基于粒子滤波器的参数学习和变化检测

在演示了自适应速度和随机扰动大小之间的联系之后，我们提出了一个扩展图10：增加SIR（灰色）和Liu和West（黑色）观察次数的KS统计图11：Liu和West滤波器中σ（水平）的理论（红色，lhs）和估计（黑色，rhs）后验值到Liu和West滤波器，这在需要适应时增加了核方差。这是通过利用嵌入Liu和West滤波器中的遗传算法实现的，从而允许参数随机扰动的大小作为现有过程的一部分进行演变。其结果是过滤器能够适应政权变化，并在不需要适应的情况下与Liu和West过滤器融合。我们还说明了过滤器适应随机波动性的能力。最后，我们展示了在每次迭代中测量平均适应度如何提供有用的信息，这些信息可用于区分基础数据的不同动态。4.1制度变迁考虑到时间t=t的模型*波动率发生变化，dxt=（σIt<t*+ σIt≥t型*)dWt（28）到时间t*, 上述模型与（14）相同，粒子过滤器的性能如前一章所示。对于Liu和West过滤器，随着观察次数增加到时间t，后支架的范围将缩小，与收敛的理论后支架一致*. 在t=t点*, 有两种情况是可能的，新值σ可能位于估计后验概率的范围之内或之外。在它在内部的情况下，即至少有两个粒子，使得σ（i）t≤ σ≤ σ（j）t，最接近σ的粒子的重量将开始增加，最终过滤器将收敛到新值。

然而，为了开发和说明遗传算法方法，本节将重点讨论相反的情况，其中σ在后验值范围之外。这种情况将被标记为适应阶段。一般来说，在给定足够的观测值的情况下，后验密度趋向于在用于生成观测值的模拟中设置的参数值周围收敛。然而，这在适应阶段是不可能的，因为通过定义后验概率的范围不包括新的参数值。在这种情况下，后验值将收敛到最接近新值σ的点，位于现有后验值的边界处。在极限范围内，所有密度将集中在最接近σ的单个粒子上，即：π（i）tp-→ i s.t.|σ为1- σ（i）t |=inf1≤j≤N[|σ- σ（j）t |]（29）以Liu和West滤波器中使用的核的形式存在的随机扰动，允许后间隔扩大，从而减小间隔边界到σ的距离。也就是说，随机扰动导致至少一个新粒子位置落在当前估计边界之外的概率为非零。这在适应阶段尤其如此，后者密度在边界处累积。这转换为toP（inf1≤j≤N[|σ- eσ（j）t |]<inf1≤j≤N[|σ- σ（j）t |]）>0，其中eσ（j）t~ N（σ（j）t | m（j）t，hVt）（30）随机扰动与重新选择相结合，形成一种能够通过扩展后验值使后验值适应新值的遗传算法，使得inf[|σ-σ（j）t |]→ 0，从而允许后部向σ移动。在Liu和West过滤器中，核方差vt由粒子的方差决定，随着粒子越来越集中在边界周围，该方差趋于零。

通过边界的随机扩展，可以防止方差达到零，从而为后面的增量空间提供防止崩溃到单个点的空间。最终的结果是两种力趋于平衡，导致边界向σ方向相对稳定的扩张速度。这在图12中很明显：在制度改变后，估计值在σ方向上有缓慢且相对恒定的变化。图12:Liu和West过滤器在10000步后σt状态变化的估计期望值（黑色）与模拟输入值（红色）本节中演示的适应源于通过内核的随机扰动和重新选择的组合，创建了一种遗传算法。适应很明显，但速度很慢；Liu和West过滤器的设计旨在平滑后表面，而不会导致过度分散，并且不会快速适应模型参数注册表的变化。4.2控制适应率方程（30）意味着适应速度与后验区间的扩展速度直接相关，后验区间的扩展速度又由核方差vt的大小决定。在Liu和West滤波器的情况下，由于核的方差取决于后验方差，因此适应速度较慢，因此会随着后验方差的收敛而收缩。

