有业绩的股份支付的理论价格

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英文标题：
《The Theoretical Price of a Share-Based Payment with Performance
  Conditions and Implications for the Current Accounting Standards》
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作者：
Masahiro Fujimoto
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Although the growth of share-based payments with performance conditions (hereafter, SPPC) is prominent today, the theoretical price of SPPC has not been sufficiently studied. Reflecting such a situation, the current accounting standards for share-based payments issued in 2004 have had many problems. This paper develops a theoretical SPPC price model with a framework for a marginal utility-based price, which previous studies proposed is the price of contingent claims in an incomplete market. This paper\'s contribution is fivefold. First, we restricted the stochastic process to a certain class to demonstrate how to consistently change all variables\' probability distributions, which affect the SPPC payoff. Second, we explicitly indicated not only the stochastic processes of the stock price process and performance variables under the changed probability, but also how the changes in the performance variables\' drift coefficients related to stock betas. Third, we proposed a convenient model in application that uses only a few parameters. Fourth, we provided a method to estimate the parameters and improve the estimation of both the price and parameters. Fifth, we illustrated the problems in current accounting standards and indicated how the theoretical price model can significantly improve them.
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中文摘要：
尽管有业绩条件的股份支付（以下简称SPPC）的增长在今天十分突出，但SPPC的理论价格尚未得到充分研究。2004年颁布的现行股份支付会计准则反映了这种情况，存在许多问题。本文建立了一个理论上的SPPC价格模型，该模型的框架是基于边际效用的价格，之前的研究提出的价格是不完全市场中的未定权益价格。本文的贡献是五倍。首先，我们将随机过程限制在某一类，以演示如何一致地改变所有变量的概率分布，从而影响SPPC的收益。其次，我们明确指出了股票价格过程和绩效变量在概率变化下的随机过程，以及绩效变量漂移系数的变化与股票beta的关系。第三，我们在应用中提出了一个只使用少量参数的方便模型。第四，我们提供了一种估计参数的方法，并改进了价格和参数的估计。第五，我们阐述了现行会计准则中存在的问题，并指出了理论价格模型如何能够显著改善这些问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Theoretical_Price_of_a_Share-Based_Payment_with_Performance_Conditions_and_I.pdf (302.16 KB)

2022-6-10 03:53:36 上传

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关键词：Mathematical Implications Quantitative coefficients Contribution

股票支付的理论价格，以及现行会计准则的绩效条件和含义。ffqr@gmail.comMarch2022年8月22日摘要尽管目前业绩条件下股份支付（以下简称SPPC）的增长非常显著，但尚未对SPPC的理论价格进行充分研究。鉴于这种情况，2004年发布的现行股份支付会计准则存在许多问题。本文建立了一个理论上的SPPC价格模型，该模型的框架是基于基本效用的价格，之前的研究提出的价格是不完全市场中的连续索赔价格。本文的贡献是五倍。首先，我们将随机过程限制在某一类，以演示如何始终如一地改变所有变量的概率分布，从而影响PPC支付效果。其次，我们明确指出了股票价格过程和绩效变量在变化概率下的随机过程，以及绩效变量漂移系数的变化与股票beta之间的关系。第三，我们在应用中提出了一个只使用少量参数的方便模型。第四，我们提供了一种估计参数的方法，并改进了价格和参数的估计。第五，我们举例说明了现行会计准则中存在的问题，并指出了理论价格模型如何能够显著改善这些问题。关键词：股份支付；基于业绩的行权条件；员工股票期权；财务会计准则声明；理论价格；公允价值；不完整的市场。1简介有业绩条件的股份支付（以下简称SPPC）取得了显著增长。

