Kelly准则应用于股票市场的一般框架

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Generalized framework for applying the Kelly criterion to stock markets》
---
作者：
Tim Byrnes, Tristan Barnett
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We develop a general framework for applying the Kelly criterion to stock markets. By supplying an arbitrary probability distribution modeling the future price movement of a set of stocks, the Kelly fraction for investing each stock can be calculated by inverting a matrix involving only first and second moments. The framework works for one or a portfolio of stocks and the Kelly fractions can be efficiently calculated. For a simple model of geometric Brownian motion of a single stock we show that our calculated Kelly fraction agrees with existing results. We demonstrate that the Kelly fractions can be calculated easily for other types of probabilities such as the Gaussian distribution and correlated multivariate assets.
---
中文摘要：
我们开发了一个将凯利标准应用于股票市场的一般框架。通过提供一个任意概率分布模型来模拟一组股票的未来价格变动，可以通过反转只涉及一阶矩和二阶矩的矩阵来计算投资每只股票的凯利分数。该框架适用于一个或一个股票组合，可以有效地计算Kelly分数。对于单一股票的几何布朗运动的一个简单模型，我们表明我们计算的Kelly分数与现有结果一致。我们证明，对于其他类型的概率，如高斯分布和相关多元资产，可以很容易地计算Kelly分数。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Generalized_framework_for_applying_the_Kelly_criterion_to_stock_markets.pdf (215.33 KB)

2022-6-10 03:49:41 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Kelly 股票市场 股票市 distribution Multivariate

将Kelly准则应用于股票市场的一般框架Stim Byrnes1、2、3、4、5、，*和Tristan Barnett2，1纽约大学上海分校，1555 Century Ave，浦东，上海200122，华东师范大学物理与材料科学学院精密光谱学国家重点实验室，上海200062，中国纽约大学华东师范大学物理研究所，上海中山北路3663号，邮编200062，中国国家信息研究所，2-1-2 Hittosubashi，千代田区，东京101-8430，日本物理系，纽约大学，纽约，纽约10003，美国（日期：2018年6月15日），我们开发了一个将凯利标准应用于股票市场的一般框架。通过提供一个任意概率分布模型来模拟一组股票的未来价格变动，可以通过反转只涉及倒立二阶矩的矩阵来计算投资每只股票的凯利分数。该框架适用于一个或一个股票组合，可以有效计算Kelly压裂。对于一个简单的单只股票几何布朗运动模型，我们的计算结果与现有结果一致。我们证明，对于其他类型的概率，如高斯分布和相关多元资产，可以很容易地计算Kellyfractions。一、 引言凯利标准为冒险游戏的长期增长提供了一个最佳策略，其中玩家占优势。这种策略在赌博的背景下特别有用，因为在这种背景下，未来的概率是明确已知的，并且在许多情况下都有大量的应用。在股票市场投资的背景下（也称为最优增长标准），价格变动的概率只能估计。

然而，在这种情况下，关于Kelly准则的应用有大量文献，供审查参考[2]。凯利策略在其MOST基本形式中指出，一个人应该投资一个分数，该分数等于预期回报与获胜回报的比率[1]。更准确地说，对于用几何布朗运动建模的股票，我们得到了f=u/σ的凯利分数，其中u是增长率，σ是相对波动率。众所周知，这种策略是最优的，因为它可以最大限度地缩短获得特定财富的时间，并且优于任何其他策略【3，4】。Kelly结果的一个假设是，重新投资是在长期内进行的。这推动了对Kelly准则在有限时间水平[5]、连续时间变化[6，7]、连续概率分布[8]、整合风险管理[9]的适用性的研究，以及与均值-方差方法的比较[10，11]。在实际情况中，特别令人感兴趣的是多变量情况，即同时投资多只股票。为了利用凯利的思想计算股票投资组合中的最优投资分数，已经进行了大量的研究。而所有人都有最大限度实现长期增长的基本战略*提姆。byrnes@nyu.eduof对于资产，方钻杆优化的执行方式差异很大。Konno及其同事[12]证明，组合优化模型可以简化为一个线性问题，从而实现大规模优化，尽管它并没有明确基于Kellysttrategy。劳雷蒂及其同事【13】遵循方钻杆策略，但并没有提供计算方钻杆分数的简单公式。

