同时进行多空反馈交易的广义框架

首先，较大的反馈参数将导致控制器（和相关投资）在收益变化（可能很小）时变化很大，这将给系统带来很大程度的可变性。此外，无论是长期投资还是短期投资，其中一项都将变得巨大，当然，所有贸易商的资源都将有限；出于同样的原因，一个人不能简单地增加收入。本节的基本结果可参见图2中的一些特定参数值。III-C布朗运动价格演变下的GSLS我们现在表明，在股票价格演变由几何布朗运动（GBM）决定的情况下，GSLS策略是稳健的，因此d pp=ud t+σdw，其中W代表韦纳过程，u是漂移，σ是波动率[21]，[22]。我们的证明与[13]的证明类似。如【13】所示，长控制器的增益为gl（t）=IKnq（t）Keσ（K-K） t型- 1同样，短控制器的增益isgS（t）=αIβKnq（t）-βKeσ(-βK-（βK））t- 1个-3.-2.-1 1 2 3-4.-2Kgα=0.25，q=0.5α=0.25，q=2α=2，q=0.5α=2，q=2图2：GSLS增益视为K的函数，β=1，I=1。点在K=logq（t）（α）处给出，这是（3）的根。此根位于负Kregion的情况满足以下要求（1- α） ln{q（t）}≥ 在这种情况下，所有K值都可以保证正增益，因为负K值不可行。因此，总增益isg（t）=IKhq（t）Keσ（K-K） t型- 1+αβnq（t）-βKeσ(-βK-（βK））t- 1o,。然后，通过注意对数正态分布随机变量X与log（X）的第k个矩，可以得出预期增益~ N——u-σ、t，σt'由ehxki=e？ku给出-σct+kσt。利用这个结果，可以显示e(c)g（t）a=IKeKut- 1+αβe-βKut- 1'.

（11） GBM（11）下的预期收益函数与确定性价格演变（2）下的预期收益函数具有相同的形式，q（t）=eut。因此，定理1紧随其后，因此，当（1- α)u ≥ 同样，定理2也适用于（（11））增加墨迹和β。注意，收益的方差由Var(c)g（t）a=E(c)g（t）a给出-E(c)g（t）a=IKe2KuteσKt- 1'+αβe-βKut·αβe-βKuteβKσt- 1'+2千微特-βKσt- 1', 3/4 （12）很明显，即使对于这个简单的GBM模型，方差的形式也相当复杂。然而，可以从图3中获得一些见解，其中我们将方差视为各种控制参数设置的σ和u的函数（注意，这概括了[15]中的图4和图5）。我们发现，变异性在σ中增加，在u中对称增加（但在SLS情况下是对称的，即α=β=1）。就控制参数而言，方差在K和β中增加，但以更复杂的方式取决于α。这里的关键信息是，E{g（t）}和Var{g（t）}都依赖于控制参数，例如，简单地增加K在实践中并不令人满意，因为它可以产生高度可变的回报（如[13]和[15]所述）。因此，我们建议选择控制参数的实用优化程序应同时考虑增益的均值和方差。5 · 10-20.1 0.15 0.20.40.60.8σVar(c)g（t）α=0.5，β=1，K=1α=0.5，β=1，K=3α=0.5，β=3，K=1α=1，β=1，K=1α=1，β=1，K=3α=1，β=3，K=1（a）u=0.1-0.2-0.1 0.1 0.20.10.20.30.4uVar(c)g（t）a（b）σ=0.1图3：对于α=0.5、β=K=1（蓝色，固体）和α=β=K=1（红色，固体）的GSL，基于GBM模型的Var{g（t）}作为（a）σ（u=0.1）和（b）u（σ=0.1）的函数。通过设置k=3（虚线）和β=3（虚线），这两种基本策略都有所不同。