根据Pay Governance LLC的数据，如今，标准普尔500强中有80%以上的公司采用了各种LTI绩效计划。PPC提供了一些收益，如股票或股票期权，当净利润或收益分成等绩效变量达到预定目标时进行投资。然而，与标准股票期权不同，SPPC的理论价格尚未得到充分研究。事实上，2018年5月谷歌学者搜索forhttp://paygovernance.com/considering-performance-stock-optionsa业绩条件与理论价格以及业绩条件与股份支付和理论价值的结合实际上没有产生任何结果。考虑到这种理论上尚未解决的状态，2004年发布的现行股份支付会计准则如下：现行准则下的公允价值在交易日无业绩条件下计量，公允价值是否确认为补偿成本取决于公司是否认为有可能实现目标。当判断可能时，将公允价值作为相关期间的补偿成本进行分配，如果目标最终不可能实现，则立即转回已确认的成本。或者，当这被判断为不可能时，不确认费用，当目标最终可能实现时，立即确认未确认的成本。由于成本确认的不确定性，现行会计准则存在各种问题，授予日的确认由公司判断。这些问题包括不稳定的补偿成本、对共同补偿成本的过度认识、与会计目标的不一致、公司对权益工具奖励的最佳选择的偏差以及困难项目补偿成本的显著波动。

如果我们将该投资者的理论定价作为公允价值，并始终在授予日确认补偿成本，这些问题就会得到根本改善；我们将在第5节对此进行详细讨论。SPPC的支付取决于绩效变量以及股票价格。由于绩效变量无法在市场上交易，SPPC的理论价格是不完全市场中或有权益的理论价格。本文采用基于边际效用的价格，之前的研究假设该价格是不完全市场中未定权益的理论价格（Davis 1997，Hugonnier et al.2 005）。这是一个价格，在这个价格下，投资者只通过与一个单一市场账户交易来最大化其预期效用，而可交易股票不能通过买卖或有目标来提高预期效用。以往与本文主题相关的研究的主要结果如下：1。基于边际效用的价格是完全市场和不完全市场的一般概念，因为它与完全市场中的无套利定价一致。2、基于边际效用的价格是或有薪酬现值的预期值乘以一个随机变量。该随机变量是与预期效用最大化相关的双重问题的最佳解决方案（Hugo nnier et al.2005）。3、一般来说，对偶问题的最优解取决于效用函数和初始财富。然而，之前的工作没有充分明确地研究如何解决对偶问题并获得基于边际效用的价格。这种个人贡献是五倍。1、我们将股票价格和业绩变量的随机过程限制为布朗运动驱动的一类。

通过一个在应用中不受限制的附加假设，我们明确地解决了对偶问题，并揭示了最优解dep既不以效用函数为终点，也不以初始财富为终点，最优解是新概率Q相对于原始概率p的Radon-Nikomd导数。2、然后，我们明确说明了Q下的随机股票价格和业绩变化过程。这些过程的漂移系数等于股票价格β（将在第3节中准确讨论）与股票预期超额回报与原始漂移系数之积的乘积。股票价格的新漂移系数与无风险利率减去股息收益率一致，这与完整市场中的结论相同。这项工作的新发现是，绩效变量漂移系数的变化与股票的beta相关。3、我们证明，通过一个附加的假设（其应用不受限制），我们可以得到一个只使用少数参数的方便模型。由于SPPC的理论价格是Q下的预期值，因此在大多数情况下，我们必须使用蒙特卡罗方法。因此，我们提出了一些控制变量，以提高理论价格的估计精度以及模型中使用的参数。5、我们证明，由于SPPC缺乏理论价格，现有会计准则存在严重问题；采用本文的理论价格作为公允价值，可以大大提高这些标准。本文组织如下：第2节总结了之前针对完全市场和不完全市场的研究，以分析SPPC的价格。

