有业绩的股份支付的理论价格

（3.20）将（2.12）和y=u′（x）代入上述方程，我们得到了[u′（x*T） B]- u′（x）p=EhyY*（y） 学士学位-10Ti- yp=yEhY*（y） 学士学位-10Ti- p.（3.21）边际预期效用等于zero w he n p=EhY*（y） 学士学位-10Ti。同时，我们可以看到，如果q 6=0，那么qE[U（X*T+qB）]-qu（x- qp）6=yEhY*（y） 学士学位-10Ti- p. （3.22）这种不平等意味着，如果我们以非零q（效用差异价格）定义基于边际效用的价格，那么*（y） 学士学位-10Ti不是一个在非z e ro q下使边际预期效用等于零的价格。我们可以猜测，即使假设3.1成立，效用差异价格将取决于效用函数和初始财富x。然而，关于效用函数的类型以及初始财富的大小是否合适，似乎没有达成一致意见。这种分歧意味着q=0时基于边际效用的价格是理论价格的唯一合理定义。4 SPPC4的理论价格。1 SPPCW的理论价格公式然后，通过仅考虑影响SPPC支付效果的股票和绩效变量来制定SPPC的理论价格。股票和绩效变量之间的区别在于，前者可以在市场上交易，但后者不能。因此，dSt=Strtdt，dSt=diag（St）（（rtm- dt）dt+∑td^wt），dPt=diag（Pt）（utdt+Ttd^wt）。（4.1）其中u是（3.11）或（3.13）中β调整后的漂移系数。我们在不同的意义上使用了与（3.11）相同的符号来简化描述。此外，我们考虑发行人的股票以及影响支付效果的所有股票。例如，如果行使价格的公式是发行人在授予日的股票价格×授予日的市场指数授予日的市场指数，（4.2）我们在股票中包括股票指数。

如果行权价格的公式是授予日发行人的股票价格×授予日竞争对手的股票价格授予日竞争对手的股票价格，（4.3）我们将竞争对手的股票包括在股票中。设m a和n分别为（4.1）中股票和绩效变量的数量，d：=m+n。设Tv<T为授予日期。对于1≤ 我≤ n、 用IIi表示，当第i个性能变量的条件满足时，该变量的值为1，当条件不满足时，该变量的值为0。我们可以通过使用指标函数并用ki表示每个目标来描述Ii，如下所示：Ii=1{PiSU M≥Ki}表示i∈ N（4.4），其中PiSUM：=RbiaiPiudu和[ai，bi] [0，Tv]是会计期间，Ii=1{Pi（tik）/Pi（tik-1)≥Ki}，1≤ k≤ 后进先出i∈ N（4.5），其中0=ti<…<ti<…<tiLi公司 [0，Tv]是判断成功或失败的时间点，andIi=1{Pi（Tv）≥Ki}表示i∈ N、 （4.6）我们称之为PiSUMa期和。如果满足条件，我们使用C表示在奖励时间T确定的支付。此外，C是一个F（1）T可测量的r andom变量。C的形式取决于奖项的内容。如果奖励提供股票，则C=ST，其中STI是发行人在时间T的股票价格。如果被授予人提供股票期权，则只有在指定了期权的内容后，才能指定C的形式。它可能是一种简单的美式看涨期权，具有行使价格K和支付最大值（St- K、 0）经验值RTtrudu公司用于电视≤ t型≤ 或者它可能是一种奇异的期权（有关此类期权的定价，请参见Shreve 2004）。SPPC支付如果消费税价格取决于性能条件，则此类期权的支付为最大（ST- K{P≤K}- K{P≥K} ）其中Kand Kare执行价格和K i s绩效目标，这与max（ST）相同- K） 1{P≤K} +最大值（ST- K） 1{P≥K} 。因此，此类期权是一组收益最大的期权（ST- K） 1{P≤K} 和最大值（ST- K） 1{P≥K} 。

