关于等价凸集的鞅和超鞅

在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。对于随机值ξ∈ A、 随机过程{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、 是相对于等价测度凸集的局部正则鞅。设P，Pnbe是M中测度的某个子集。表示等价测度的Mna凸集mn={P∈ M、 P=n∑i=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，n∑i=1αi=1}。（44）由于引理8，{Mm，Fm}∞m=0是相对于m测度集Mn的鞅，其中'Mm=ess supP∈MnEP{ξ| Fm}，ξ∈A、 让我们考虑一个任意测度P∈ M和letMPn={P∈ M、 P=n∑i=0αiPi，αi≥ 0，i=0，n，n∑i=0αi=1}。（45）然后{MPm，Fm}∞m=0，其中“MPm=ess supP”∈MPnEP{ξ| Fm}，是相对于测度集MPn的鞅。很明显，嗯≤(R)MPm，m=0，∞. （46）由于EP'Mm=EP'MPm=1，m=0，∞, P∈ Mn，不等式（46）给出“Mm=”MPm。类似地，EP{ξ| Fm}≤(R)MPm。从等式EPEP{ξ| Fm}=EP'MPm=1，我们得到EP{ξ| Fm}='MPm='Mm。由于度量值是任意的，它意味着{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于m的所有测度的鞅。根据定理1，它是一个局部正则超鞅，随机过程'gm=0，m=0，∞. 证明了定理3。定理4。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。如果{fm，fm}∞m=0是一个满足条件的自适应随机过程F m≤ fm公司-1，EPξ| fm |<∞, P∈ M M=1，∞,ξ∈ A、 （47）然后随机过程{fmEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、 （48）是相对于等价测度凸集的局部正则超鞅。根据定理3，随机过程{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的鞅。因此，fm-1EP{ξ| Fm-1} - EP{fmEP{ξ| Fm}| Fm-1} =EP{（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}| fm-1} ，m=1，∞.

（49）因此，如果将“gm=（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}，m=1，∞, 然后是“gm”≥ 0，它是Fm可测量且EP'gm≤ EPξ（| fm-1 |+| fm |）<∞. 它证明了所需的陈述。推论1。如果fm=α，m=1，∞,α∈ R、 ξ∈ A、 然后{αEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是局部正则鞅。假设ξ=1，则{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的局部正则超鞅。表示f适应过程集f={f={fm}∞m=0，P（| fm |<∞) = 1，P∈ M、 fm公司≤ fm公司-1}. （50）每ξ∈ 我们可以引入一组自适应过程slξ={f={fmEP{ξ| Fm}}∞m=0，{fm}∞m=0∈ F、 EPξ| fm |<∞, P∈ M} ，（51）andV=[ξ∈ALξ。（52）推论2。集合K中的每个随机过程，其中K=（m∑i=1Ci'fi，'fi∈ 五、 Ci公司≥ 0，i=1，m，m=1，∞), （53）是相对于可测空间上等价测度M的凸集的局部正则超鞅{Ohm, F}带有过滤功能。证据证据很明显。定理5。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。假设{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的非负一致可积超鞅，则它是局部正则超鞅的充要条件属于集K证明。必然性很明显，如果{fm，fm}∞m=0属于K，则是局部正则超鞅。足够的能力。假设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后存在非负adaptedprocess{gm}∞m=1，EP？gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，因此fm=Mm-m级∑i=1？gi，m=0，∞. （54）然后Mm≥ 0，m=0，∞, EPMm<∞, P∈ M、 自0<EPMm=f<∞ 我们有EPm∑i=1？gi<f。让我们把g∞=林姆→∞m级∑i=1？gi。利用fm的一致可积性，我们可以通过等式ep（fm+m）达到极限∑i=1？gi）=f，P∈ M、 （55）作为M→ ∞. 在最后一个等式中传递到极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g∞) = f、 P∈ M

