E“Zt+htbAu公司- 澳大利亚du | Ft#=cWt- σ-1E“Zt+htEhbAu- Au | Fuidu | Ft#=cWt，其中，在上述情况下，由于方程式（2.4），允许使用Fubini定理。我们已经证明了cw是一个二次变化等于t的P-a.s.连续鞅。因此，根据布朗运动的L'evy特征，cw过程是一个Ft适应的P-Brownian运动。接下来，我们需要验证关于过程Ccm±t的说法。

根据cM±tand of m±t的定义，cM±t=N±t-Ztbλ±udu，（B.3），其中短柄Bλ±在方程式（4.3）后描述。由于过程Bλ±皮重为Ft适应过程，我们得出cm±t也必须为Ft适应过程。该过程是cM±皮重Ft鞅，因为对于anyh>0，EhcM±t+h | Fti=cM±t+E“M±t+h- M±t+Zt+ht（λ±u-bλ±u）du | Ft#（b.4）=cM±t+E“Zt+htEh（λ±u-bλ±u）| Fuidu | Ft#（b.5）=cM±t.（b.6）根据方程式（b.3）中cM±的定义，cM±是一个过程的总和，该过程几乎肯定在区间[0，t]内有无数跳跃，并且是一个有限变化的过程。从其定义来看，cW是布朗运动和有限变化过程的总和。最后两句话意味着[cW，cM±]=0。最后，因为dM±t=dN±t-bλ±tdt和d[N+，N-]t=0几乎可以肯定，我们得到了[cM+，cM-]t=0几乎可以肯定。因为N±皮重是一个计数过程，N±t-Rtbλudu是F-适应的P鞅，根据Watanabe的scharacterization定理，N±t必须是F-适应的具有不同P强度bλ±的双随机Poisson过程，证明了权利要求（D）。如果σ=0且A：=0，则关于cm±和N±的结果仍然成立，因此陈述（B）和（D）是正确的。根据同样的逻辑，我们还发现[cM+，cM-]t=0几乎可以肯定。附录C.与DPEAppendix C.1相关的证明。命题5.1证明。让我们从H（t，Z）的PDE（5.7）开始，其中Z=（F，N，X，Q，λ，∧），0 = -φQ+supν∈R(t+(R)L）H+νQH公司- ν（F+β（Q- N） +aν）XH公司H（T，ZZZ）=X+Q（F+β（Q- N）- αQ）。（C.1）由于花括号内的项在ν中是二次的，我们可以完成平方并简化上确界表达式。该产量0=-φQ+(t+(R)L）H+4a(QH公司- （F+β（Q- N） （）XH）XH。

（C.2）接下来，我们可以插入ansatzH（t，ZZZ）=X+Q（F+β（Q- N） ）+h（t，`（Z））（C.3），其中`（Z）=（F，N，Q，λ，λ），生成另一个关于h的PDE，0 = -φQ+(t+(R)L）h+QbA（t，F，N，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-(λ, Λ)+4a（βQ+Qh）h（T，`（Z））=-αQ.（C.4）在上述等式中，termbA（t，F，N，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-（λ，λ））出现在偏微分方程中，这是由于方程（4.3）中的过程F的平均漂移。如果我们假设h在变量Qso中是二次的，即h（t，`（Z））=h（t，χ（Z））+Q h（t，χ（Z））+Qh（t），（C.5），其中χ（Z）=（F，N，λ，λ），则PDE进一步简化为0 =(t+(R)L）h+4ah+Qn公司(t+(R)L）h+bA（t，F，N，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-(λ, Λ)+2a（β+2h）ho+Qnth公司- φ+4a（β+2h）oh（T，`（Z））=-αQ.（C.6）上述PDE必须满足Q的所有值∈ R、 因为hh和hare独立于Q，所以（C.6）中花括号内的每个项都必须等于零，独立于Q。这意味着h的偏微分方程系统，手h0 = th+4ahh（T，χ（Z））=0（C.7）(t+(R)L）h+bA（t，F，N，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-(λ, Λ)+2a（β+2h）hh（T，χ（Z））=0（C.8）th公司- φ+4a（β+2h）=0h（T）=-α（C.9），由于它们相互依赖，可以按h的顺序求解→ h类→ h、 该ODE为标准的Riccati型ODE，该ODE承认提案声明中定义的唯一解决方案。接下来，他的线性方程的偏微分方程只取决于h的解。因此，我们可以使用费曼-卡茨公式写出解PDE（C.8）ash（t，χ（Z））=Et，χ（Z）“ZTtbAu+bbλ+u-bλ-ue2aRut（β+2h（τ））dτdu#，（C.10），其中第4节定义了thebau和thebλ±uar。当插入h的解时，我们得到命题陈述中给出的精确形式。