我们可以用与（4.7）相同的方式对此进行分析。B：=CnYi=1Ii。（4.7）Iis的产品意味着必须同时实现多个目标才能授予该奖项。我们可以观察到（4.7）将满足引理2.3的要求。首先，我们将证明存在一个最大策略X∈ X（1），满足条件B≤ axt某个常数a>0。当C适应于F（1）T时，使用completemarket的标准讨论表明存在财富过程s X∈ X（1）使得C=xxt其中X=EQ反恐精英-10吨; 因此，B=CnQi=1Ii≤ C=xXT。此外，我们指出这样的Xis是一种最大策略。如果X不是这种情况，则可容许策略X′∈ 存在支配X的X（1），即XT≤ X′Tand XT<X′t若干正概率。两边乘以S-10tz取P下两侧的期望值，我们得到方程hXTi<方程hX′Ti。然而，由于X和X′都是X（1）的元素，因此EQhXTi=EQhX′Ti=1，这是一个矛盾。因此，X是一个最大策略。接下来，我们将证明关于上述极大值策略X，ZXis是一致可积鞅。相对财富过程X满足度X=~Xtπ∑d^wt（4.8），其中π表示当前投资于每只股票的财富比例（Shreve 2004，5.2.27）。由于Ito积分是一个鞅（Shreve 2004，Theorem4.3.1（iv）），~X是一个Q-鞅，Z▄X是一个P-鞅。因此，我们有ztXt=EhZTXt | Fti。还有，呃ZTXTi<∞, 因为是啊ZTXTi=EhZT▄XTi=EhZT▄XT▄Fi=Z▄X=1。（4.9）给定Ft，L中随机变量的条件表达式是一个统一积分鞅（Williams 1991，13.4）。由于我们已经确认，SPPC的支付满足表2.3的所有要求，我们可以将引理2.3应用于SPPC的支付。SPPC的价格Isp：=EQ“s-10TCnYi=1Ii#。

（4.10）4.2如何改进估计如果不存在表示周期和概率分布的分析公式，我们必须使用蒙特卡罗方法计算（4.10），如果SPPC包含1类性能变量。绩效变量的周期积概念在评估理论价格时很有用。我们定义了性能可变asPiP棒的周期产品：=（bi- ai）expbi- Aizbiilog Piudu！。（4.11）我们可以指出PiP ROD/（bi）的含义- ai）作为离散时间点性能变量几何平均值的连续时间版本。将周期[a，b]分为t=ai，···，tk=ai+kt、 ···tn=bi（k=0，···，n），其中t：=（bi- ai）/n。几何平均数Piai，Pitk，PibiisnYk=0Ptk！n+1=：G.（4.12）然后log G=n+1nXk=0 log Ptk=nn+1bi- ainXk=0对数Ptkt型→bi公司- Aizbiilog Piudu作为n→ ∞.（4.13）因此，我们有→ expbi公司- Aizbiilog Piudu=皮普·罗比- 友邦保险n→ ∞. （4.14）从现在起，我们将原SPPC称为有条件的期间总和定期付款，SPPC称为有条件的期间乘积定期付款。我们假设i的Li=1∈ 简化描述。设N：=（i）1≤我≤m、 产品付款期的付款为Nyi=1I′i（4.15），其中i′i=1{PiP ROD≥Ki}表示i∈ Nand I′I=I代表I∈ N∪ N、 正如我们将在附录B中注意到的，d维随机向量：=（log Si（T））i∈N、 （对数钻杆）i∈N、 （对数Pi（ti）/Pi（ti））i∈N、 （log Pi（Tv））i∈N（4.16）具有d维正态分布，存在使用无关参数的分析公式。期间产品付款价格ispP ROD：=EQ“S-10TCnYi=1I′i#。（4.17）我们可以使用解析分布公式o f x，而不是蒙特卡罗方法，该方法使用随机数逐步计算多条路径，从而更快速、更准确地计算pP ROD。

