同时进行多空反馈交易的广义框架

因此，可以考虑逐个股票改变目标。这个方向上的一个简单建议是设置目标增益，对于stocksi=1，。。。，495，at g*t、 i=|^ui |+C，其中^ui是估计的GBMdrift参数，C是一个常数，它描述了我们希望击败价格演变中固有漂移的数量。我们之所以选择漂移的绝对值，是因为在负漂移的情况下，也可以通过做空交易部分进行盈利。图10显示了C=0.05时随时间变化的平均增益。虽然与图8所示相比，MSE优化情况下的平均增益增加了约50%（最终增益从0.042增加到0.065），但偏差优化情况下的平均增益几乎翻了一番（从0.077增加到0.142）。这一发现可能是意料之中的，因为biasoptimization只追求一个目标，而MSE方法也考虑了可变性，即改变目标对偏差优化器有更大的影响。表一总结了以下策略的收益分布（在所有股票中）：优化的GSL（基于具有固定和可变目标的SE和偏差目标）、一些固定K值的SLS（这是迄今为止文献中出现的基本情况）和优化的SLS（其中只对K进行优化，因为α=β=1）。虽然MSE优化的GSLS策略在所有策略中没有最大的平均收益（正如预期的那样，因为它对冲了风险），但它似乎确实产生了很好的平均方差折衷。

与其他策略相比，收益的标准偏差相当低。这种减少的可变性也减少了发生大损失的机会（其他策略的可能性很高），中间值为正（大多数策略为负或接近零）；有趣的是，改变每只股票的目标会略微增加可变性，但会提高商品的水平。另一方面，偏倚优化的GSL产生了更大的平均增益，但具有很高的可变性，因此，在25%的情况下，损失低于-0.158. 该策略的性能与K=5的SLS以及tobias优化的SLS非常相似；当然，后两种策略本质上是相同的，因为K的增益增加了。然而，MSE优化的SLS产生的增益几乎为零。综上所述，MSE优化似乎为选择控制参数提供了一个很好的标准，但仅在GSL的情况下。优化经典SLS不会产生有用的策略，因为该方法没有足够的灵活性来同时增加收益，但仅使用单个参数K来减少其变化（并且没有参数选择的经典SLS不是一个令人满意的过程）。附录中包含了不同时间段的类似结果，其中没有平均策略膨胀；然而，MSE优化的GSL确实减少了对非常大损失的暴露。六、 讨论GSLS策略扩展了经典的SLS，使得长控制器和短控制器的参数可以不同（即初始投资和反馈参数）。通过允许不同的初始多头和空头投资，例如总体净初始投资为非零，I（0）6=0，GSLS策略可以被视为SLS和更标准的交易策略（例如，简单地做多或做空）之间的一种范例。

这提供了一个机会，可以在降低与标准交易策略相关的风险的同时，深入了解交易策略。具有不同长期和短期初始投资（α6=1）的GSL相对于SLS的稳健性减弱，因为理论（预期）收益不再保证为正；有趣的是，如果α=1，具有不同反馈参数（β6=1）的GSL保持鲁棒性。然而，如果交易者掌握一些价格演变的知识，并选择α6=1，则可以获得比SLS更高水平的收益。事实上，正如人们所料，任何已实现收益的主要驱动因素都是股票本身的价格演变——这就是为什么人们可能希望以牺牲一些稳健性为代价来估计其可能的演变。在当前的纸上交易中，“知识”以GBM价格演变假设的形式输入，这在金融文献中很常见【26】、【27】。当然，这是一个简化的假设，在实践中，可以使用更一般的模型，其中可以包括历史价格序列本身所不具备的其他形式的市场知识。使用GBM模型的第二个原因是，它为预期收益和收益方差提供了一个封闭形式的解。在更复杂的模型中，这些量可以通过模拟获得。通过使用E(c)g（t）的一些无模型估计，例如在历史序列{g，g，…，gn}中获得的最后实现增益值，可以完全避免模型假设。另一种选择可能是对这些已实现收益的加权平均值Npnj=1wjgjj，其中权重wj随j增长，以便在最近的观测中放置更多的权重。

无论如何，在我们的实际应用中，尽管存在GBM假设，但这些方法似乎表现良好。据我们所知，文献中以前从未考虑过在某种意义上“最优”的控制参数选择。缺乏此类选择程序是更广泛采用基于反馈的交易策略的主要障碍。为此，我们提出了两种可能性，我们称之为偏差和均方误差优化。偏差优化侧重于预期增益，而均方误差方法额外考虑了增益的变化。在GBM假设下，预期收益与过程漂移有关，而变化包含过程波动性。虽然我们的建议涉及指定目标增益（估计的GBMmodel可以告知合理的值），但我们也可以选择在测试期间选择性能最好的策略。这相当于用一些任意大的目标增益最小化偏差。还请注意，我们的MSE目标函数虽然本身是一个非常自然的量，但在增益的偏差和方差上放置了相等的权重；更一般而言，调整参数可能会控制这两个量之间的权衡。另一种参数选择方法（类似于投资组合优化中所谓的“效率边界”[24]）将基于在固定方差水平下最大化预期收益，或在固定预期收益下最小化方差。