第3节在一些附加假设的情况下，将随机过程限制为类drivenby Brownian运动，我们导出了初等定理作为计算价格的基础。第4节制定了SPPCand，并推导了其理论价格。此外，我们还介绍了一个有用的概念周期积，并解释了它的用法。第5节分析了当前会计标准存在的公共关系问题，以及本文的理论价格模型如何显著改善这些问题。第6节包括：。2先前研究的主要结果首先，我们解释了基于边际效用的价格的概念（Davis 19 97）。假设一个投资者通过将初始财富投资于货币市场账户和股票（或可交易资产）来最大化最终财富的预期效用。此外，假设投资者收到一份以p价格购买或出售某项权利主张的提案。如果投资者可以通过购买一定数量的权利主张来提高预期效用，我们认为p是便宜的。相反，如果投资者可以通过出售一定数量的黄金来提高预期效用，我们认为p是昂贵的。基于投资者预期效用的公平价格p是投资者既不购买也不出售索赔卖空的价格。如果p是这样一个水平，则因购买（或短期出售）少量债权而产生的边际效用等于因投资于可转换资产的财富减少（或增加）而产生的边际效用。这是基于边际效用的价格。在完全市场中，基于边际效用的价格和无套利价格是一致的。债权本身的支付效果并不影响投资者的预期效用，因为它可以通过交易可交易资产完全复制。只有p和无套利价格（复制成本）cmatters之间的差异。

如果p高于（或低于）c，投资者可以使用p- c（或c- p、 分别）以提高预期效用。投资者无法提高预期效用的价格与无套利价格一致。因此，我们制定了以下公式：一个货币市场账户和m个股票性别歧视，可在市场上交易；我们称这些为可交易资产。过滤概率空间上的价格过程Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P是否为自适应半鞅沙Si（1≤ 我≤ m） ，分别为。我们表示byDi（1≤ 我≤ m） ，表示从时间0到时间t的总股息的累积股息过程。我们通过Rm值过程S=（S，···，Sm）表示所有股票价格过程和总累积股息过程esD=（D，···，Dm）, 分别地此外，F=F和F满足通常条件（右连续，F包含F的所有空集）。我们将介绍以下定义：定义2。1（交易策略）。随机过程H，H=（H，…，Hm）是可预测的过程，分别代表amoney市场账户和股票的持有量；因此，我们称H、 H类或是一种交易策略（或是一种策略，简而言之）。定义2.2（容许策略）。一组财富过程，可通过某种策略实现，初始财富x isX（x）：=十、≥ 0; Xt=x+ZtHudSu+ZtHu（dSu+dDu）. （2.1）我们称之为X∈ X（X）或H生成X一个可容许策略。当我们使用Stas作为数字时，我们表示1的相对价格≤我≤ m乘以▄Sit:=Sit/St，相对累计股息过程乘以▄Dit:=Dit/St，以及一组相对财富过程乘以▄X（X）：=X（X）/S。▄=S，······▄Sm和▄D=D，·······Dm. 根据定义，St=1。此外，X（X）：=X≥ 0;Xt=x+ZtHud▄Su+d▄Du.

（2.2）很明显，X∈ X（X）和▄X∈X（X）是自我融资组合；此外，X（X）=xX（1）和▄X（X）=X▄X（1）。定义2.3（最大策略）。我们叫X∈ X（X）在X（X）中，如果X′，则其终端值不能被任何其他策略的值所支配，即如果X′∈ X（X）和XT≤ X′Timply X′=X.definition 2.4（可接受的策略）。如果策略X的分解形式为X=X′，我们将其称为可接受策略X- X′，其中X′是容许策略，X′是最大策略。有关最大和可接受策略的详细信息，请参阅Delbaen&Schachermayer（1997）。我们将概率测度Q称为等价的局部鞅测度，如果它等价于P，并且如果每个X∈~X（1）是Q.Wedenote下的局部鞅，由M构成所有此类测度的族。定义2.5（等效局部鞅测度集）。M：=nQ≈ P每隔▄X∈X（1）是Qo下的本地martinga le。（2.3）我们通过效用函数U表示投资者从终端财富XT>0的效用：（0，∞) → R、 我们假设投资者拥有一些初始财富x，并交易可交易资产，以最大化终端财富的预期效用。该投资者的最大预期效用由u（x）：=supx给出∈X（1）UxSTXT. （2.4）我们称（2.4）为主要问题。然后，我们确定了与（2.4）相关的双重问题。对偶问题的目标函数是U的共轭函数，我们用v表示：（0，∞) → R： V（y）：=supx>0（U（x）- xy）。（2.5）对偶问题的约束集为▄Y（Y）：=Y≥ 0;Y=Y和▄X▄Y=Xt  Yt0≤t型≤这是每X的一个超鞅∈X（1）o.（2.6）dua l问题是一个最小化问题：v（y）：=inf  y∈Y（1）VyYTS-10吨. （2.7）我们现在列出我们将使用的假设。假设2.1。M 6=. （2.8）假设2.2。1、效用函数U是一种严格递增、严格相关且持续可区分的函数。2.