（56）考虑一个随机值ξ=f∞+g∞f、 那么EPξ=1，P∈ M、 从这里我们得到ξ∈ AandMm=fEP{ξ| Fm}，m=0，∞. （57）让我们把“fm=-m级∑i=1？gi。很容易看出，自适应随机过程f={fm，fm}∞m=0属于F。因此，对于超鞅F={fm，fm}∞m=0表示f=\'f+\'f有效，其中\'f={fEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0属于Lξ，ξ=f∞+g∞fand fm=f，m=0，∞. 对于ξ=1的'fw，同样有效。这意味着f属于集合K。证明了定理5。定理6。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。假设超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度凸集m满足条件| fm |≤ Cξ，m=1，∞,ξ∈ A、 0<C<∞, （58）那么，它是局部正则的充要条件是它属于集合K证明。这种必要性是显而易见的。足够的能力。假设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后存在一个非负adaptedrandom进程{gm}∞m=1，EP？gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，EP | Mm |<∞, m=1，∞, P∈ M、 此类厚度=Mm-m级∑i=1？gi，m=0，∞. （59）不等式fm+Cξ≥ 0，m=1，∞, 给出不等式Fm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞. （60）从不等式（58）可以看出，超鞅{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的一致可积鞅{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0相对于等价测度的凸集m也是一致可积的。然后Mm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞. 因为0<EP[毫米+CEP{ξ| Fm}]=f+C<∞ 我们有EPm∑i=1？gi<f+C。让我们把g∞= 林姆→∞m级∑i=1？gi。利用fmandm的一致可积性∑i=1？GI我们可以通过质量EP（fm+m）中的极限∑i=1？gi）=f，P∈ M、 （61）作为M→ ∞. 在最后一个等式中传递到极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g∞) = f、 P∈ M

（62）考虑一个随机值ξ=f∞+Cξ+g∞f+C≥ 0，则EPξ=1，P∈ M、 从这里我们得到ξ∈ a对于超鞅f={fm，fm}∞m=0表示形式Fm=fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}，m=0，∞, （63）有效，其中fm=-C、 fm=f+C，fm=-m级∑i=1？gi，m=0，∞,ξ= 1. 从上一个表示可以看出，超鞅f={fm，fm}∞m=0属于集合K。证明了定理6。推论3。设fN，N<∞, 是FN可测可积随机值，支持∈MEP | fN |<∞, 让α存在∈ R如此-αMN+fN≤ 0,ω∈ Ohm,其中{Mm，Fm}∞m=0={EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，ξ∈ A、 然后是一个超鞅{fm+(R)fm}∞m=0是与等价测度m的凸集相关的局部正则one，其中fm=αMm，（64）(R)fm=0，m<N，fN-αMN，m≥ N、 （65）证明。很明显，fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，∞. 因此，超鞅fm+(R)fm=αMm，m<N，fN，m=N，fN-αMN＋αMm，m＞N（66）是相对于等价测度凸集m的局部正则测度。证明了推论3。5、超鞅相对于等价测度完备凸集的可选分解。在这一节中，我们引入了等价测度完备集的概念，并证明了非负上鞅是关于这组测度的局部正则超鞅。为此，我们需要下一个辅助声明。定理7。非负超鞅{fm，fm}局部正则性的充要条件∞m=0相对于等价测度的凸集m，存在Fm可测随机值ξm∈ A、 m=1，∞, 这样的FMFM-1.≤ξm，EP{ξm | Fm-1} =1，P∈ M、 M=1，∞. （67）证明。必要性。在不丧失一般性的情况下，我们假设fm≥ a对于某个实数a>0。真的，如果不是这样，那么我们可以考虑超鞅{fm+a，fm}∞m=0。

