关于等价凸集的鞅和超鞅

基本事件的圆形空间。在这一小节中，我们考虑了一个任意的基本事件空间，并证明了非负超鞅的可选分解。设F是初等事件集子集的σ-代数Ohm 让Fn Fn+1 F是σ-代数的增量集，其中F={/0，Ohm}. 表示可测空间上的一组等价测度{Ohm, F}。假设σ-代数Fn，n=1，∞, F相对于任何测度P都是完备的∈ M、 此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。设mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，∞.考虑差值dn（ω）=mn-明尼苏达州-我们假设每个ω∈ Ohm 属于σ-代数Fn，n=1，∞,P（{ω}）=0，ω∈ Ohm, P∈ M、 对于随机值dn（ω），不存在超过P（Ans）>0的实数dnssuch的可数集，其中Ans={ω∈ Ohm, dn（ω）=dns}。很明显，Ani∩ Anj=/0，i6=j.假设P(Ohm \\∞Si=1Ani）>0。介绍前两个子集I-n={ω∈ Ohm, dn（ω）≤ 0}，I+n={ω∈ Ohm, 集合{ω]的dn（ω）>0}∈ Ohm, |dn（ω）|<∞}.表示mnσ-代数Fn上测度集M的收缩。将度量ρn（P，P）=supBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，∞, （117）其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（117）中的supremum覆盖了集合的所有分区Ohm, 属于σ-代数Fn。定义5。关于可测空间{Ohm, F}如果每1，我们称之为完备的等价测度M的凸集≤ n<∞ 度量集mn的度量（117）中的闭包包含m度量spnω，ω（A）=0,ω,ω∈ Ohm \\ A、 dn（ω）-dn（ω）+dn（ω），ω∈ A、 A∩ {ω} = /0,-dn（ω）-dn（ω）+dn（ω），ω∈ Ohm \\ A、(Ohm \\ （A）∩ {ω} =ω为0（118）∈ 我-nandω∈ I+n引理12。

设一个等价测度M的凸族是一个完整族，该集包含一个元素ξ6=1。对于每个非负有界Fn可测随机值ξn，存在一个实数αnsuch，ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） ，n=1，∞. （119）证明。在集合“Mn”上，函数φ（P）=ROhmξndP是相对于度量ρn（P，P）的连续值，其中“mn”是该度量中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈MnZ公司OhmξndP=支持∈(R)MnZOhmξndP（120）有效。表示fn（ω）=ξn（ω）supP∈MnEPξn（ω）。ThenEPfn（ω）≤ 1，P∈百万。（121）最后的不等式可以写在formZI中-fn（ω）dP+ZI+fn（ω）dP≤ 1，P∈百万。（122）度量（118）的不等式（122）如下fn（ω）dn（ω）-dn（ω）+dn（ω）+-dn（ω）-dn（ω）+dn（ω）fn（ω）≤ 1,ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（123）从（123）我们得到不等式fn（ω）≤ 1 +1 - fn（ω）-dn（ω）dn（ω），（124）dn（ω）<0，dn（ω）>0，ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（125）两种情况是可能的：a）对于所有ω∈ 我-n、 fn（ω）≤ 1.b） 存在ω∈ 我-确保fn（ω）>1。首先，让我们考虑一下情况a）。因为不等式（124）对每个1都有效- fn（ω）-dn（ω），如dn（ω）<0和fn（ω）≤ 1,ω∈ 我-n、 那么如果表示αn=inf{ω，dn（ω）<0}1- fn（ω）-dn（ω），（126）我们有0≤αn<∞ andfn（ω）≤ 1+αndn（ω），dn（ω）>0，ω∈ I+n.（127）根据αnw的定义，我们得到不等式fn（ω）≤ 1+αndn（ω），dn（ω）<0，ω∈ 我-n、 （128）现在，对于某些ω，如果dn（ω）=0∈ 我-n、 那么在这种情况下fn（ω）≤ 所有这些不等式都给出fn（ω）≤ 1+αndn（ω），ω∈ 我-n∪ I+n.（129）考虑案例b）。从不等式（124）中，我们得到fn（ω）≤ 1.-1.- fn（ω）dn（ω）dn（ω），（130）dn（ω）<0，dn（ω）>0，ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（131）最后给出的不等式1- fn（ω）dn（ω）≤ inf{ω，dn（ω）>0}dn（ω）<∞, dn（ω）<0，ω∈ 我-n、 （132）让我们定义αn=sup{ω，dn（ω）<0}1- fn（ω）dn（ω）<∞. 然后从（130）得到fn（ω）≤ 1.-αndn（ω），dn（ω）>0，ω∈ I+n.（133）来自αnwe havefn（ω）的定义≤ 1.-αndn（ω），dn（ω）<0，ω∈ 我-n

