Kelly准则应用于股票市场的一般框架

这正如预期的那样，因为对于小的增长，只有小的方钻杆部分会被投资，拥有多个股票的效果应该与单一股票的情况没有区别。对于较大的增长，定性影响是减少整体方钻杆分数，从减少投资到总金额的角度来看，这是合理的。我们注意到，对于特定的参数选择，可以获得超过1的K elly分数，如图1所示。对于单一原料f=u/σ的标准溶液也是如此。通常（22）仅适用于小参数ul，σlas适用于前面检查的单一股票案例。对于这些参数的较大值，必须通过直接求解（10）来找到方钻杆分数。然而，由于在现实情况下，通常只考虑大ul、σl的长期投资，因此在大多数情况下，这应该是合理的近似值。C、 相关股票更现实地说，股票的波动是相关的。为了说明我们在这种情况下的形式主义，我们展示了两个相关股票的另一个例子。我们取二元对数正态分布[18]p（x，x）=2πσp1- ρxx×exph-（ln x- ln x（0）- u+σ)2(1 - ρ） σ+ρ（ln x- ln x（0）- u+σ）（ln x- ln x（0）- u+σ)(1 - ρ)σσ-（ln x- ln x（0）- u+σ)2(1 - ρ） σi（33）上述分布的平均值、方差e和协方差取值shxli=x（0）leulVar（xl）=hxli- hxli=（x（0）l）e2ul+σl- （x（0）l）e2ulCov（x，x）=hxxi- hxihxi=x（0）x（0）eu+u（eρσ- 1） （34）对于l∈ {1, 2}. 股票回报率与（28）相同。使用（24），我们可以计算M和basMll=1的元素-2eul+e2ul+σlM=M=eu+u+ρσ- eu- eu+1bl=eul- 1.（35）引入相关性的效果如图所示。2（b）。

我们观察到，如果股票价格正相关，则Kelly分数总体减少，而负相关时，Kelly分数总体增加。这是资产多元化背景下的预期结果：负相关股票可以降低风险，因为一只股票的损失将由另一只股票的收益决定。正相关股票有效地提供了更多相同类型的股票，因此方钻杆分数应相应减少。在两个相同和相关股票的极限，即u=u=u，σ=σ=σ，ρ=1，我们得到m=（e2u+σ- 2eu+1）1 11 1b=（eu）- 1)（36）ma trix M具有特征向量（1，±1）T，其中（1，-1） 特征值为零。这使得M是一个奇异矩阵，通常是不可逆的。然而，由于b涉及非奇异特征值，我们可以进行反演（2 5），得到F=eu- 12（e2u+σ- 2eu+1）. （37）这正好是（18）方钻杆压裂的一半。这是预期的结果，因为两支完全相关的股票必须给出与一支股票相同的Kelly分数，因为这实际上是一项相同的投资。五、 结论与展望我们发展了一种将Kellysttrategy应用于股票市场投资的任意概率分布的形式。我们的形式主义是通用的，因为它可以以相对简单的方式应用于单个或多个股票。我们的主要结果是公式（25），其中kelly分数可以通过由概率分布的一阶矩和二阶矩组成的简单矩阵求逆得到，这是一个相对简单的计算，可以对典型分布进行分析评估。对于具有g几何布朗运动的单只股票，我们在小增长u和相对波动率σ的极限下再现了标准Kelly分数。

即使在严格的有效性范围之外，我们的计算结果也给出了类似或低估方钻杆分数的结果，这将使其成为一种有用的方法。我们已经展示了一些典型的例子来说明我们对具有不同参数、有无相关的多个股票的形式。对于多个独立库存，我们观察到在低增长的单个库存方钻杆分数与较大增长的多个库存方钻杆分数之间存在平滑的交叉。对于相关股票，我们的结果与关于多元化的标准投资策略一致，包括负相关关系。这些简单的测试表明，我们的方法是确定最佳投资fr行动的简单有效的方法，给出了关键参数的估计。一个有趣的例子是，在与长期投资相对应的较大euσ区域中，泰勒扩张发生了破坏。虽然我们普遍观察到低估Kelly分数的趋势，但需要更详细的了解，尤其是对于多股情况。致谢作者感谢Paul R.J.Graham和Saori Katsumata的讨论。T

Byrnes得到了纽约大学全球合作研究种子基金、中国国家自然科学基金（61571301）、杰出青年千人计划（D1210036A）和国际青年科学家科学基金会研究基金（116501010425）、纽约大学-华东理工大学物理研究所（NYU-ECNU）的支持，上海市科学技术委员会（Grant17ZR1443600）和中国科学技术交流中心（NGA-16-001）。附录A：对数正态分布的极限情况（14）中的变量定义如下：在极限情况下，价格波动很小| x-x（0）x（0）|<< 1，我们可以根据近似lnx将对数正态分布扩展为高斯分布≈ ln（x（0）（1+x- x（0）x（0）））≈ ln x（0）+x- x（0）x（0）（A1），然后给出sp（x）≈√2π^σexp-（十）- x（0）- δx）2^σ. （A2）新价格的分布将以x（0）+δx为中心，波动率为σ。[1] J.L.Kelly，《贝尔实验室技术期刊》35917（1956）。[2] L.C.MacLean、E.O.Thorp和W.T.Ziemba，《凯利资本增长投资标准：理论与实践》，第3卷（世界科学出版社，2011年）。[3] L.Breiman等人，《凯利资本增长投资标准：理论与实践》（2011），第47-60页。[4] M.Finkelstein和R.Whitley，《应用概率的进展》13415（1981）。[5] S.Browne，《寻找边缘》，《卡西诺游戏的数学分析》，第215–231页（2000年）。[6] S.Browne和W.Whitt，《应用概率的进展》281145（1996）。[7] E.O.Thorp，《资产和负债管理手册》1385（2006）。[8] L.M.Rotando和E.O.Thorp，《美国数学月刊》第922–931页（1992年）。[9] S.J.Grossman和Z.Zhou，《数学金融》3241（1993）。[10] H.Levy，《国际经济评论》，第601-614页（1973年）。[11] H.A。

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