有业绩的股份支付的理论价格

（2005）定理3.1（i）。如果Y*（y） 是一致可积鞅，它对应于某些等价局部马氏测度的RadonNikodm-der-ivative过程∈ M因此，（2.16）的右侧可以表示为学士学位-10吨, 式中，等式[·]表示Q下的期望值。然而，~Y*（y） gene-rally不一定是一致可积鞅，因此我们不能在某种度量下将（2.16）的右边表示为期望值。它只是付款人现值的膨胀值乘以▄Y*（y） 按照最初的措施。在一个完整的市场中*T（y）与独特的氡Nikodmderivative dQ/dP一致。因此，我们观察到（2.16）是完全市场中理论价格公式到不完全市场的扩展。如果Y*T（y）是特定的，我们可以计算理论价格。然而，很难显式计算Y*T（y）。我们通过指定主要问题的集Y（1）和值函数u（·），解决了对偶pr问题。然而，指定u（·）相当于解决主要问题，这只有在我们解决对偶问题之后才有可能。因此，解决方案是周期性的，不可能指定Y*一般情况下的T（y）。以前的研究试图通过将效用函数限制到某一类来解决这个问题。例如，Davis（1997）求解对数效用函数，Frittelli（2000）求解指数效用函数，Henderson（2002）求解幂和指数效用函数。然而，似乎很难就这些实用功能适用的应用程序达成一致。

此外，如果我们否认这些效用函数，我们必须指定效用函数、其风险规避参数和初始财富规模，这使得更难达成更进一步的协议。我们提出了另一种解决方案，即将效用函数的随机过程限制为某一类。我们可以指出，这样的限制是没有限制的，因此，在适用SPPC的理论价格时是可以接受的。第3节进一步解释了此解决方案。3股票价格和绩效变量模型3.1随机过程第四，我们假设d维布朗运动驱动的随机过程。考虑（3.1）的设置，其中包括一个moneymarket帐户、m个股票和d- m性能变量。dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（btdt+∑tdwt），dPt=diag（Pt）（ctdt+Ttdwt），（3.1），其中S，b是m维列向量；P、 c为（d- m） -维度列向量；∑是m×d维矩阵；T是a（d- m） ×d-尺寸矩阵；w是d维布朗运动；diag（x）是一个diagona l matr IX，向量x是diagona l元素。过程r、b、c、∑和T与Ft相适应。对于时间变量T，我们可以互换使用bt和b（T）等符号，有时为了简单起见会省略T。值得注意的是绩效的含义，因为存在三种类型的绩效变量。第一种类型是流量变量。例如，考虑净利润，定义为一家公司在一定时期内的收入流量。我们用N（a，t）表示从时间a到时间t的净利润。n（a，t）相对于t的差值不取决于a的值，我们用n（t）表示：=N（a，t）/t。n（t）的含义是时间t的瞬时净利润率。我们可以通过以下等式来表示任何时期的净利润【a，b】：n（a，b）=Zban（t）dt。

（3.2）因此，时间t时性能变量的瞬时速率是描述第一类性能变量周围各种关系的有用变量。我们将此作为基本变量。属于这种类型的性能变量Ptin（3.1）是t时的瞬时性能变化率。我们用i的集合表示∈ N、 Pi属于此类型。第二种绩效变量类型表示某个项目的状态，例如新药的开发。在对这个开发过程建模时，我们假设在判断后续失败时存在几个阶段。为了在每个阶段取得成功，绩效变量必须超过每个阈值；如果未超过阈值，则无法继续。当超过所有阈值时，该项目最终会成功。该过程建模如下。有n个时间点，例如0=t<t<t<<田纳西州≤ T，以下条件表示第i阶段成功：P（ti）P（ti-1)≥ Ki。（3.3）如果某些i的条件不满足，则该项目在该阶段失败。使用两个时间点的比率，以便状态变量可以独立地指示每个阶段的成功者故障。如果我们计算（3.3）asP（ti）≥ Ki，P（ti）的大值-1） 意味着下一阶段成功的可能性很高，而且每一步都不是独立的。我们用to表示i的集合，例如∈ N、 Pi属于此类型。第三种绩效变量类型表示每次的等价状态，如市场份额。

