潜在alpha模型中的带学习的交易算法

这里介绍的前向-后向算法与文献中通常发现的算法不同，因为Y可以取连续值，并且过程Y不是以通常的方式条件独立的。如图4所示，即使以Z为条件，Y之间也存在依赖关系。附录D.1。递归离散滤波器。首先，确定顺序αj，dnK-1n=0对于每个j=1。J作为αJ，dn=PZdn=θj | Yd0:n– 这就是所谓的前向滤波器。这些过滤器满足我们在下面建立的递归关系。首先注意αj，d=πj.（d.1）。接下来，我们可以使用贝叶斯规则推导该序列的递归结构。从定义开始，αj，dn=PZdn=θj | Yd0:n=PZdn=θj，Yd0:nPJi=1PZdn=θi，Yd0:n. （D.2）分子可以递归写入asPZdn=θj，Yd0:n=JXi=1PZdn=θj，Zdn-1=θi，Yd0:n（D.3a）=JXi=1PZdn=θj，Ydn∈ dydn | Zdn-1=θi，Yd0:n-1.P灯影组-1=θi，Yd0:n-1.（D.3b）=JXi=1PZdn=θj，Ydn∈ dydn | Zdn-1=θi，Ydn-1.∈ dydn公司-1.PYd0：n-1.αi，dn-1（D.3c）=JXi=1PYdn公司∈ dydn | Zdn-1=θj，Ydn-1.∈ dydn公司-1.×PZdn=θj | Zdn-1=θi，Ydn-1.∈ dydn公司-1.PYd0：n-1.αi，dn-1（D.3d）=PYd0：nJXi=1PPPi，jfψ（tnydn；tn-1，θi，ydn-1） duu（ydn）αi，dn-1.（D.3e）因此，通过在方程式（D.2）中使用上述结果，并通过取消PYd0：n-1.duu（ydn）项在分子和分母中，我们得到αj，dn=αj，dncdn，（d.4），其中αj，dn=JXi=1PPPi，jfψ（tnydn；tn-1，θi，ydn-1） αi，dn-1，且cdn=JXj=1^αj，dn。

（D.5）归一化因子CdnHa是cdnuu（dydn）=P的附加属性Ydn公司∈ dydn | Yd0:n-1..这可以通过使用αj，dn的定义和利用（Y，Z）的马尔可夫性质来看出，asfollowscdnuu（dydn）=JXj=1JXi=1PPPi，jfψ（tn，ydn；tn-1，θj，ydn-1） duu（ydn）αi，dn-1（D.6a）=JXj=1JXi=1PZdn=θj，Ydn∈ dydn | Zdn-1=θi，Ydn-1.∈ dydn公司-1.P灯影组-1=θi | Yd0:n-1.（D.6b）=JXj=1JXi=1PZdn=θj，Ydn∈ dydn | Zdn-1=θi，Yd0:n-1.P灯影组-1=θi | Yd0:n（D.6c）=JXj=1JXi=1PZdn=θj，Zdn-1=θi，Ydn∈ dydn | Yd0:n-1.（D.6d）=PYdn公司∈ dydn | Yd0:n-1.. （D.6e）附录D.2。递归向后离散滤波器。这里，我们推导了后向滤波器{βj，dn}K的递归-1n=0对于每个j=1。J、 定义为βJ，dn=PYdn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司PYdn+1:K | Yd0:n. （D.7）与前向滤波器一样，后向滤波器可以递归获得。首先注意，βj，dn=PYdn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司PYdn+1:K | Yd0:n=PYdn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司PJi=1PYdn+1：K | Zdn=θi，Ydn∈ dydn公司αin，（D.8），可在时间n=K时计算- 1为βj，dn=fψ（tK，ydK；tK-1，θj，ydK-1） PJi=1fψ（tK，ydK；tK-1，θi，ydK-1） αiK-1.（D.9）继续方程式（D.8）中分子的表达式，我们发现PYdn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司（D.10a）=JXi=1PZdn+1=θi，Ydn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司（D.10b）=JXi=1PYdn+2：K | Zdn+1=θi，Zdn=θj，Ydn：n+1×PZdn+1=θi，Ydn+1∈ dydn+1 | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司（D.10c）=JXi=1PYdn+2：K | Zdn+1=θi，Ydn+1∈ dydn+1×PPPj，如果ψ（tn+1，ydn+1；tn，θj，ydn）du（ydn+1）（d.10d）=PYdn+2：K | Yd0：n+1fψ（tn+1，ydn+1；tn，θj，ydn）du（ydn+1）JXi=1βi，dn+1ppj，i.（d.10e）将最后一个结果插回方程式（d.8），并取消du（ydn+2）和PYdn+3：K | Yd0：n+2项，我们得到βj，dn=βj，dnPJi=1βi，dnαi，dn，（D.11），其中，βj，dn=fψ（tn+1，ydn+1；tn，θj，ydn）JXi=1βi，dn+1ppj，i。