在麦克莱恩及其同事的工作中【14】，重点更多的是将风险控制纳入投资组合管理，而不是最大化增长。此外，内克拉索夫（Nekrasov）[15]推导出了一个公式，从中可以计算出最佳投资分数，但不考虑股票的波动性。在给出股票价格变动的多变量概率模型的情况下，需要一个相对简单的程序来获得最佳的方钻杆分数。到目前为止，我们认为，对于将凯利战略应用于一般情况的简单而正确的程序，尚未达成共识。在本文中，我们提供了一种将Kelly准则应用于股票市场投资的新方法。我们的方法是最紧密地遵循Kelly的原始方法，即在每轮投资中给定概率分布，使资产长期最大化。为此，我们需要考虑多元连续概率的情况，我们在第。二、原则上，我们的方法可以应用于任意的概率分布，而不是像传统假设的那样需要对数正态分布，并且可以关联。为了便于说明，我们解决了一些投资组合中含有少量股票的投资组合案例，这产生了一个simplematrix方程，可以通过求解该方程来获得Kellyfractions。以秒为单位。III我们使用与几何布朗运动相对应的对数正态分布明确地计算了Kelly分数的公式，并表明它与标准结果一致。然后，我们将该技术扩展到Sec的多只股票。并表明，一个简单的涉及矩阵求逆的程序可以用来获得考虑波动性的Kelly分数。以秒为单位。我们总结了我们的结果和主要结论。二、

多重概率结果的KELLY准则我们首先简要回顾了多重概率结果的KELLY策略，这也将有助于介绍我们的符号。A、 单个投资案例考虑初始资产为M的投资者，其结果概率为p（i），其中i=1，M、 对于第i个结果，投资金额的回报为k（i），可以是正的，也可以是负的。因此，在第i个结果的情况下，如果投资者将其所有资产投入到游戏中，其资产总额将为V（1+k（i））。接下来的问题是，假设剩余资产不变，计算他应该在游戏中下注的资产比例。在游戏结束后，他的资产总价值将是V=V（1+f k（1））n（1+f k（2））n。（1+f k（M））nM=VMYi=1（1+fk（i））ni（1），其中ni是第i次事件的结果数，f是0的投资分数≤ f≤ 1，自始至终假设恒定。在标准方钻杆法中，f优化了g rowthG=limN→∞NlnVNV。（2） 取导数，得到条件dgdf=limN→∞NVNdVNdf=0（3）将（1）替换为（3）得到的一个Snmxi=1k（i）ni1+f k（i）=0。（4） 对于较大的N，我们预计ni/N≈ p（i）因此我们得到了标准[13，16，17]MXi=1k（i）p（i）1+f k（i）=0。（5） B.多重投资案例我们可以将ab ove推广到多重平行投资的案例。考虑平行进行的投资，投资者的资产分配给每个投资。在这种情况下，投资的总份额为0≤PLl=1fl≤ 1，其余金额为现金。长期投资的第i个结果的回报为kl（i）。然后，所有投资的各种结果用结果i=（i，i，…，iL）标记，其发生概率为p（i）≡ p（i，i，…iL）。

