极大极小定理与对称多人零和的纳什均衡

（14） 由于游戏是零和游戏，ui（ti，t*, t型*k、 t型*l） +uj（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（m- 2） 英国（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（n- m） ul（ti，t*, t型*k、 t型*l） =0，和soui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =-[uj（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（m- 2） 英国（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（n- m） ul（ti，t*, t型*k、 t型*l） ，UK表示选择TKA作为其战略变量的每个参与者的回报。球员j就是这样的球员之一。uldenotes是选择SLA作为其战略变量的每个参与者的回报。然后，我们得到ui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =-[（m- 1） uj（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（n- m） ul（ti，t*, t型*k、 t型*l） 】。因此，maxti∈Tui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =-明蒂∈T[（m- 1） uj（ti，t*, t型*k、 t型*l） +（n- m） ul（ti，t*, t型*k、 t型*l） 】。根据假设1，自ui（ti，t*, t型*k、 t型*l）≤ 0，uj（ti，t*, t型*k、 t型*l）≥ 0，ul（ti，t*, t型*k、 t型*l）≥ 0，在（t）的任何邻域中*, t型*, t型*k、 t型*l） 。因此，我们有Minti∈Tuj（ti，t*, t型*k、 t型*l） =0，arg minti∈Tuj（ti，t*, t型*k、 t型*l） =t*, （15a）minti∈Tul（ti，t*, t型*k、 t型*l） =0，andargminti∈Tul（ti，t*, t型*k、 t型*l） =t*. （15b）sy mmetrymintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l） =0，argmintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l） =t*.因此，maxti∈Tui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =mintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l） =ui（t*, t型*, t型*k、 t型*l） =0。然后，mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、t*k、 t型*l）≤ maxti公司∈Tui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =mintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l）≤ maxti公司∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、t*k、 t型*l） 。引理3mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、t*k、 t型*l） =最大值∈Tui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =mintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l） （16）=最大∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、t*k、 t型*l） =minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =最大值∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） 。由于通过适当选择Sj实现的tjis的任何值给定si=s（t*) 对于所有i 6=n，mintj∈Tui（t*, tj，t*k、 t型*l） =minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =0。（17） 因此，arg minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =s（t*).来自（16）和（17）minsj∈Tmaxti公司∈Tui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =0。

（18） 我们有Maxti∈Tui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l）≥ ui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） 。然后，arg minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =arg minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ），t*k、 t型*l） =s（t*).到（18）我们得到了Minsj∈Tmaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =最大值∈Tui（ti，tj（ti，s（t*), t型*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =ui（t*, tj（t*, s（t）*), t型*k、 t型*l） ），t*k、 t型*l） =0。因此，argmaxti∈Tui（ti，tj（ti，s（t*), t型*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =t*. （19） 这对我来说∈ N、 i 6=j.来自（14）和（19）（t*, tj（t*, s（t）*), t型*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） 是一个等价于（t）的纳什均衡*, t型*, t型*k、 t型*l） ，并且它等价于（t*, . . . , t型*). 请注意，i和j是任意的。根据数学推导，这个定理意味着一个玩家选择的纳什均衡- 1参与者选择si作为其战略变量等同于纳什均衡，即所有参与者选择ti作为其战略变量。假设在前一个均衡中，只有参与者n选择TN，其他参与者选择si作为其战略变量。然后，该等式表示为（s（t*), . . . , s（t）*), t型*), 和soarg maxsi∈Sui（ti（si，tn，s（t*), . . . , s（t）*)), tn，s（t*), . . . , s（t）*)) = s（t）*), 对于i 6=n，arg maxtn∈Tun（ti（si，tn，s（t*), . . . , s（t）*)), tn，s（t*), . . . , s（t）*)) = t型*.由于tn的任何值都是通过适当选择sn实现的，所以maxtn∈Tun（ti（si，tn，s（t*), . . . , s（t）*)), tn，s（t*), . . . , s（t）*))= 最大SN∈Tun（ti（si，sn，s（t*), . . . , s（t）*)), tn（si、sn、s（t*), . . . , s（t）*)), s（t）*), . . . , s（t）*)),andargmaxsn∈Tun（ti（si，sn，t*l） ，tn（si，sn，t*l） ，t*l） =s（t*).然后，（ti（si，sn，t*l） ，tn（si，sn，t*l） ，t*l） 是一个纳什均衡，其中所有参与者选择s（t*). 相当于（t*, . . . , t型*).总结我们展示的结果，见第3节。