（134）不等式（133），（134）给出fn（ω）≤ 1.-αndn（ω），ω∈ 我-n∪ I+n.（135），自集合I起-n∪ 证明了I+nhas概率1，引理12。定理12。假设等价测度M的凸集是一个完备的凸集，并且Lemm a 12的条件是有效的。然后每个非负超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度m的凸集，满足条件SFMFM-1.≤ 厘米<∞, m=1，∞, （136）是局部正则的，其中Cm，m=1，∞, 是常量。证据根据不等式（136），可以得出以下结论：∈MEPfm<∞, m=1，∞. 考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理12ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn.（137）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，∞. 自supP以来∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，∞. （138）定理7和不等式（138）证明了定理12。结果1。如果超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的完整凸集m满足条件0≤ fm公司≤ Dm，m=1，∞, 其中Dm<∞ 都是常数，那么它就是局部正则的。证据超鞅{fm+ε，fm}∞m=0，ε>0，为非负且满足条件fm+εfm-1+ε≤Dm+ε=Cm<∞, m=1，∞. （139）从定理11出发，证明了超鞅{fm+ε，fm}的局部正则性的有效性∞因此，对于超鞅{fm，fm}，m=0∞m=0局部规则性也是正确的。6、优超鞅的Lo ca l正则性。在这一部分中，我们给出了相对于完备等价测度集的优化超鞅是局部正则超鞅的初步证明。定理13。关于可测空间{Ohm, F}用过滤函数，设集合M是F上等价测度的完整凸集，集合a包含元素ξ6=1。然后每个有界超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的完备凸集m是局部正则集。证据

从定理13的条件来看，存在一个常数0<C<∞ 使| fm |≤ C、 m=1，∞. 考虑超鞅{fm+C，fm}∞m=0。然后0≤ fm+C≤ 2C。由于结果1，对于超鞅{fm+C，fm}∞m=0局部规则性为真。所以，同样的语句对于超鞅{fm，fm}也是有效的∞m=0。证明了定理13。下一个定理被类似地证明为定理13。定理14。关于可测空间{Ohm, F}利用过滤函数，设集合M是F上等价测度的完整凸集，且集合包含元素ξ6=1。然后是一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于满足条件| fm |的等价测度m的完备凸集≤ Cξ，fm+Cξ≤ C、 m=1，∞,ξ∈ A、 （140）对于某些常数0<C，C<∞, 是当地的常规产品。数学金融应用。根据推论3，我们可以对未定权益的公允价格fn给出以下定义，该定义与等价度量M的对流集有关。L et fN，N<∞, 是一个FN可测的可积随机值，相对于等价测度M的凸集，使得对于某些0≤α< ∞ 和ξ∈ AP（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0) = 1. （141）表示Gα={α∈ [0,α], ξα∈ A、 P（fN-αEP{ξα| FN}≤ 0) = 1}. 我们称f=infα∈Gαα（142）未定权益fn相对于等价测度M凸集的公平价格，如果存在ζ∈ Aanda序列αn∈ [0，α]，ξαn∈ A、 满足条件：αn→ f、 ξαn→概率ζ，如n→ ∞, 和此类（fN-αnEP{ξαn | FN}≤ 0）=1，n=1，∞. （143）定理15。设集合Abe相对于每个测度P一致可积∈ M、 假设对于非负FN可测可积未定权益FN，N<∞, 相对于每个度量值P∈ M存在α<∞ 和ξ∈ Asuch茅草（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0）=1，（144）则存在未定权益Fn的公允价格。对于不平等支持∈MEPfN公司≤ f（145）有效。