如果第i次出现，他的资产将为V（1-LXl=1fl）+VLXl=1fl（1+kl（il））=V（1+LXl=1flkl（il）），（6）其中第一项为未投资部分，第二项为每项投资的回报。以类似于（1）的方式，在N次博弈之后，可以减记投资者的资产vn=VYi，i，。。。，iL（1+LXlflkl（iL））ni（7），其中ni≡ nii。。。iLis是第i个结果发生的次数d。由于有L个分数fl，我们有L个微分方程（3），其中导数是关于fl的。对于第L个投资分数，我们得到了约束xi，i，。。。，iLkl（il）p（i，i，…il）1+PLl′=1fl′kl′（il′）=0（8），其中我们假设N远远大于ni/N≈ p（i）。这是一组L方程，必须为L未知分数fl.C.连续情况求解。我们的目标是将凯利准则公式（5）和（8）应用于股票价格。由于股票价格本质上是连续的，因此使用连续概率分布比使用上面推导的离散情况更合适。我们可以立即把它写下来→ x、 其中x是一个连续的随机参数。因此，对于单一投资情况，我们有zdxk（x）p（x）1+f k（x）=0（9），其中p（x）是一个连续的概率分布，k（x）是结果x的回报。对于多重投资情况，我们有一个L方程zdx。dxLkl（xl）p（x）1+PLl′=1fl′kl′（xl′）=0（10），其中p（x）≡ p（x，…，xL）是L投资的连续概率分布，kl（x）是lth投资的再回报。三、 单只股票的凯利标准A。单个股票的概率模型我们现在将上一节的一般理论应用于股票。假设给定股票的价格当前为x（0）。

概率分布的一种流行选择是通过几何布朗运动对价格波动进行建模，其中一段时间后的新价格为x（0）→ x=x（0）eξ（11），其中ξ是从高斯分布中提取的随机数。这种形式确保了价格始终是积极的，就像真实的股票价格一样。更具体地说，概率分布采用对数正态形式p（x）=x（0）√2π^σxexp-（ln x- ln x（0）-δxx（0）+σ2（x（0）））2（σ/x（0））,（12） 式中，^σ是标准偏差，δx是价格变动。变量x、x（0）、δx、^σ的单位为美元或任何其他货币（见附录）。我们可以定义这些变量的无量纲比率，其特征是分布u=δxx（0）σ=σx（0）（13），这分别是价格和无量纲可用性的预期增长。然后，对数正态分布的形式等价地写为p（x）=√2πσxexp-（ln x- ln x（0）- u +σ)2σ!,（14） 上述分布的平均值和方差取shxi=x（0）euVar（x）=hxi- hxi=（x（0））e2u+σ- （x（0））e2u。（15） 在这种情况下，投资回报采用简单的形式k（x）=x- x（0）x（0）（16），因为k被定义为部分投资回报。σ=1σ=0.50.0 0.50.01.00.01.000.01σ=0.1σ=0.2（a）（b）生长u生长u方钻杆分数fKelly分数fFIG。1、使用我们的方法（18）（实线）和挥发性的常规推导（19）（点线）比较方钻杆分数与几何布朗运动建模的生长u。在（a）中，波动率被选择为相对较小的范围，而（b）显示出较大的选择波动率。我们还使用阿高辛概率分布（21）（虚线）显示了方钻杆分数。B、 方钻杆压裂的评估我们现在可以首先检查模型（14）和（16）的单个储料箱，以便于简化。

虽然只有使用数字才能准确计算积分（9），但对于大多数感兴趣的情况，我们可能会假设投资分数与回报的乘积为k（x）<< 然后我们可以通过将分母展开为泰勒级数来近似（9），从中我们可以得到zdxk（x）p（x）（1-f k（x））=eu- 1+f（2eu- e2u+σ- 1) = 0. （17） 这立即给出最佳方钻杆fr动作f=eu- 11+e2u+σ- 2eu。（18） 假设u，σ<< 1我们可以将指数展开为≈uσ. （19） 这与几何布朗运动的凯利分数的标准表达式是一致的。我们的表达式（18）和标准表达式（19）的比较如图1所示。在图1（a）中，我们选择了（17）中泰勒展开近似区域内的相对SMAL挥发性。我们发现我们的Kelly fr操作与预期的标准表达式一致。这表明只要re-lativelysmall参数u，σ<< 我们的方法工作可靠。对于σ的较大选择，获得（17）的泰勒展开式不太有效，我们的结果开始偏离标准结果。然而，对于更大的预期生长u，曲线差异很大，通常给出更保守的方钻杆分数。从投资的角度来看，这是有益的，因为人们通常喜欢在较小的投资方面犯错，而不是承担更多的风险。为了说明我们形式主义的一般性质，我们证明，对于其他概率分布选项，计算（9）很简单。由于返回k（x）=x/x（0）的简单形式- 1，通过计算（17）：f=hxix（0），可以很容易地获得ar位概率分布的方钻杆分数的一般公式- 11+hxi（x（0））- 2hxix（0）（20）因此，仅通过概率分布的一阶矩和二阶矩即可轻松计算方钻杆分数。