我们用to表示i的集合，对于i∈ N、 Pi属于此类型。当我们在第4节中更详细地制定SP PC时，我们将回到这三种性能变量之间的区别。总波动率矩阵ΣT是一个d维方阵。我们可以假设它是一个正则矩阵，而不丧失一般性。我们使用w来记录w的第一个m布朗运动，剩下的d- m Brownianmotions和F（1）由w.3.2生成的过滤—对偶问题假设3.1的显式解。r、 b和∑适用于F（1）。假设3.1意味着∑=Σ. 这种形式的矩阵似乎很严格，但事实并非如此。作为协方差矩阵V：=∑∑股票价格是一个正定义，存在一个m维平方根矩阵v1/2。由于V1/2可以复制V，我们可以使用V1/2作为挥发性矩阵。假设3.1的另一个含义是排除绩效变量P a影响r、b和∑的可能性。然而，这种模型在评估SPPC价格时没有分析优势。第一个结果是定理3.1。定理3.1。我们通过以下等式θ定义了一个定值随机过程θ和一个R值随机过程Z：=σ-1（b+d- r1m），Zt：=ex p-Ztθdws公司-Ztkθkds,（3.4）其中，d是一个调整的Rm值股息收益率过程。如果假设2.1、2.2、2.3、2.4和3.1成立，那么在设定值（3.1）中，我们有▄Y*T（y）=ZT。（3.5）我们用Q a度量表示氡-尼科德导数dQ/dP为ZT。我们称Q为最佳度量。证据由于假设3.1将可交易资产的损益过程调整为F（1），信息F/F（1）t不会提高预期效用。我们可以将主要问题的容许财富过程E限制为适应F（1）的过程。

因此，只需设置dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（bdt+∑dwt），就可以解决主要pr问题（2.4）。（3.6）当（3.1）和（3.6）的每个主要问题的最大值相等时，由引理2.1和2.2建立的每个主要问题的最优解的唯一性导致两个最优解之间的e质量b。此外，当我们考虑设置（3.6）内的主要问题时，Q被用来表示唯一的等价局部鞅测度。氡Nikodmderivative dQ/dP与Zt下限（3.6）一致；见Karatzas&Shre-ve（1998）工作中的定理3.6.3和3.6.11（6.23）。引理2.2导联toU′xx*T（x）STST=yZT。（3.7）或者，通过考虑基因ral设置（3.1），其中我们考虑了性能变量，引理2.1导致toU′xx*T（x）STST=yy*T（y）。（3.8）我们比较（3.7）和（3.8）的右侧，以获得Y*T（y）=ZT。接下来，我们计算Q下设定值（3.1）的随机过程。根据吉尔扎诺夫定理，由（3.9）定义的^变为Q下的布朗运动（Karatzas&Shreve 1998备注1.5.3；Karatzas&Shreve 2012第3.5节）。d^wt：=θdt+dwt，d^wt：=dwt，（3.9），其中TT= T和Tis a（d- m） ×m维矩阵。将（3.4）和（3.9）代入（3.1）创建以下方程式：dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（（r1m- d） dt+∑d^w），dPt=diag（Pt）c- T∑-1（b+d- r1m）dt+Td^w+Td^w.（3.10）最终，当我们将度量值从P改为Q时，我们必须改变所有变量的位移项。股票价格漂移条件的变化与完整市场中的变化相同。我们减去预期超额回报B+d- （3.10）中值得注意的是，我们还必须更改性能变量的偏移项。