如果fN≥ 0和一个超鞅{fm=ess supP∈MEP{fN | Fm}，Fm}∞m=0是本地常规值，则f=supP∈MEPfN。证据如果f=α，则证明定理15。假设f<α。然后存在一个序列αn→ f、 和ξαn∈ A、 n个→ ∞, 这样P（fN-αnEP{ξαn | FN}≤ 0）=1，P∈ M、 （146）由于一致可积性，Awe获得1=limn→∞ZOhmξαndP=ZOhmζdP，P∈ M、 （147）再次使用a的一致可积性，并在（146）中达到极限，我们得到p（fN- fEP{ζ| FN}≤ 0）=1，P∈ M、 （148）来自不等式fN- fEP{ζ| FN}≤ 0它遵循不等式（145）。如果fN≥ 0和{fm=ess supP∈MEP{fN | Fm}，Fm}Nm=0是局部正则超鞅，thenfm=Mm- gm，m=0，N，g=0，（149），其中鞅{Mm，Fm}Nm=0是非负的，EPMm=supP∈MEPfN。引入一个随机值ξ=MN^f，其中^f=supP∈MEPfN。那么ξ属于集合AandP（fN-^fEP{ξ| FN}≤ 0) = 1. （150）由此得出f=supP∈MEPfN。让我们证明，对于风险资产和非风险资产的某些演化，fis是一个公平的价格。假设风险资产的演化由Sm=fMP{ζ| Fm}，m=0，N定律给出，非风险资产的演化由公式Bm=1，m=0，N给出。如上所述，对于f=infα∈Gαα存在ζ∈ A确保不平等fn- fEP{ζ| FN}≤ 0（151）有效。让我们把Fm=fEP{ζ| Fm}，P∈ M、 （152）英尺=0，m<N，fN- fEP{ζ| Fm}，m=N.（153）很明显，Fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，N。因此，超鞅fm+(R)fm=fEP{ζ| Fm}，m<N，fN，m=N，（154）是局部正则的。很明显，fm+(R)fm=Mm- gm，m=0，N，（155），其中mm=fEP{ζ| Fm}，m=0，N，（156）gm=0，m=0，N- 1，（157）gN=fEP{ζ| FN}- fN。（158）对于鞅{Mm，Fm}Nm=0，表示形式Mm=f+m∑i=1HiSi，m=0，N，（159）是有效的，其中Hi=1，i=1，N。让我们考虑一下交易策略π={Hm，\'Hm}Nm=0，其中\'H=f，\'Hm=Mm- HmSm，m=1，N，（160）’H=0，’Hm=Hm，m=1，N。

（161）很明显，\'Hm，\'Hmare Fm-1可测量且交易策略π满足自我融资条件(R)嗯+\'HmSm-1= 0. （162）此外，自筹交易策略π对应的资本由公式xπm=\'Hm+\'HmSm=Mm给出。（163）由此，Xπ=f。进一步，XπN=fN+gN≥ fN。（164）最后证明定理15。根据（148）和推论3，定理16如下。定理16。假设集合A仅包含1≤ k<∞ 线性独立元素ξ。ξk.如果存在ξ∈ T和α≥ 0这样P（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0）=1，P∈ M、 （165）式中t={ξ≥ 0，ξ=k∑i=1αiξi，αi≥ 0，i=1，k，k∑i=1αi=1}，（166）则为未定权益的公允价格fN≥ 存在0，其中fn是相对于每个度量P可测量和可积的∈ M、 N<∞.证据证明是显而易见的，因为集合T相对于M推论4中的每个测度都是一致可积的。关于可测空间{Ohm, F}对于过滤Fmon，设{fm，fm}Nm=0是相对于等价测度M的凸集的非负局部正则超鞅∈ M、 则存在未定权益的公平价格fn。证据根据超鞅{fm，fm}Nm=0的局部正则性，我们得到了fm=Mm- gm，m=0，N。因此，P（fN-αξ≤ 0）=1，其中α=EPMN，P∈ M、 ξ=MNEPMN。最后，证明了定理15的条件满足。推论4得到了证明。关于概率空间{Ohm, F，P}，让我们考虑一个风险资产的演化，由{Sm}Nm=0定律给出，其中smi是一个随机值，取R+中的值。假设Fmis是对{Ohm, F，P}和Smis为可测随机值。我们假设无风险资产按照Bm=1，m=1，N的规律演化。表示Me（S）的所有鞅测度集等价于测度P。