此外，美国满足Inada条件：limx→∞U′（x）=0，limx→0U′（x）=∞. （2.9）假设2.3。辅助∈Y（1）EhYTS-10Ti<∞. （2.10）假设2.4。u（x）<∞ 对于某些x>0。（2.11）之前与本文主题相关的研究结果包括以下引理2.1、2.2和2.3。引理2.1（不完全市场）。根据假设2.1、2.2、2.3和2.4，以下权利要求成立：1。唯一最优解Y*（y）∈ Y（1）到对偶问题（2.7）存在于任何Y>0.2的情况下。如果limx→∞xU′（x）/U（x）<1，则为唯一最优解x*（十）∈ 对于任何X>0的情况，存在主要问题（2.4）的X（1）。如果y=u′（x），我们有u′xx*（x） ST公司ST=yy*（y） 。（2.12）Delbaen&Schachermayer（1994）证明了假设2.1和“无风险消失的免费午餐”是等价的条件。Kramkov和Schachermayer（1999年）使用了投资者的终端相对财富的效用函数。因此，他们将对偶问题表述为infY∈Y（1）超高压yyi、 此外，他们使用suph属性∈D（1）E【h】≤ 1（变量h、D（1）和C（1）如下所述，作为他们论文中使用的变量），用于证明他们论文中的引理3.4和3.7。本文使用了终端名义财富XT的投资者效用函数。因此，双重问题变为infY∈Y（1）超高压yy S-10吨i、 假设3是发挥与suph相同作用的必要条件∈D（1）E【h】≤ 1 ab以上。在他们的论文中∈D（1）E【h】≤1不是一个假设，而是包含常数过程1的C（1）的结果。或者，本文的假设2.3不能从其他假设中推导出来，因此需要附加假设。证据参见Kramkov和Schachermayer（1999）定理2.1和2.2。引理2.2（完整市场）。在假设2.1、2.2、2.3和2.4下，如果一个市场是完整的，即如果M是一个单体，则对于任何x>0的情况，存在主要问题（2.1）的唯一最优解。

如果y=u′（x），我们有u′xx*（x） ST公司ST=ydQdP（2.13），其中dQ/dP是Q相对于P的Radon-Nikodm导数，其中Q是M.Proof的唯一元素。参见Kramkov和Schachermayer（1999）定理2.0。接下来，我们定义了基于边际效用的价格。我们表示在时间T由可测量的随机变量b支付的持续索赔的支付。对于（x，q）∈ R、 我们用X（X，q | B）表示可接受的策略集，其中初始财富为X，最终福利加上qB为非负；具体而言，X（X，q | B）：={X是一种可接受的策略，X=X，XT+qB≥ 0} .（2.14）定义2.6（基于边际效用的价格）。假设索赔B∈ 五十、 x>0。索赔p的价格是基于边际效用的B初始财富x ifE的价格【U（XT+qB）】≤ u（x）表示q∈ R十、∈ X（X- pq，q | B）。（2.15）右侧是可交易资产的最大预期效用，左侧是在将pq投资于可交易资产时的预期效用。公式（2.15）表明，如果p是基于边际效用的价格，无论投资组合中增加了多少q，投资者都无法提高预期效用。下面的引理2.3将预期效用最大化问题与未定权益的价格结合起来。引理2.3。假设假设假设2.1、2.2、2.3和2.4保持不变，并且v（y）<∞.让X∈ X（1）作为任意极大策略。如果Y*（y） X是一个统一整数鞅，一个未定权益B，如| B |≤ AXT对于某些常数a>0，具有唯一的基于边际效用的价格p（B | x）。该p（B | x）由以下等式给出：p（B | x）=EhY*T（y）BS-10Ti。（2.16）证明。见Hugonnier等人。