请注意，有两种SLS情况（即，当α=β=1时）。我们注意到，尽管这里考虑了GBM模型，但该特定模型在本文的上下文中并没有发挥主要作用。相反，它是一个示例模型，可以用作产生E{g（t）}和Var{g（t）}的工具，这些数量构成了我们在第四节中建议的参数优化的基础。尽管如此，该GBM模型是我们建议中的一个有用的起点（在实践中是一个流行的模型），但是，例如，在SLS设置中，[17]考虑了具有时变动力学的过程，而[15]考虑了跳跃过程。因此，本文的工作可以扩展到这类过程，或者确实可以使用第VI.IV节中讨论的均值和方差的无模型估计。参数的选择，而前一节中的结果可以深入了解基于反馈的策略的行为（尤其是导致正增益的条件），在实际应用中，他们都没有给出控制参数建议值的实际实现。因此，在本节中，我们将重点讨论可能存在的问题，可以通过优化这些问题来选择GSL（以及SLS）中的控制参数。作为第一步，我们将假设价格演变过程可以由GBM建模，因为该假设产生E(c)g（t）和Var(c)g（t）的显式解，我们建议的标准将基于这些数量；当然，也可以使用其他价格演变模型。现在，让g*t时间点t的一些预定目标收益，并将交易“偏差”定义为偏差(c)g（t）a=E(c)g（t）a- g*t（13），即实现增益g（t）和目标增益g之间的预期差值*t、 在GBM假设下，该数量将取决于参数u以及控制参数α、β和K。

因此，作为第一步，可以使用标准推断程序来估计GBM参数【23】，然后，可以通过最小化偏差g（t）a来选择控制参数，即这些是最小化偏差g（t）a和g之间差异的控制参数*t、 上述建议没有考虑股票价格的波动性，客观函数不依赖于σ这一事实就证明了这一点。因此，另一个标准将涉及所谓的偏差和收益的可变性，因为后者在III-C中也被认为是重要的。因此，我们提出交易“均方误差”（MSE）asMSE(c)g（t）a=E(c)g（t）- g*ta=lb偏差(c)g（t）a+Var(c)g（t）a（14），除u外，它还取决于σ（通过方差项），并且可以在控制参数方面最小化。此类控制参数可能导致(c)g（t）a<g*t、 但如果收益的较低变化正好适合选择，即通过MSE(c)g（t）a选择的控制参数，在任何给定运行中，由于收益的较低变化，往往更接近目标收益。值得强调的是，尽管所提出的优化程序在选择控制参数时考虑了方差，但回想一下，控制器本身仅位于增益函数上；另外包括方差控制器的范围也很有趣，但超出了本文的范围。五、 使用优化控制参数测试GSL SV-A仿真研究在实际数据上测试我们提出的方法之前，我们首先进行仿真研究。我们根据GBM模拟股票价格，漂移u=0.1，以及一系列不同的波动率值σ={0.05,0.1,0.2}。

由于ISIMPLY发挥了放大和缩小增益的作用，我们f xI=1，并针对控制参数优化（13）和（14），其中GBM参数的已知值在优化之前插入。此外，我们假设，经过一年的交易（超过252天），交易者的目标是获得15%的回报，即：*= 0.15，以便他/她将市场漂移（u=0.1）击败5个百分点。虽然这两个目标函数可以使用标准优化算法进行优化，但由于只有三个参数（K、α、β），我们在参数空间上进行了离散搜索。特别是，我们使用10个等距值来表示k中的每个参数∈ [0,5], α ∈ [0,5]和β∈ [0,5]产生1000个参数组合。对于3个模拟场景中的每一个，我们根据HBIAS和MSE最小化找到最佳控制参数，然后在252个交易日内为1000条模拟的BM轨迹中的每一条应用结果策略。图4显示了基于优化偏差和均方误差的结果，这些偏差和均方误差是根据1000个模拟副本中每个副本上实现的收益的密度图进行的。我们可以从图4（a）中看到，随着波动性的增加，优化偏倚的表现似乎并不好，当σ=0.1和σ=0.2时，大部分概率质量为负收益；然而，有趣的是，高度右倾的偏态分布在很大的正值下也具有合理的质量。相比之下，最小均方误差（见图4（b））会产生更一致的结果，这可以从更高的收益分布中得到证明，并且，尽管更高波动性的分布会转向负收益（就像偏差优化情况一样），但质量负向收益要少得多。