我们假设这类鞅测度的集合Me不是空的，并且有效市场是非完全的，例如参见[15]、[17]、[18]、[19]。所以，我们得到了eq{Sm | Fm-1} =Sm-1，m=1，N，Q∈ Me（S）。（167）下一个定理证明了定义6的正确性。定理17。设未定权益FN是关于Me（S）的每个度量的FN可测可积随机值，定理16的条件满足ξi=SiS，i=0，N。然后存在自融资交易策略π资本演化{Xπm}Nm=0，其中是相对于Me（S）的每个度量的鞅，满足条件Xπ=f，XπN≥ fN，其中fis是或有权的公平价格fN。证据根据定理15、16，对于f=infα∈Gαα存在ζ∈ A确保不平等fn- fEP{ζ| FN}≤ 0（168）有效。让我们把Fm=fEP{ζ| Fm}，P∈ Me（S），（169）fm=0，m<N，fN- fEP{ζ| Fm}，m=N.（170）很明显'Fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，N。因此，超鞅fm+(R)fm=fEP{ζ| Fm}，m<N，fN，m=N（171）是局部正则的。很明显，fm+(R)fm=Mm- gm，m=0，N，（172），其中mm=fEP{ζ| Fm}，m=0，N，（173）gm=0，m=0，N- 1，（174）gN=fEP{ζ| FN}- fN。（175）根据定理20，对于鞅{Mm}Nm=0，表示形式Mm=f+m∑i=1HiSi，m=0，N，（176）有效。让我们考虑一下交易策略π={Hm，\'Hm}Nm=0，其中\'H=f，\'Hm=Mm- HmSm，m=1，N，（177）’H=0，’Hm=Hm，m=1，N.（178）很明显，’Hm，’Hmare Fm-1-可测量的和交易策略π满足自我融资条件(R)嗯+\'HmSm-1= 0. （179）此外，自筹交易策略π对应的资本由公式xπm=\'Hm+\'HmSm=Mm给出。（180）由此，Xπ=f。此外，XπN=fN+gN。（181）因此XπN≥ fN。

证明了定理17。在下一个定理中，我们假设风险和非风险资产的演化产生了不完全市场[15]、[17]、[18]、[19]、[20]，也就是说，鞅测度集包含多个元素。定理18。让风险资产的演化{Sm}Nm=0满足条件P（Dm≤ sm≤ Dm）=1，其中常数Dim满足不等式Dm-1.≥ Dm>0，Dm-1.≤ Dm<∞, m=1，N，并让无风险资产演化为{Bm}Nm=0，Bm=1，m=0，N定律给出的确定性资产演化。支付函数fN=（SN）的标准欧式看涨期权的公平价格- K） +由公式F=（S（1）给出-KDN），K≤ DN，0，K>DN。（182）支付函数为fN=（K）的标准欧式看跌期权的公允价格-SN）+由公式F给出=K- DN，K≥ DN，0，K<DN。（183）证明。在定理18条件中，方程组EPζ=1，ζ≥ 0，溶液ζi=SiS，i=0，N。可以证明α=砂ζN=SNS，因为（SN- K） +十亿-αSNS≤ 0,ω∈ Ohm. （184）让我们证明所需的公式。考虑不等式（SN- K）-αN∑i=0γiSiS≤ 0,γ∈ 五、 （185）式中，V={γ={γi}Ni=0，γi≥ 0，N∑i=0γi=1}。或，序号1.-αγNS- K-αN-1.∑i=0γiSiS≤ 0。（186）假设α满足不等式1-αS>0。（187）如果α额外满足等式DN1.-αγNS- K-αN-1.∑i=0γiDiS=0，（188）那么对于所有ω∈ Ohm （186）有效。从（188）中，我们得到αα=S（DN- K） （DNγN+N-1.∑i=0γiDi）。（189）如果DN- K>0，则为infγ∈VS（DN- K） （DNγN+N-1.∑i=0γiDi）=S（DN- K） DN，（190）自DN起≥ 迪。从这里我们得到f=S1.-KDN公司. （191）很明显，α=F满足了不平等（187）。如果DN- K≤ 0，然后是序号- K≤ 从（185）我们可以把α=0。那么，公式（186）对所有ω都有效∈ Ohm.让我们证明标准欧式看跌期权的公式（183）。If序号≤ 很明显，α=K，ζ=1，因为（K- 序号）-α≤ 0,ω∈ Ohm. （192）让我们证明所需的公式。考虑不等式（K- 序号）+-αN∑i=0γiSiS≤ 0,γ∈ 五、