我们还可以设想一个优化程序，该程序在整个时间表I中不断更新：2017年底所有股票收益汇总使用不同的策略策略GSLS SLS参数MSE MSE Bias Bias K=1 K=2 K=5 MSE MSE BIASTARGE Fixed VARIZED Fixed VARIZED-----Fixed VARIZED Fixed VARIZED Summary第一个四分位数-0.018-0.018-0.158-0.154-0.029-0.057-0.131 |<0.001 |-0.002-0.083-0.114ofMedian 0.021 0.037-0.006 0.026<0.001-0.002-0.020<0.001<0.001-0.006-0.017GainsMean 0.042 0.065 0.077 0.142 0.026 0.053 0.138 0.007 0.013 0.108 0.1243四分位数0.098 0.126 0.185 0.264 0.060 0 0.115 0.237 0.007 0.011 0.011 128 0.217四分位间距0.116 0.144 0.343 0.418 0.089 0.172 0.368 0.002 0.013 0.211 0.331标准偏差0.082 0.142 0.448 0.455 0.1020.204 0.520 0.026 0.047 0.425 0.461损失概率0.402 0.383 0.513 0.430 0.499 0.503 0.533 0.497 0.497 0.520 0.525“MSE”和“偏差”表示通过基于2016年数据优化每个股票的这些标准来选择参数，其中“固定”表示*= 0.15，“变化”表示g*= |u| + 0.05. 四分位数范围=第三个四分位数- 第一个四分位数。使控制参数动态变化（尽管初始投资从一开始就明显固定）；正如一位匿名评论者所指出的，这可以利用[28]和[29]所做的工作，这些工作考虑了一个多期有效前沿，通过线性反馈控制器结合交易者的收益来分析确定投资组合的最佳权重。然而，如前所述，参数选择在SLS环境中是新颖的。因此，本文中列出的程序提供了一个有用的起点，并且在我们的广泛测试中表现良好。在SLS环境中，K对预期收益E{g（t）}的影响以及风险Var{g（t）}的影响先前已被[13]和[15]注意到。

在我们的GSLS设置中，我们强调了将这两个数量纳入控制参数优化的重要性。然而，我们注意到，控制器本身仅放置在返回上。因此，虽然这项工作超越了现有SLS文献，在考虑风险缓解的情况下优化了参数（如前一段所述），但考虑以类似于【28】的方式额外安排一名风险控制人，但同时考虑长短部分；当然，这超出了本文的范围。总体而言，尽管是一个相对较新的研究领域，但基于反馈的交易策略显然具有有趣的理论特性以及在实践中的良好表现。通过将经典的SLS扩展到GSLS，研究参数选择过程，并在大量实际股票价格数据样本中对绩效进行广泛分析，本文有助于更好地理解这些策略的潜力。在这一新兴领域有各种潜在的研究途径（上述讨论中指出了一些），我们建议，未来的发展可以遵循与本文中使用的测试标准类似的测试标准（即许多实际股票价格序列）。致谢作者感谢James Gleeson对本文早期草稿的有益评论。参考文献[1]K.J.Astr"om和P.Kumar，“控制：透视图”，Automatica，第50卷，第1期，第3-43页，2014年。[2] B.R.Barmish，“关于股票交易：稳健控制范式”，IFAC会议记录卷，第41卷，第2期，第1621-16262008页。[3] ——，“基于反馈控制的股票交易策略的绩效限制”，2011年美国控制会议论文集。IEEE，2011，第3874–3879页。[4] T.M.Cover，“通用投资组合”，1991年，第1卷，第1期，第1-29页。[5] N.G.Dokuchaev和A。

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虽然在这种情况下没有哪种策略做得好，但最优化的GSLS策略至少可以降低更大损失的风险。表二：2016年末使用不同策略的所有股票收益汇总GSLS SLS参数MSE MSE BIASIAR BIASK=1 K=2 K=5 MSE MSE BIASTARGE Fixed VARIZED Fixed VARIZED---Fixed VARIZED Fixed VARIZED Summary第一个四分位数-0.031-0.047-0.200-0.222-0.056-0.109-0.223-0.003-0.024-0.165-0.194ofMedian-0.016-0.018-0.087-0.097-0.026-0.026 054年-0.131 |<0.001 |<0.001 |-0.076-0.113GainsMean 0.002-0.017-0.074-0.062-0.012-0.025-0.049-0.004-0.010-0.054-0.0783第三个四分位0.026 0.029 0.051 0.054 0.010 0.015-0.019<0.001-0.004-0.018四分位间距0.057 0.076 0.250 0.276 0.066 0.124 0.203 0.003 0.025 0.161 0.176标准偏差0.057 0.134 0.287 0.357 0.154 0.298 0.910 0.015 0.053 0.257 0.237损失概率0.636、0.633、0.692、0.677、0.688、0.692、0.792、0.685、0.685、0.770、0.777“均方误差”和“偏差”表明，根据2015年的数据，通过优化每个股票的这些标准来选择参数，“固定”表示*= 0.15，“变化”表示g*= |u| + 0.05. 四分位数范围=第三个四分位数- 第一个四分位数。0 50 100 150 200 250-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10daysgaimsebias（a）固定目标0 50 100 150 200 250-0.10-0.05 0.00 0.05天GAIMSEBIAS（b）变化目标图12:2016年每个交易日的平均收益（计算所有股票），针对（a）g*=0.15和（b）g*= |u| + 0.05. 偏差优化（红色）和均方误差优化（黑色）策略均基于2015年的数据。