更紧密的收益分布确实降低了某些潜在更高收益的可能性，但这是经典的均值-方差权衡。这些结果表明，对于除了预期收益外还关心收益变化的交易者来说，使用MSE作为目标的参数选择可能更可取。当然，交易者可以在最小均方误差优化中加权方差贡献，以反映其特定的风险规避水平，或者，实际上，以“有效前沿”的方式优化最大方差下的偏差【24】；我们在这里不考虑这一点。V-B标准普尔500指数股票价格如前所述，在现有文献中，基于反馈的交易策略在真实数据上的测试程度有些有限，即股票价格序列的数量非常少，控制参数的选择显然相当随意。因此，如果真实世界的贸易商确信采用此类战略总体上可以取得成效，就需要进行更广泛的测试。考虑到上述目标，我们考虑了2016年1月至2017年12月两年期间标准普尔500指数（s&P 500）495个成员的每日收盘价（在目前的500个成员中，有5个成员无法获得相关时间段的完整数据，因此被省略）。选择该数据的合理性是基于标准普尔500指数的成员是美国交易量最大的公司这一事实，而合格性是基于一系列因素，包括市值、流动性和公司所在地【25】。

因此，这些成员拥有高流动性的股票，因此基于反馈的交易策略可以在现实世界中合理地实施，此外，该指数的成员旨在为整个股票市场提供合理良好的代表性。图5显示了两年内所有495名会员每天计算的MediaAdjusted收盘价，以及2.5%和97.5%的分位数；很明显，大多数股票价格都随着时间的推移而上涨。对于每个股票价格系列，我们将2016年作为使用最大似然法估计GBM参数的培训期【23】，然后，根据估计的GBM参数，我们通过第四节中描述的偏差和MSE优化方法选择GSLS控制参数，目标增益为g*= 每种库存0.15。在第V-A节之后，当优化GSLS控制参数时，我们使用1000个参数组合的网格搜索，每个参数K的10个相等的空格值∈ [0,5], α ∈ [0，5]和β∈ [0,5].然后，在2017年期间，即测试期间，对该股票价格序列应用优化交易策略（偏差和均方误差），在测试期间，实施离散时间版本的策略（见[13]）。虽然上述程序是对每个股票价格系列单独执行的，但我们将通过汇总所有系列的结果来总结结果。注：在我们所有的测试中，我们为每只股票确定I=1，因为这只是衡量收益。在应用任何优化策略之前，我们首先以与之前文献类似的方式测试经典SLS策略，即简单地选择和测试控制参数的值；我们使用K={1，2，3，4，5}。然而，这里的优势在于，我们正在对一个比以前文献更大的priceseries样本进行测试。