我们将用解析分布公式估计的价格称为准解析理论价格。在n=1和m=1的情况下，我们可以通过结合解析公式和数值积分来计算。在其他情况下，我们可以直接将x的样本生成为随机数。与我们使用从t=0到t=t的路径一步一步地生成数字的情况相比，这种计算获得相同数量的样本所需的时间要少得多。我们可以利用pP ROD作为控制变量，根据以下公式提高估算期内总付款理论价格p的准确性：期内总付款理论价格的估算=以上路径期内总付款理论价格的平均值+期内产品付款的质量分析理论价格- 周期性产品付款的理论价格在路径上的平均值（4.18）。周期性产品的概念还有另一个用途，因为我们无法直接观察类型1性能变量的瞬时值；我们只能观察每个会计期间的周期总和的离散样本。所有模型参数都与瞬时变量有关，但这些参数无法直接估计。设k为可观测会计期间数。给定瞬时变量参数（如波动率或相关性等），我们生成周期s um样本D（h）和的se t：=nP（h）iSUM（t，t），··，P（h）iSUM（tk，tk+1）或∈ 通过MonteCarlo方法计算第h次试验的Nof，并获得一个统计量fD（h）总和hth试验。我们重复该过程H次，得到平均eSUM：=PhfD（h）总和/H同样，我们得到eP棒：=PhfD（h）P杆/H同时，通过上述解析分布公式，我们知道与eP ROD相对应的解析值，用aP ROD表示。

我们可以使用周期乘积的参数作为控制变量，以提高估计周期和参数的准确性：周期和参数的估计=eSUM- eP杆+aP杆。（4.19）因此，我们确定瞬时变量参数，使（4.19）agr的左侧与实际观测值一致。10020 40 60 8010 30 50 70 900.40.30.240.260.280.320.340.360.380.420.440.460.48会计期间数（4.22）样本相关性（4.21）样本相关性总体相关性图1：会计期间数和相关性。估算参数时需要注意许多事项。固定套利利率1≤ 我≤ m和1≤ j≤ n为了简单起见，Siand Pjare表示为S和P。1、当我们估计股票价格与业绩变量之间的相关性时，由于可观察的业绩变量是每个会计期间的期间和【ti，ti+1】（i=1，···，k），我们必须使用相应期间的股票价格的期间和sum（ti，ti+1）：=Zti+1tiSudu（i=1，··，k）。（4.20）当已发行股份数量在这些期间发生变化时，市场资本化的周期金额是适当的变量。2、计算连续两个周期和的比率对数的样本相关关系是正确的logSSUM（ti+1，ti+2）SSUM（ti，ti+1），logPSUM（ti+1，ti+2）PSUM（ti，ti+1）（i=1，···，k- 1） ，（4.21）不是周期和本身（SSUM（ti，ti+1），PSUM（ti，ti+1））（i=1，···，k- 1 ) . （4.22）由于漂移项最终占主导地位，随着计数周期数的增加，后一种相关性收敛为1。图1示出了当计数周期的数量增加时，两个样本相关性的变化，通过20000条路径的蒙特卡罗模拟计算。我们假设总体相关性为0.3。

虽然随着会计期间数的增加，比率对数的样本相关性收敛为0.3的总体相关性，但（4.20）的样本相关性增加与总体相关性无关。3、样本相关性不是无偏估计量。总体相关性无偏估计值的近似值如下所示（Olkin&Pratt 1958）：ρ1+1.- ^ρ2n个- 6.（4.23）式中，^ρ是样本相关性，n是样本数，其中isk- 1在您的情况下。4、当使用股票指数作为最优投资组合时，需要对最优投资组合进行单回归分析；我们可以使用以下公式：股票指数与绩效变量之间的总体相关性的估计×绩效变量波动率的估计股票指数波动率的估计。（4.24）我们必须仔细估计股票指数和绩效变量之间的总体相关性，作为股票价格和绩效变量之间的估计。5、我们使用连续两个周期总和比率对数的样本无偏方差作为绩效变量的总体方差：对数PSUM（ti+1，ti+2）PSUM（ti，ti+1）（i=1···，k- 1) . （4.25）我们使用获得的总体方差的平方根作为绩效变量波动性的n估计。6.