因此，让{fm，fm}∞m=0be是一个非负局部正则超鞅。然后存在一个非负适应随机过程{gm}∞m=0，g=0，以便支持∈MEPgm<∞,fm公司-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，P∈ M、 M=1，∞. （68）设ξm=fm+gmfm-1，m=1，∞. 然后ξm∈ 从等式（68）我们得到EP{ξm | Fm-1} =1，P∈M、 M=1，∞. 很明显，不等式（67）是有效的。效率。假设定理7的条件是有效的。然后fm≤ fm公司-1+fm-1（ξm- 1). 简介表示gm=- 调频+调频-1ξm.然后gm≥ 0，支持∈MEPgm公司≤ 支持∈MEPfm+支持∈MEPfm公司-1< ∞, m=1，∞. 最后的等式和不等式givefm=f+m∑i=1fi-1（ξi- 1) -m级∑i=1gi，m=1，∞. （69）让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中Mm=f+m∑i=1fi-1（ξi- 1). 然后EP{Mm | Fm-1} =毫米-1，P∈ M、 M=1，∞. 证明了定理7。5.1. 基本事件的有限集合空间。在本小节中，我们假设基本事件空间Ohm 是有限的，即N=|Ohm| < ∞, 给出了超鞅相对于等价测度完备凸集的可选分解的一个新证明。这个证明没有使用[16]中的拓扑参数。设F是集合子集的一个代数Ohm 让Fn Fn+1 F是代数的增集，其中F={/0，Ohm}, FN=F。表示可测空间上等价测度的凸集{Ohm, F}。此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。很明显，每个代数Fn都是由setsAni生成的，i=1，Nn，Ani∩ Anj=/0，i 6=j，Nn<∞,NnSi=1Ani=Ohm, n=1，n。设mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，n。然后对于mn，表示mn=Nn∑i=1mniχAni（ω），n=1，n，（70）有效。考虑差值dn（ω）=mn- 明尼苏达州-1、Thendn（ω）=Nn∑j=1dnjχAnj（ω）=∑j∈我-ndnjχAnj（ω）+∑j∈I+ndnjχAnj（ω），（71）∑j∈我-nχAnj（ω）+∑j∈I+nχAnj（ω）=1，（72），其中dnj≤ 0，作为j∈ 我-n、 对于j，dnj>0∈ I+n。

从等式（71），（72）我们得到了epdn（ω）=∑j∈我-ndnjP（Anj）+∑j∈I+ndnjP（Anj）=0，P∈ M、 （73）∑j∈我-nP（Anj）+∑j∈I+nP（Anj）=1，∈ M、 （74）表示代数Fn上测度集M的收缩。将度量ρn（P，P）=maxBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，n，（75），其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（75）中的最大值在集合的所有分区上Ohm, 属于σ-代数Fn。定义3。关于可测空间{Ohm, F}，一个等价测度M的凸集，我们称之为完备if，对于every1≤ n≤ N度量（75）中度量集mn的闭包包含度量sni j（A）=0，A 6=Ani，Anj，dnj-dni+dnj，A=Ani，-dni公司-dni+dnj，A=Anj（76），对于每个i∈ 我-nand j∈ 引理10。设一个等价测度M的凸族是一个完整族，该集包含一个元素ξ6=1。然后对于每个非负Fn可测随机值ξn=Nn∑i=1Cniχani存在实数αnsuchthatn∑i=1CniχAnisupP∈MnNn公司∑i=1英寸（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） ，n=1，n.（77）证明。在集合“Mn”上，函数φ（P）=Nn∑i=1CniP（Ani）是连续的，其中“mn”是度量ρn（P，P）中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈MnNn公司∑i=1CniP（Ani）=供应∈(R)MnNn∑i=1CniP（Ani）（78）有效。表示fni=CnisupP∈MnNn公司∑i=1CniP（Ani），i=1，Nn。ThenNn公司∑i=1fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（79）对于那些∈ 我-对于哪个dni<0，哪些j∈ 对于dnj>0的I+n，不等式（79）如下fnidnj-dni+dnj+-dni公司-dni+dnjfnj≤ 1，dni<0，i∈ 我-, dnj>0，j∈ I+n.（80）从（80）中我们得到不等式fnj≤ 1 +1 - fni公司-dnidnj，dni<0，i∈ 我-n、 dnj>0，j∈ I+n。