我们必须从c中减去expectedexcess返回b+d- r1M乘以T∑-此外，Q是所谓的最小鞅测度（MMM）；见Bingham&Kiesel（2013）第7.2.3节。以前的研究利用MMM来确定局部ris k最小化策略，但没有分析MMM与对偶问题最优解之间的关系（Schweizer 1999）。本文的创新之处在于，我们证明了在设定（3.1）和定理3.2的假设下，MMM是对偶问题的最优解。然后我们解释T∑的含义-1、修复任意1≤ j≤ d- m、 用m维l行向量βjs表示多元回归模型的beta，用于解释dPj/Pj- cjdt（第j个性能变量瞬时变化率的随机项）由dSi/Si确定- 投标书（1≤ 我≤ m） ，股票价格瞬时变化率的m个随机项。变压器∑-1=T∑ΣΣ-1、T∑的第j行是一个行向量，ithKaratzas et al.（1991）证明了在功率效用函数和完全不可边缘化的r、b和∑的情况下MMM的最优性，这是应用中极其严格的假设。见Karatzas等人（1991）工作中的示例10.2。另一个例子是赫尔-怀特随机波动率模型，该模型假设状态变量和股票价格之间独立。这种假设在估计SPPC的理论价格时是有限制的。见Bingham&Kiesel（2013年，第316页）。其中的元素是dPj/Pj之间的协方差- cjdt和dSi/Si- 投标书。矩阵ΣΣ-1是股票收益协方差矩阵的倒数。因此，T∑的第j行-1isβjS。我们将βjs称为多元回归betas，表示T∑-1通过BPS。我们可以观察多重压缩β的乘积，然后从性能变量的漂移项中减去预期的超额回报。我们将上述结果总结为定理3.2。定理3.2。

在假设2.1、2.2、2.3、2.4和3.1下，设置（3.1）表示为由q下的布朗运动驱动的以下方程：dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（（r1m- d） dt+∑d^wt），dPt=diag（Pt）（（c- BPS（b+d- r1m））dt+Td^wt+Td^wt）。（3.11）设置（3.11）表明，我们必须根据所有变量的原始漂移，将预期收益按比例细分为多元回归β。我们可以使用定理3.2获得基于边际效用的B价格，它满足引理2.3的要求，作为B的预期值-10乘以（3.11）的随机过程。3.3最优投资组合模型应用定理3.2的问题是，我们需要m个预期超额回报和（d- m） ×mβ，不易估计。通过添加在应用SPPC理论价格时没有限制的假设，我们可以建立一个参数比定理3.2少的定理。假设3.2。r、 b和∑是时间为[0，t]的确定连续函数。假设3.2排除了r、b和∑依赖于股票价格的模型。然而，这种模型在评估PPC价格时没有分析优势。因此，假设3.2没有限制性，并且明确地暗示了假设3.1。假设3。2导致了关于最优财富过程的强烈主张。我们需要额外的技术条件，我们在附录A中解释了这些条件，称为卡拉茨-什里夫条件（卡拉茨和什里夫1998，假设3.8.1，3.8.2）。引理3。如果假设2.1、2.2、2.3、2.4、3.2和Karatzas-Shreve条件成立，则Rm值过程π*表示投资于每个股票的最优财富过程的比例可以用π表示*= kΣΣ-1（b+d- r1m）（3.12）对于第i个股票，其多元回归beta的定义方式与绩效变量相同。