（D.12）此外，由于（Y，Z）是马尔可夫过程，根据马尔可夫性质βj，kn=PYdn+1:K | Zdn=θj，Y0:n= PYdn+1：K | Zdn=θj，Ydn∈ dydn公司, （D.13）将在下一部分中多次使用的事实。附录D.3。离散平滑的表达式本节的主要目的是计算更平滑的两片边缘{γj，dn}K-1n=0和{ξi，j，dn}K-2n=0。为方便起见，我们在此重复其定义γj，dn=PZdn=θj | Yd0:K, ξi，j，dn=PZdn=θi，Zdn+1=θj | Yd0:K对于所有允许的n值，以及每个i，j=1。J、 为此，请注意γJ，dn=PZdn=θj | Yd0:K=PZdn=θj，Yd0:KPYd0:K（D.14a）=PYdn+1:K | Zdn=θj，Yd0:nPZdn=θj | Yd0:nPYdn+1:K | Yd0:n（D.14b）=αj，dnβj，dn。（D.14c）下一步，ξi，jn=PZdn=θi，Zdn+1=θj | Yd0:K（D.15a）=PZdn+1=θj，Ydn+1:K | Zdn=θi，Yd0:nPZdn=θi | Yd0:nPYdn+1:K | Yd0:n（D.15b）=αi，dnPYdn+2：K | Zdn+1=θj，Yd0：n+1PYdn+1∈ dydn+1，Zdn+1=θj | Zdn=θi，Yd0:nPYdn+2：K | Yd0：n+1PYdn+1∈ dydn+1 | Yd0:n!（D.15c）=αi，dnβj，dn+1cn+1du（ydn+1）PYdn+1∈ dydn+1，Zdn+1=θj | Zdn=θi，Yd0:n（D.15d）=αi，dnβj，dn+1cdn+1PPPi，jfψ（tn+1，ydn+1；tn，θi，ydn）。（D.15e）当在第7.1节所述的EM算法中执行E步时，应用（γ，ξ）和（α，β）之间的关系。计算的自然顺序是首先计算{αj，dn}K-1n=0，{cdn}K-1n=0和{βj，dn}K-1n=0，然后使用结果计算γ和ξ。附录E.INTC股票收益率校准本节包含第7.2节中所述的截断纯跳跃模型的结果，该模型校准为INTC股票的每秒价格。下面显示了具有1到6个潜在状态的模型的校准参数。如第7.3节所述，我们使用BIC和ICL准则来确定潜在状态的“最佳”数量。

BIC定义为BIC=对数L？-νMlog（K×D），（E.1）其中log L？是给定模型的最大对数似然值，νJis是模型中存在的参数数，并且回忆一下，D表示观察天数，K表示一天内的观察次数（假设天数相等）。如第7.1节所述，无法直接计算对数可能性。相反，我们使用附录D中的正向-反向算法来计算它。使用第7.1节的符号，给定模型的对数似然度可计算为对数L=DXd=1K-1Xk=0记录cdk。（E.2）对于我们的模型，Biernacki等人（2000）的ICL近似值可直接计算为asICL=DXd=1K-1Xk=0log fψ？（tk+1，ydk+1；tk，ydk，bZdk）-νMlog（K×D），（E.3），其中νMis再次表示模型中存在的参数数量。ψ?是跃迁密度函数fψ中出现的参数，它使模型的对数似然最大化。BZD是最可能的病理ZD，取决于Yd0:K，由维特比算法计算，使用使模型的可能性最大化的参数。下表记录了第7.2节中提出的均值回复纯跳跃模型的校准参数。每个表都包含使用EM算法校准的参数，潜在过程的可能状态数范围为1到6。下表中的每一行按基本噪声级ui排序。