（81）因为不等式（81）对每个1都有效- fni公司-dni，当dni<0时，由于这类元素的集合是有限的，那么如果todenoteαn=min{i，dni<0}1- fni公司-dni，（82）那么我们有FNJ≤ 1+αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（83）根据αnw的定义，我们得到了不等式fni≤ 1+αndni，dni<0，i∈ 我-n、 （84）如果某些i的dni=0∈ 我-n、 那么在这种情况下，fni≤ 所有这些不等式都给出了fni≤ 1+αndni，i∈ 我-n∪ I+n.（85）乘上χani不等式（85）并对所有I求和∈ 我-n∪ 我们得到了所需的不等式。证明了引理10。定理8。假设引理10的条件是有效的。则每个非负超鞅{fm，fm}Nm=0相对于等价测度M的凸集，满足条件sfnfn-1.≤ Cn<∞, n=1，n，（86）是局部正则的，其中Cn，n=1，n是常数。证据考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理10ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn，n=1，n.（87）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，n.自supP∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，n.（88）定理7和不等式（88）证明了定理8。定理9。关于基本事件的有限空间{Ohm, F}如果集包含ξ6=1，则相对于等价测度M的完备凸集的每个超鞅{fm，fm}Nm=0都是局部正则的。证据很明显，每个超鞅{fm，fm}Nm=0是有界的。因此，存在一个常数C>0，使得3c>fm+C>C，ω∈ Ohm, m=0，N。由此可知，超鞅{fm+C，fm}Nm=0是非负的，并且满足条件fn+Cfn-1+C≤ 3，n=1，n.（89）这意味着满足定理8的条件。证明了定理9。定理10。L et M是可测空间上等价测度的完备凸集{Ohm, F}上面有一个过滤器。

假设ξ∈ A、 ξ6=1，mn=EP{ξ| Fn}是相对于测度集M的鞅。设Mabe是相对于任何测度P绝对连续的所有鞅测度集∈ M、 然后包含'M Mais有效，其中M是度量ρN（P，P）中度量值M集合的闭包，定义见（75）。证据让序列Ps∈ M对测度P是收敛的∈\'M，然后是D∈ Fn公司-1ZDmndPs=ZDmn-1dPs，s=1，∞. （90）功能RDMNDP，RDmn-集合上的1dP？M表示所有D∈ Fn公司-1是相对于由公式（75）定义的指标ρN（P，P）的连续值。达到等式（90）的极限，如s→ ∞, 我们得到ZDMNDP=ZDmn-1dP，n=1，n，D∈ Fn公司-1.（91）最后一个表示P∈ 妈妈。证明了定理10。5.2. 可数的基本事件集。在这一小节中，我们将前一小节的结果推广到基本事件的可数空间。设F是初等事件可数集子集的σ-代数Ohm 让Fn Fn+1 F是σ-代数的一个增集，其中F={/0，Ohm}. 表示可测空间上的一组等价测度{Ohm, F}。此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。假设σ-代数fn由集合Ani生成，i=1，∞, Ani公司∩ Anj=/0，i 6=j，∞Si=1Ani=Ohm, n=1，∞.引入鞅mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，∞. 那么对于mn代表mn=∞∑i=1mniχAni（ω），n=1，∞, （92）有效。考虑差值dn（ω）=mn- 明尼苏达州-1、Thendn（ω）=∞∑j=1dnjχAnj（ω）=∑j∈我-dnjχAnj（ω）+∑j∈I+dnjχAnj（ω），（93）∑j∈我-χAnj（ω）+∑j∈I+χAnj（ω）=1，（94），其中dnj≤ 0，作为j∈ 我-n、 和dnj>0，j∈ I+n.从等式（93），（94）中得到epdn（ω）=∑j∈我-ndnjP（Anj）+∑j∈I+ndnjP（Anj）=0，P∈ M、 （95）∑j∈我-nP（Anj）+∑j∈I+nP（Anj）=1，P∈ M、 （96）表示σ-代数Fn上测度集M的收缩。