（193）或，对于SN≤ K-序号1+αγNS+ K-αN-1.∑i=0γiSiS≤ 0。（194）若α是等式的解-DN1+αγNS+ K-αN-1.∑i=0γiDiS=0，（195）然后对于所有ω∈ Ohm （194）有效。从（195）中，我们得到αα=S（K- DN）N∑i=0γiDi。（196）因此，infγ∈VS（K- DN）N∑i=0γiDi=K- DN，（197）自Di起≤ S、 i=1，N，D=S。从这里我们得到f=K- DN。（198）如果DN- K>0，然后是SN- K>0，从（193）我们可以把α=0。那么，（194）对所有ω都有效∈ Ohm. 证明了定理18。8、一些辅助结果。关于可测空间{Ohm, F}有了过滤fn，让我们考虑一个等价测度M的凸集。假设ξ，ξdis是属于集合a的一组随机值。引入相对于一组测度M{Sin，Fn}的d鞅∞n=0，i=1，d，其中Sin=EP{ξi | Fn}，i=1，d，P∈ M、 用Me（S）表示一组等价于测度P的鞅测度∈ M、 也就是Q∈ Me（S）ifEQ{Sn | Fn-1} =序号-1，等式| Sn |<∞, Q∈ Me（S），n=1，∞. （199）很明显，M Me（S）和Me（S）是一个凸集。表示来自Me（S）的某个固定度量，并设L（Rd）为概率空间上的一组有限值随机值{Ohm, F，P}，取Rd中的值。设Hbe为一组有限值可预测过程H={Hn}Nn=1，其中Hn={Hin}di=1取RdandHnis Fn中的值-1-可测随机向量。引入一组随机值skn={ξ∈ L（R），ξ=N∑k=1hHk，滑雪，H∈ H} ，N<∞, (200)Sk=Sk- Sk公司-1，hHk，Ski=d∑s=1Hsk（Ssk- Ssk公司-1). （201）引理13。随机值集是有限值随机值集L（R）中与测度P收敛性相关的闭子集∈ M、 引理13的证明参见，例如，[17]。考虑a子类={H∈ H、 | | Hn | |<∞, n=1，n}（202），其中| | Hn | |=supω∈Ohmd∑i=1 |欣|。设KNbe为集合KNKNKN={ξ的子集∈ L（R），ξ=N∑k=1hHk，滑雪板，H∈ 五} 。

（203）也表示setC={k- f，k∈ KN，f∈ L∞+(Ohm, F，P）}，（204），其中L∞+(Ohm, F，P}是一组有界非负随机值。设C为L中C的闭包(Ohm, F，P）指标。引理14。如果ζ∈\'C且EPζ=0，则对于ζ，表示ζ=N∑k=1hHk，Ski（205）对某个有限值可预测过程H={Hn}Nn=1有效。证据如果ζ∈ KN，然后证明引理14。假设ζ∈\'C，则存在序列kn- fn，kn∈ KN，fn∈L∞+(Ohm, F，P）使| | kn- fn公司-ζ| | P→ 0，n→ ∞, 式中| | g | | P=EP | g |。自| EP（kn- fn公司-ζ)| ≤ ||千牛- fn公司-ζ| | P，我们有EPfn≤ ||千牛- fn公司-ζ| | P。从这里我们得到| | kn-ζ| | P≤ 2 | | kn- fn公司-ζ| | P.因此，kn→ζ通过测量。在引理13的基础上，a setKN={ξ∈ L（R），ξ=N∑k=1hHk，滑雪板，H∈ H} ，（206）hHk，Ski=d∑i=1Hik（Sik- 锡克-1） （207）是L（R）相对于测度P收敛的闭子集。从这一事实出发，我们得到了引理14的证明，因为存在有限值可预测过程H∈ h对于ζ，表示ζ=N∑k=1hHk，Ski（208）有效。定理19。设等式|ζ|<∞, Q∈ Me（S）。如果每个Q∈ Me（S），EQζ=0，则存在有限值可预测过程H，因此对于ζ，表示ζ=N∑k=1hHk，Ski（209）有效。证据如果ζ∈那么（209）来自引理14。所以，letζ不属于“C”。如引理14所示，“C”是L中C的一个闭式(Ohm, F，P）固定测度P的度量。集合C是L中的闭凸集(Ohm, F，P）。考虑由一个元素ζ组成的另一个凸闭集。由于Han–Banach定理，存在一个线性连续泛函l，它属于l∞(Ohm, F，P），实数α>β，使得l（ξ）=ZOhmξ（ω）q（ω）dP，q（ω）∈ L∞(Ohm, F，P），（210）和不等式l（ζ）>α，l（ξ）≤β,ξ∈“”C，有效。因为C是一个凸锥，我们可以把β=0。从条件l（ξ）≤ 0,ξ∈我们有l（ξ）=0，ξ∈ 千牛∩ L(Ohm, F，P）。来自（210）和夹杂物C C-L∞(Ohm, F，P）我们有q（ω）≥ 0