为了使结果与我们进行优化的情况具有可比性，我们仅在2017年对这五种策略进行了测试（因为CEK只是从偏移量中固定的，2016年在参数选择中不起作用）。图6显示了每个交易日的平均收益（平均值是通过495个股票系列计算得出的）。我们可以看到，平均增益随K值的增加而增加，但增益的轨迹随时间变化非常不稳定（正如第III-C节所预期的，我们发现变化随K值增加而增加）；在过去的50天里，大多数的增长看起来像是急剧的跳跃。市值53亿美元或以上。以浮动调整后的市场资本化交易的年度美元价值应大于1，且在评估日期之前的六个月内，股票应至少交易250000股。该公司必须是美国IndexCommittee定义的美国公司。-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40 2增益度σ0.050.10.2（a）偏差优化-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40 2收益率σ0.050.10.2（b）MSE优化图4：一年内1000个模拟GBM股票价格的收益密度，其中控制参数的选择基于（a）偏差和（b）MSE。此处的目标增益为g*t=0.15，用黑色虚线表示。0 100 200 300 400 5000 50 100 200 300天数收盘价图5:2016年1月至2017年12月期间，标准普尔500指数495个成员的收盘价分位数为2.5%（底部，虚线）、50%（中间，实线）和97.5%（顶部，虚线）。然后，我们将1000个GSLS参数组合中的每一个应用于2017年的所有股票（同样没有使用2016进行优化），并计算了年底所有股票的平均收益；结果如图7所示，以及上一段中提到的五个SLS策略中的五个值。

有趣的是，有大量的GSL策略导致了损失。这些主要对应于α>1的情况，这并不奇怪，因为如图5所示，大多数股票价格随着时间的推移而平均上涨。还请注意，虽然经典的SLS案例确实优于这些特定的组合，但显然还有许多其他GSLS案例优于SLS。上述测试（SLS和GSL）模仿了之前的文献，即我们简单地设置了0 50 100 150 200 2500.00 0.05 0.10 0.15DaysGainK=1K=2K=3K=4K=5图6：2017年每个交易日SLS策略的平均收益（在所有股票系列上计算），具有不同的K值。2017年初的控制参数，未从历史数据中提取。换言之，参数基本上可以被认为是随机选择的，而不是根据每个股票进行调整。现实世界中的交易者不太可能会采取这样一种他/她完全超然的策略。因此，我们根据2016年的数据（如上所述）对每只股票实施优化方法，并将优化策略应用于2017年的数据。图8显示了每个交易日使用优化策略（偏差和均方误差）的平均收益，最后，我们发现，虽然偏差法在纯收益衡量时表现更好，与MSE方法相比，明显存在更大的变化，MSE方法随着时间的推移而稳定增长（请注意，MSE案例收益率在这里的所有时间点都是正的）。进一步-0.50-0.250.000.250 1 2 3 4 5Kgalpha12345012345bet针对不同的K、β和α图7：1000个GSL策略中的每一个在2017年252天交易后的平均收益（计算所有股票）。点的颜色表示β值，而点的大小表示α值。

还显示了五种SLS策略（深色点）。从收益的可变性来看，图9显示了所有股票收益的2.5%和97.5%分位数。不出所料，与偏差优化策略相关的可变性水平明显高于MSE优化策略。显然，在偏倚优化策略中，负收益的可能性更大，但在某些“幸运”的情况下，右偏分布确实实现了高收益。另一方面，最小均方误差优化策略在收益分布更紧密的意义上更为一致，负收益的可能性更小；这符合第V-A.0 50 100 150 200 250节的结论-0.02 0.02 0.04 0.06 0.08天收益表8：优化策略2017年每个交易日的平均收益（计算所有股票）。biasoptimized（红色）和MSE optimized（黑色）策略均基于2016年的数据和g*= 0.15.0 50 100 150 200 250-0.5 0.0 0 0.5 1.0DaysGainMSEBiasFigure 9：偏倚优化（红色，实心）和均方误差优化（黑色，实心）策略的中值增益（在所有股票上计算），以及2.5%和97.5%的分位数（虚线）和g*= 0.15.0 50 100 150 200 2500.00 0.05 0.10 0.15daysgaimsebiasfigure 10:2017年每个交易日优化策略的平均收益（计算所有股票）*= |u| + 0.05. 偏差优化（红色）和MSE优化（黑色）策略均基于2016年的数据。在上面讨论的优化过程中，所有股票的目标收益固定为15%。然而，GBM参数也可用于确定合理的目标收益，例如，15%的目标可能是某些股票无法达到的收益水平，或者，实际上，低估了其他股票的潜在收益。