它等于m维原始向量1i，其第i个元素为1，另一个元素为0。其中k是一些R值F（1）适应过程。证据Karatzas&Shreve（1998）定理3.8.8（3.8.24）。我们有以下定理：定理3。3、让b*π- r：=π*（b+d）- r1m）是最优财富过程的预期超额回报，以及β*Pπ：=β*1π, · · · , β*d-mπ成为a（d- m） 维度列向量，其第j个元素是解释dPjt/Pjt的单一回归模型的beta- cjdt（j=1，···，d- m） 按dX*t/X*t型- b*πdt，其中X*是最佳财富过程。如果假设2.1、2.2、2.3、2.4、3.2和Karatzas-Shreve条件成立，那么我们有dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（（r1m- d） dt+∑d^wt），dPt=diag（Pt）（（c- β*Pπ（b*π- r） ）dt+Td^wt+Td^wt）。（3.13）证明。乘∑∑在左边（3.12）的两侧，我们有∑∑π*= k（b+d- r1m）。（3.14）乘以π*在左边（3.14）的两边，我们有π*ΣΣπ*= kπ*（b+d- r1m）=k（b*π- r） 。（3.15）从（3.14）和（3.15）中删除k，我们有B+d- r1m=∑∑π*π*ΣΣπ*（b）*π- r） 。（3.16）乘以T∑-1在（3.16）的左侧两侧，我们有∑-1（b+d- r1m）=T∑π*π*ΣΣπ*（b）*π- r） 。（3.17）作为∑π*出现在右侧的是最优投资组合π的波动率向量的换位*, T∑π*是a（d- m） -维列向量，其第j个元素是dPjt/Pjt之间的共变-cjdt（j=1，···，d- m） 和dX*t/X*t型- b*πdt。矩阵π*ΣΣπ*在右侧的Denominator中，是d^X/^X的方差。因此，我们有t∑-1（b+d- r1m）=β*Pπ（b*π- r） 。（3.18）将（3.18）代入（3.10）导致（3.13）。根据定理3.3，我们不需要估计股票的预期超额收益和多元回归β。相反，有必要估计最优投资组合的预期超额回报和单回归贝塔。

这是因为，与最优投资组合一致的非最优投资组合的预期超额收益率和贝塔值，会自动影响绩效变量漂移调整。在实践中，有足够的先决条件可以采用股票指数作为最佳投资组合。许多研究证实，很难找到稳定跑赢股指的主动管理基金（Ca rhart 19 97，Fama&French 2010）。当考虑最优投资组合为股票指数的投资者时，我们可以将此类投资者的估值视为上述意义上的长期和合格。由于许多金融机构宣布了预期市场指数回报，因此相对容易估计市场指数的预期超额回报。3.4最优测度的两个特征最优测度暗示了随机过程（3.11）和（3.13）中的两个特征。FIRS t的特点是，业绩变量的漂移项应根据所投资股票的预期超额回报或其beta乘以的最佳组合而变化。从经济上讲，之所以发生这种变化，是因为与可交易资产相比，SPPC的投资相对优势影响了SPPC的理论价格。对于通过减少可交易资产的财富投资来购买SPP C的投资者来说，股票的预期超额回报越高，标普PC的预期回报就越高。最终，理论价格必须下降；因此，实现目标的可能性也必须降低。在调整绩效变量的漂移项以及（3.11）或（3.13）时，Stock的预期超额回报越高，绩效变量实现目标和价格的可能性越低；因此，它是一致的。

如果价格没有下降，投资者可以通过卖空SPPC来增加预期效用。忽视beta意味着我们假设投资者是风险中性的，这在经验上是不合逻辑的，并导致这样的结论：如果股票的超额收益为正，投资者可以增加预期效用。我们必须小心，不要无意识地陷入这种不合理的假设之中。我们必须仔细估计贝塔。如果绩效变量包括销售人员利润，并且我们使用市场指数作为最佳投资组合，则beta为正值，因为市场指数与经济趋势的方向相同，销售和利润受经济趋势的影响。第二个特点是性能变量的漂移调整不依赖于效用函数的类型。考虑到我们使用效用函数来定义基于边际效用的价格；因此，（3.11）或（3.13）中的dr ift调整不需要有关效用函数的信息，这是意料之中的。发生这种情况有两个原因。首先，尽管是*T（y）通常取决于效用函数，而不是在假设3.1下（见定理3.2）。其次，我们用q=0定义基于边际效用的价格。r e SPEC to q的边际效用为qE[U（X*T+qB）]-qu（x- qp）=E[U′（X*T+qB）B]- u′（x- qp）p.（3.19）第一项是由于最终财富的变化而产生的边际预期效用，第二项是由于投资于可转换资产的初始财富的变化而产生的边际预期效用。q=0时的评估（3.19）导致束角[U′（X*T） B]- u′（x）p。