为了说明随机核方差大小与自适应速度之间的关系，Liu和West在核中引入了一个额外的噪声项φ，如下所示：p（σt | x1:t）≈NXi=1π（i）tN（σ（i）t | m（i）t，hVt+φ）（31）过滤算法变为：图13：当10000步后出现状态变化时，使用带额外噪声的Liu和West滤波器，对φ（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0N1的不同值，比较σt的估计后验期望值（黑色）和模拟输入值（红色）：每个粒子的初始化；设σ（i）=（b-a） iNandπ（i）=N2：每个观测的顺序：2.1：每个粒子更新权重^π（i）t=π（i）tp（xt | xt-1，σ（i）t）2.2：每个粒子的归一化π（i）t=π（i）tPπ（i）t2.3：重采样生成一组新粒子：p（σt | x1:t）≈NXi=1δ{σ（i）t=σt}π（i）t------→重采样（σt | x1:t）≈NXk=1Nδ{σ（k）t=σt}2.4：每个粒子的核平滑应用σ（i）t~ N（σ（i）t | m（i）t，hVt+φ）图13和图14显示了不同噪声项φ水平的上述变化的滤波结果。结果的关键方面是，增加φ确实会提高适应速度，但在预测中会产生显著的额外噪声。应用于图13和图14后面的动力学的制度变迁提供了一个在特定时间点发生巨大突然变化的测试用例。作为另一个测试案例，在图15和图16中，我们考虑了一个基本的随机波动率模型。与制度变迁相反，模型波动性的变化是由差异驱动的，测试过滤器检测连续变化而非突然离散变化的能力。

该过程由图12定义，如果设置φ=0，则结果与上述过滤器等效。图14：使用带有额外噪声的Liu和West滤波器，比较σt的估计后验期望值的变化，其中10000步后出现状态变化，其中φ（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0N的不同值遵循SDEs系统：dxt=αtdW1，t（32）dαt=νdW2，t（33），其中W1，tand W2，tdenote独立标准维纳过程。过滤器应用于随机波动率模型，而不改变用于检测制度变化的设置。如图15（ii）所示，一定程度的附加噪声似乎有助于检测α的潜在值。然而，与制度变迁类似，过多的噪音只会转化为噪音估计。这些结果还突出了与仅检测随机波动率模型的过滤器的相似性，即，设置过滤器以检测给定值ν的状态参数α。每个迭代将包含一个附加步骤，其中每个粒子的α（i）根据随机波动率动态进行更新。在这种情况下，附加噪声参数φ的作用方式与随机波动率参数ν类似。该方法的差异突出了我们方法背后的一个激励因素，所提出的方法不必假设对基础模型的先验知识，而是可以作为数据实证评估的衡量标准，在有限的建模假设下，可以向更复杂的模型进行富有成效的扩展。在区域移位样本中，噪声参数φ以预测噪声为代价提高了自适应速度。只有在适应阶段才需要高水平的φ，其他时候φ的水平通常为零。

对于随机波动率示例，显然存在一些φ的最佳水平，它可以在不导致过度波动的情况下实现良好的过滤性能参见Bao et al.（2012），Casarin（2004）关于随机波动率模型检测的示例。图15：比较随机波动率模型中α的估计后验期望值（黑色）与模拟输入值（红色），使用带有额外噪声的Liu和West滤波器，φ（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0N的不同值。图16：比较随机波动率模型中α的估计后验期望值的变化，对于φ（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0Nnoise的不同值，使用带有附加噪声的Liu和West滤波器。这是一种基于数据自动选择φ水平的方法的动机，该方法基于在适应阶段对粒子在后部边界上的行为的检查，这将在下一步考虑。4.3将选择应用于适应率上一节的结果表明，区域机制后过滤器的适应是由随机扰动引起的后边界扩展驱动的。在适应阶段，在最接近新值的后部边界周围存在持续的密度集中。这就好像粒子寻求尽可能接近新值，并朝着这个方向推动后部。因此，在适应阶段，后部边缘颗粒的行为应与其他时间相当不同。仍然需要量化这种差异，并利用它来提高过滤器的性能。已经强调的一个差异是，在适应阶段，边界周围的后部密度集中。