例如，使用高斯分布（见附录）可以得到Kelly分形f=u+σ。（21）由于uu+σ<uσ，我们再次获得了始终低于表达式（19）的方钻杆分数。图1显示了相同挥发物的馏分。四、 MULTIPLESTOCKSA的KELLY准则。对于任意分布的方钻杆分数，我们现在通过将（26）和（28）替换为（10）来找到最佳方钻杆分数。为了计算积分，我们可以将（10）的分母展开为泰勒级数，从而得到标准ionZdx。dxLkl（xl）p（x）（1-LXl′=1fl′kl′（xl′）=0（22）这是fl′中的一组线性方程组，可以写入mMf=b（23）的矩阵中，我们可以定义元素asMll′=Zdx。dxLkl（xl）kl′（xl′）p（x）=hxlxl′ix（0）lx（0）l′-hxlix（0）l-hxl′ix（0）l′+1bl=Zdx。dxLkl（xl）p（x）=hxlix（0）l- 1（24），向量f的元素为fl。因此，矩阵方程仅涉及概率分布的第一和第二动量，通常易于评估。为了找到最佳方钻杆分数，我们简化了矩阵求逆f=M-1b。（25）由于（25）是一个线性方程，因此可以高效地进行计算。公式（25）是本文的主要结果，我们在下面几节中用一些简单的例子来说明这一点。B、 多个独立股票为了说明我们的主要结果（25），为了简单起见，我们考虑了每个股票的概率分布是独立的情况。在这种情况下，概率分布的形式为p（x）=LYl=1pl（xl）（26），其中pl（xl）是lthstock的概率分布。我们再次对每种股票进行对数正态分布PL（x）=√2πσlxexp-（ln x- ln x（0）l- ul+σl）2σl！（27）其中，我们定义了σl=^σl/x（0）l，ul=δxl/x（0）l，用于第个库存。每只股票的回报率定义为KL（x）=x- x（0）lx（0）l。

（28）由于概率是独立的，我们可以使用概率分布归一化的事实来获得矩阵元素Smll′的简化表达式=Alif l=l′BlBl′否则Bl=Bl（29），我们定义了积分Bl≡Zdxkl（x）pl（x）Al≡Zdx（kl（x））pl（x）。（30）对于对数正态分布，我们可以将积分计算为beBl=eul- 1Al=1- 2 eul+e2ul+σl（31）或者，对于独立高斯分布的情况，一个人可以评估l=ulAl=ul+σl.（32）σ=1σ=0.50.0 0 0.50.01.0σ=0.71Kelly分数fGrowthu（a）（b）0.0 0 0.50.01.0 kelly分数fGrowthuρ=-0.5ρ=0ρ=0.51123σ=11σ=0.52图。2.（a）对于经历独立几何布朗运动的L=3个原料，使用（25）和（29）计算方钻杆分数（实线）。我们绘制了使用单一原料公式（18）计算的方钻杆分数，以进行比较（虚线）。使用的参数为σ=1、σ=0.5、σ=0.7、u=σu和u=σu。（b） 使用（25）和（29）计算了在相关几何布朗运动下L=2个料的方钻杆分数。相关系数ρ的三个值如图所示。使用的参数为σ=1、σ=0.5、u=σu。图2显示了三种股票的独立几何布朗运动的方钻杆分数的示例解。我们首先注意到，由于定义（29）中涉及的积分的精确表达式，使用（25）计算分数的效率很高。因此，虽然我们只展示了一个L=3的相对较小的示例，但对于涉及数十只或数百只股票的投资组合的更现实的情况，进行计算并不困难。从图2我们可以看出，结果通常与小生长的单一Stock公式（18）一致，这反过来又与Kelly分数的标准表达式（19）一致。