此外，条件（2.4）和项e2aRut（β+2h（τ））dτ对所有0有界的事实≤ t型≤ u≤ T允许我们使用Fubini定理来yieldh（T，χ（Z））=ZTtEt，χ（Z）hbAu+bbλ+u-bλ-uie2aRut（β+2h（τ））dτdu，（C.11），它与h的溶液相结合，给出了建议声明中给出的形式。最后，他的偏微分方程也是线性的，因此我们可以再次使用费曼-卡克公式来表示解。这个表述为我们提供了命题陈述中所存在的H的表达式。我们还可以保证命题5.1中提供的H的解是有界的，因为EhRT（h1，u）dui<∞. 该界限如第5.2条证明中的方程式C.16–C.19所示。附录C.2。定理5.2的证明。显示控件ν？是可以接受的。候选最优控制ν？定义为ν？t=2aQν？t（β+2h（t））+h（t，χ（Zt-)), （C.12）式中，χ（Z）=（F，N，λ，λ），Z=（F，N，X，Q，λ，λ）。从上面的定义可以清楚地看出，控制是F适应的，因为它是F适应过程的连续函数。保证控制ν？我们必须证明e“ZT（ν？u）du#<∞ . （C.13）通过扩展（ν？u）的表达式并使用两次杨氏不等式，我们可以将（ν？u）的上界写成（ν？u）≤2a级（Qν？u）+（β+2h（u））+（h1，u）, （C.14）式中h1，u=h（u，χ（Zu-)). 最后一个不等式表明，如果EhRT（β+2h（u））dui、EhRT（Qν？u）dui和EhRT（h1，u）dui都有界，则方程（C.13）成立。利用hin命题5.1的定义，我们可以直接将第一项积分为“ZT（β+2h（u））du#=aγT+γ1.- ζe2Tγ-1.- ζ, （C.15），其中ζ=α-βaγ。

最后一个表达式是有界的，因为α-β6=aγ。接下来，我们可以使用命题5.1中对h1的定义来编写“ZT（h1，t）dt#=16aEZTZTtEt，χthbAu+b（bλ+u-bλ-u） 我ζeγ（T-u）- e-γ（T-u） ζeγ（T-t）- e-γ（T-t）杜！dt公司,（C.16），其中χt=χ（Zt）。如果我们注意到，因为γ≥ 0,ζeγ（T-u）-e-γ（T-u） ζeγ（T-t）-e-γ（T-t）≤ 1和thatEt，χthbAu+b（bλ+u-bλ-u） i=Et，χtAu+b（λ+u- λ-u）, （C.17）然后我们可以应用Jensen不等式和Fubini定理，然后应用Young不等式来获得“ZT（h1，t）dt#≤4aZTZTtEAu+b（λ+u）+（λ）-u）du dt（约18）≤T4aZTE公司Au+b（λ+u）+（λ-u）杜。（C.19）根据方程式2.4的条件，最后一项是有界的。通过定义Qν？ν？的tand？，我们有那个dqν？t=2aQν？t（β+2h（t））+h1，tdt，Qν？=N（C.20）上述SDE具有解决方案Qν？t=N+2aZth1，uζeγ（T-u）- e-γ（T-u） ζeγ（T-t）- e-γ（T-t）杜。（C.21）再次使用杨氏不等式和詹森不等式，并使用以下事实：ζeγ（T-u）-e-γ（T-u） ζeγ（T-t）-e-γ（T-t）≤ 1，那么我们可以写（Qν？t）≤一N+Zt（h1，u）du. （C.22）现在通过对最后一个表达式的期望和积分，我们得到“ZT（Qν？u）du#≤在N+E“ZTZt（h1，u）du dt#！（C.23）≤在N+T E“ZT（h1，u）du#！（C.24）处，由于术语EhRT（h1，u）duih已经被证明是有界的，我们可以得出结论，EhRT（Qν？u）dui<∞.ν?tis Ft–适应和满足EhRT（ν？u）dui<∞, 因此，它是一个容许控制。显示H≤伯克希尔哈撒韦。

将It^o引理应用于函数bh（t，ZZZ）=X+Q（F+β（Q- N） ）+h（t，`（Z）），具有任意控制νt∈ A和Ft–可预测动力学，我们得到bht=bH（t，ZZZ）+ZTtnQνubAu+b（bλ+u-bλ-u）- aνu+（β+Qhu）νu+t+(R)L火渡+ZTtηWudcWu+ZTtη+udcM+u+ZTtη-udcM-u、 其中，在上面，我们使用符号bht=bH（t，ZZZt），ht=h（t，Zt），让ηWu，η+uan和η-ube thesquare可积Ft–通过鞅表示定理获得的可预测过程。通过取双方的条件期望值，鞅部分消失，剩下Et，ZhbHTi=bH（t，Z）（C.25）+Et，Z“ZTtnQνubAu+b（bλ+u-bλ-u）- aνu+（β+Qhu）νu+t+(R)L霍都#。从PDE（5.8）中，我们得到了所有ν∈ R、 0个≥ -φQ+QbA（t，F，Nt，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-(λ, Λ)+ （βQ+Qh）ν- aν+t+(R)Lh。（C.26）因此，通过插入上述内容以及边界条件forbHT，Et，Z“bHT- φZTt（Qνu）du#=Et，Z“XνT+QνT（FT+β（QνT- N）- αQνT）- φZTt（Qνu）du#≤bH（t，Z）。（C.27）通过方程（5.4）中Hν（t，Z）的定义，并且由于上述条件适用于任意νt∈ A、 weobtainH（t，Z）≤bH（t，Z）。（C.28）显示H≥ Hν？≥伯克希尔哈撒韦。接下来让我们注意一下，如果我们让ν=βQ+Qh2a，然后通过方程式（5.8），ε > 0,-ε < -φQ+QbA（t，F，Nt，λ）+b（bλ+（λ，λ）-bλ-(λ, Λ)+（βQ+Qh）ν？-aν+t+(R)Lh。（C.29）使用等式（C.25）的最后一个不等式和HνgivesHν的定义？（t，Z）≥ Et“Xν？T+Qν？T（Sν？T- αQν？T）- φZTtQν？udu#- ε> bH（t，Z），因为H≥ Hν，ν ∈ A我们得到（t，Z）≥ Hν？（t，Z）≥bH（t，Z）。（C.30）因此，我们得到了期望的结果H=Hν=bH（C.31）附录D.向前向后算法的推导本节提供了向前向后算法的进一步详细信息，该算法允许计算更平滑和两片边缘。