这是通过测量更新步骤移动到后期更新前尾部的概率质量来进行数值检验的。首先在更新步骤之前进行测量，确定最低σ*tsuch thatXiI（σ（i）t）≥ σ*t） π（i）t≤ pσ>sup[σ（j）t]或最高σ时*tsuch thatXiI（σ（i）t）≤ σ*t） π（i）t≤ p当σ<inf[σ（j）t]时。更新步骤后，计算移动超过σ的概率质量量*t、 即进入尾部，使用eitherPiI（σ（i）t≥ σ*t） ^π（i）t+1当σ>sup[σ（j）t]或ii（σ（i）t≤ σ*t） 当σ<inf[σ（j）t]时，π（i）t+1。如果新的累积密度高于p，则意味着后部尾部的密度增加。如果通过权重更新和重新选择的周期，该指标持续较高，则表明制度发生了变化。事实上，在p=0.05的情况下生成的图17显示，在自适应阶段，与边缘粒子相关的权重显著增加。在第一种情况下，测量值保持在最大值1.0，反映了该设置的缓慢适应，其中对于大量的更新步骤，所有概率质量都超过σ*tin每一步（即，由于选择了小φ，后部仅以小增量向新的“真值”移动）。与前几节中的发现一致，适应的速度取决于φ的大小，以结果中的噪声为代价。另一个需要考虑的量是内核应用程序中每个粒子的分散大小。定义每个粒子由于应用内核而从当前位置移动的距离时实现的色散，表示为|σ（i）t |。考虑所有粒子位于完全相同位置的情况，即后部存在于一个点。

应用内核后，很明显，图17的边缘结果上的粒子是使用与图13所示结果相同的过滤器配置生成的。图17：10000步后，使用Liu和West滤波器，使用附加噪声计φ等于（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0N的后验状态变化，概率质量移动超过后验状态变化边缘上的5%分位数，后验状态将具有最高的实现色散。在粒子非常分散且核方差相对较小的相反情况下，应用核后粒子的相对位置与实现的分散关系最小。因此，在后边界实现的弥散和粒子定位之间的关系取决于现有的弥散水平和相对克内尔方差。正如已经确定的那样，在适应阶段，粒子往往非常集中在边界上，因此更接近于它们可能表现出一种关系的情况，即位于边缘的粒子往往具有较高的实际分散度。后验概率边缘的高密度和已实现色散的组合导致在适应阶段高实现色散粒子的选择偏差。通过记录实现的总分散度PI进行数字验证|σ（i）t |在每个HRE选择步骤之后。结果如图18所示，并显示了与图17中结果相似的模式，证实了这一断言。迄今为止的结果已经建立了φ值与适应速度之间的关系，以及在适应阶段具有高实现色散的粒子的选择偏差。实现的色散是φ的函数，迄今为止，φ一直保持不变，将这两个结果联系起来。

通过与已实现的离散度的联系，将φ重新定义为非常数将使其受到相同的选择偏差。为了利用这一点，确定每个粒子的φ（i），使用φ（i）初始化~ U（0，c）。这样，在自适应阶段增加自适应速度时，会倾向于选择导致高色散的高φ值。相反，当不需要自适应时，倾向于选择较低的φ值，以减少噪音。滤波算法现在变为：图18：在10000步之后，使用附加噪声项φ等于（i）0.1N（ii）1.0N（iii）10.0N（iv）100.0N1的Liu和West滤波器重新选择状态变化的模拟数据后实现的色散：每个粒子的初始化；设σ（i）=（b-a） iN，π（i）=与非φ（i）~ U（0，c）2：每个观测的顺序：2.1：每个粒子更新权重^π（i）t=π（i）tp（xt | xt-1，σ（i）t）2.2：每个粒子的归一化π（i）t=π（i）tPπ（i）t2.3：重采样生成一组新粒子：p（σt | x1:t）≈NXi=1δ{σ（i）t=σt}π（i）t------→重采样（σt | x1:t）≈NXk=1Nδ{σ（k）t=σt}2.4：每个粒子的核平滑应用σ（i）t~ N（σ（i）t | m（i）t，hVt+φ（i））使用初始分布集测试算法，以便每次测试的期望值φ等于上一节中测试的值集。与图13和14相比，图19和图20所示的结果显示，图（i）和（ii）的噪声显著降低，速度增加，但图（iii）和（iv）的速度降低。噪声的降低是由于当不在上述自适应阶段时，低φ粒子的选择偏差造成的。相反，图表（i）和（ii）的适应速度的增加是由于适应阶段对其他φ粒子的选择偏差造成的。

图（iii）和（iv）中观察到的适应速度减慢是因为在适应阶段之前，高φ粒子会通过选择过程从粒子群中消除。过滤器也适用于随机波动率模型，结果如图21和图22所示。与制度变迁的结果类似，结果中也消除了噪音。