我们通过使用以下等式中的实际结果和市场共识预测的期间总和来估计漂移系数ci，而无需对1类绩效变量进行β调整：Y年期间总和的市场共识预测=Y年的已实现期间总和×exp（ci（Y- Y） ）。（4.26）如果有多个绩效目标期，则可以使用漂移系数的术语结构。5对会计准则的影响股份支付的现行会计准则如下（股份支付，财务会计准则第123（R）号声明）：1。在无绩效条件的情况下，在授予日衡量奖励的公允价值。使用类似于（4.10）的方程式，我们将belowA设定为公允价值：A：=等式S-10TC(5.1)2. 公司判断是否有可能在截止日期满足这些条件。3、当判断为可行时，在剩余服务期内按比例分配公允价值。4、当判定d不可能时，不确认赔偿成本。5、在业绩状况结果已知的情况下，如果未达到业绩状况，则将扣除已确认的补偿成本；在成就的情况下，将立即记录未确认的补偿成本。我们通过使用会计程序来定义新标准，用理论价格p（4.10）来衡量奖励的公允价值，从而比较现行标准和新标准，理论价格p在授予日始终被视为补偿成本。在计算p时，我们使用原始概率分布的漂移，减去贝塔系数乘以最优投资组合的超额预期回报。当原始分布中的目标实现概率小于1且存在额外的向下βa调整时，p将小于a。

此外，p和A仅在原始分布的AchieventProbability为1且beta为零时才重合。在极端情况下，原始分布的目标实现为一或零，不存在基于绩效条件的动机；因此，我们对范围感兴趣，例如从30%到70%。在这种情况下，p可以被视为比A小得多。此外，补偿成本不会发生变化，因为无论性能条件是否满足，补偿成本都会得到认可。例如，考虑到N年的补偿成本和性能条件结果将在第N年已知。现行标准下的薪酬成本只能在第N年发生变化。我们关注的是第N（cN）和第N（N）条中重新确认的共同补偿成本之间的差异- 1轮胎（cN-1). 此外，Ig表示一个变量，当目标实现时，该变量的值假定为1，当目标未实现时，该变量的值假定为0；Ip表示一个变量，当公司在授予日期判断有可能实现目标时，该变量的值假定为1；当公司判断这不可能时，该变量的值假定为0。IFRS 2股份支付基本相同。由于N年的总补偿成本仅取决于目标绩效，我们认为AIG=cN+（N- 1） 中国大陆-1.（5.2）同时，cN-1仅根据公司判断：cN-1=AIpN。（5.3）从（5.2）和（5.3）中，我们得到- 中国大陆-1=AIg- （N）- 1） 中国大陆-1.- 中国大陆-1=AIg- NcN公司-1=A（Ig- Ip）。（5.4）因此，当Ipis 1，cN- 中国大陆-1is-A或0，当Ipis为0时，则为CN- 中国大陆-1为0或A。cN的波动率（标准差）- 中国大陆-1ispα（1- α） A，（5.5），其中α是目标A实现概率。

我们观察到Cn的波动性- 中国大陆-1仅取决于A的大小和目标达成概率α，而不取决于公司的选择。总补偿成本的预期值为αA，这也取决于A和实现目标的概率α，而不取决于公司的选择。现行标准存在以下问题：1。易失性补偿成本：一方面，如（5.5）所示，现行标准下的易失性补偿成本是不可避免的。另一方面，在新标准下，补偿成本是恒定的。2、薪酬成本的过度确认：在实现目标的有利情况下，如果公司能够正确预测该目标的实现，且损益表没有波动影响，则按照现行标准重新确认较大的薪酬成本，而不是新标准。如果p是A的40%，则当前标准rds补偿成本是新标准的2.5倍。在现行标准下，唯一无法实现目标的不利情况是成本低于新标准。3、会计目标不一致：考虑两项奖励。X奖具有较低的目标达成率和许多可行使股份。AwardY有很高的成功概率，可行权股份很少。假设服务提供商对这两个奖项都不感兴趣。衡量奖励的公允价值的目的是衡量服务的公允价值，并将其确认为补偿成本。