将度量ρn（P，P）=supBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，∞, （97）其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（97）中的supremum覆盖了集合的所有分区Ohm, 属于σ-代数Fn。定义4。关于可测空间{Ohm, F}如果对其进行过滤，则等价测度M的凸集称为完备集，如果每1个≤ n<∞ 度量（97）中度量集mn的闭包包含度量sni j（A）=0，A 6=Ani，Anj，dnj-dni+dnj，A=Ani，-dni公司-dni+dnj，A=Anj（98），对于每个i∈ 我-nand j∈ 引理11。设测度族M是完备的，且该集包含元素ξ6=1。然后对于每个非负有界Fn可测的随机值ξn=∞∑i=1Cniχani存在一个实数αnsuch∞∑i=1CniχAnisupP∈明尼苏达州∞∑i=1英寸（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） ，n=1，∞. （99）证据。在集合“Mn”上，函数式Д（P）=∞∑i=1CniP（Ani）是相对于度量ρn（P，P）的连续值，其中“mn”是该度量中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈明尼苏达州∞∑i=1CniP（Ani）=供应∈\'\'Mn∞∑i=1CniP（Ani）（100）有效。表示fni=CnisupP∈明尼苏达州∞∑i=1 NIP（Ani），i=1，∞. 然后∞∑i=1fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（101）最后的不等式可以写成∑我∈我-fniP（Ani）+∑我∈I+fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（102）对于那些∈ 我-对于哪个dni<0，哪些j∈ 对于dnj>0的I+而言，不等式（102）如下fnidnj-dni+dnj+-dni公司-dni+dnjfnj≤ 1，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（103）从（103）中我们得到不等式fnj≤ 1 +1 - fni公司-dnidnj，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（104）两种情况是可能的：a）对于所有I∈ 我-n、 fni公司≤ 1.b） 存在i∈ 我-确保fni>1。

首先，让我们考虑一下情况a）。因为不等式（104）对每个1都有效- fni公司-dni，因为dni<0，和fni≤ 1，我∈ 我-n、 那么如果表示αn=inf{i，dni<0}1- fni公司-dni，（105）我们有0≤αn<∞ 和FNJ≤ 1+αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（106）根据αnw的定义，我们得到不等式fni≤ 1+αndni，dni<0，i∈ 我-n、 （107）现在，如果某些i的dni=0∈ 我-n、 那么在这种情况下，fni≤ 所有这些不等式都给出了fni≤ 1+αndni，i∈ 我-n∪ I+n.（108）考虑案例b）。从不等式（104）中，我们得到fnj≤ 1.-1.- FNIDNINJ，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（109）最后给出的不等式1- fnidni公司≤ 最小{j，dnj>0}dnj<∞, dni<0，i∈ 我-n、 （110）让我们定义αn=sup{i，dni<0}1- fnidni<∞. 然后从（109）我们得到fnj≤ 1.-αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（111）从αn的定义来看，我们有fni≤ 1.-αndni，dni<0，i∈ 我-n、 （112）不等式（111），（112）给出fnj≤ 1.-αndnj，j∈ 我-n∪ I+n.（113）在χani上相乘不等式（108）和在χAnjand上的不等式（113）在所有I，j上求和∈ 我-n∪ 我+我得到了所需的不等式。证明了引理11。定理11。假设引理11的条件是有效的。然后每个非负超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度m的凸集，满足条件SFMFM-1.≤ 厘米<∞, m=1，∞, （114）是局部正则的，其中Cmare常数。证据根据条件（114），可以得出以下结论：∈MEPfm<∞. 考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn.（115）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，∞. 自supP以来∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，∞. （116）定理7和不等式（116）证明了定理11.5.3。