下列状态的纳什均衡是等价的。1、所有玩家选择ti、i∈ {1，…，n}（作为其战略变量）。2、一些球员选择ti，其他球员选择si。所有玩家选择si，i∈ {1，…，n}。4非对称多参与者零收入博弈的例子考虑在一个由三家公司生产差异化产品的ol-igopoly中的相对利润最大化博弈。这是一个具有两个战略变量的多人零和博弈的例子。公司为A、B和C。战略变量为公司产品的产量和价格。我们考虑以下四种情况。关于不完全竞争下的相对利润最大化，请参见M atsumura、Matsushima and Cato（2013）、Satoh and Tanaka（2013）、Satoh and Tanaka（2014a）、Satoh and Tanaka（2014b）、Tanaka（2013a）、Tanaka（2013b）和Vega Redondo（1997）1。案例1：所有公司都决定其产出。反向需求函数arepA=a- xA公司- bxB公司- bxC，pB=a- xB公司- bxA公司- bxC和Pc=a- xC公司- bxA公司- bxB，其中0<b<1。pA、PB和PC是公司A、B和C的商品价格，xA、XB和X是它们的输出。案例2：公司A和B决定其产量，公司C决定it产品的价格。根据反向需求函数，pA=（1- b） a+bxB- bxB+bxA- xA+bpC，pB=（1- b） a+bxB- xB+bxA- bxA+bpC，XC=a- bxB公司- bxA公司- pCare派生。案例3：公司B和C决定其商品的价格，公司A决定其产量。此外，从上述逆需求函数中，我们得到Pa=（1- b） a+2bxA- bxA公司- xA+bpC+bpB1+b，xB=（1- b） a+bxA- bxA+bpC- pB（1- b） （1+b），和xC=（1- b） a+bxA- bxA公司- pC+bpB（1- b） （1+b.4。

案例4：所有公司都决定其商品的价格。从逆需求函数推导出直接需求函数如下：；xA=（1- b） a- （1+b）pA+b（pA+pC）（1- b） （1+2b），xB=（1- b） a- （1+b）pB+b（pB+pC）（1- b） （1+2b），xc=（1- b） a- （1+b）pC+b（pA+pB）（1- b） （1+2b）。公司的（绝对）利润为πA=pAxA- cAxA，πB=pBxB- cBxB，πC=pCxC- cCxC。cA、Cb和Cc是公司A、B和C的恒定边际成本。公司的相对利润为ДA=πA-πB+πC，ДB=πB-πA+πC，且ДC=πC-πA+πB。企业确定其战略变量的值，以最大化相对利润。WeseeДA+ДB+ДC=0，因此博弈是零和博弈。我们比较了四种情况下企业B商品的均衡价格。在每种情况下，用pB、pB、pB和pB表示pB的值。然后，我们得到PB=3bcC- 2bcB+bcB+4cB+3bcA+ab- 5ab+4a（4- b） （b+2），pB=A（4- b） （b+2）（3b+4），pB=b（b+2）（b+4）（5b+4），pB=3bcC+3bcC+4bcB+7bcB+4cB+3bcA+3bcA- 5ab+ab+4a（b+2）（5b+4），其中=9bcC+12bcC-3bcB+bcB+16bcB+16cB-3bcA+3bcA+12bcA+3ab-11ab-8ab+16a，B=6bcC+21bcC+12BCB+17bcB+32b cB+16cB+3bcA+15bcA+12b cA- 5ab- 19a b+8ab+16a。当cC=cA时，它们是PB=bcB- 2bcB+4cB+6bcA+ab- 5ab+4a（4- b） （b+2），pB=bcB- 3bcB+16b cB+16cB- 3bcA+12bcA+24b cA+3ab- 11a b- 8ab+16a（4- b） （b+2）（3b+4），pB=bcB+17bcB+32b cB+16cB+9bcA+36bcA+24b cA- 5ab- 19a b+8ab+16a（b+2）（b+4）（5b+4），Pb=4bcB+7bcB+4cB+6bcA+6bcA- 5ab+ab+4a（b+2）（5b+4）。此外，当cC=cB=cA时，我们得到pB=pB=pB=pB=2bcA+cA- ab+ab+2。对于其他公司的商品均衡价格，我们可以得出相同的结果。

因此，在完全对称博弈中，这四种情况是等价的。可以证明，在案例2和案例3中，cA=cB=Cc的这个例子从某种意义上满足了假设1，即企业B相对于企业A战略的相对利润的argmin（最小值参数）等于企业C相对于企业B和C的纳什均衡战略的argmin（最小值参数）。参见（15a）和（15b）。5结论性意见本文表明，在一个具有两个战略变量的对称多人零和博弈中，战略变量的选择与纳什均衡无关。在非对称情况下，纳什均衡取决于两个参与者以外的参与者对战略变量的选择。确认这项工作得到了日本科学促进会KAKENH I GrantNumber 15K0 3481和18K01594的支持。关于两名球员的案例，请参见Sato h和Tanaka（2017）。参考Kindler，J.（2005），“锡安极大极小定理的简单证明”，《美国数学月刊》，112，第356-358页。Komiya，H.（1988），“锡安极大极小定理的初等证明”，Ko dai M a主题期刊，11，第5-7页。Matsumura，T.、N.Matsushima和S.Cato（2013年），“重新审视竞争力和研发竞争力”，经济建模，31，第541-547页。Satoh，A.和Y.Tanaka（2013年），“相对利润最大化和二次成本函数的Bertrand均衡”，《经济与商业快报》，第2期，第134-139页，2013年。Satoh，A.和Y.Tanaka（2014a）“非对称双寡头垄断中古诺和伯特兰公平竞争的相对利益最大化和等价性”，《经济学公报》，34，第819-827页，20 14。Satoh，A.和Y.Tanaka（2014年b），“非对称寡头垄断中的相对利润最大化”，经济学Bulletin，34，第1653-1664页。Satoh，A.和Y。

Tanaka（2017），“两组战略变量的二人零和博弈”，MPRA论文73272，德国慕尼黑大学图书馆。Sion，M.（19 5 8），“关于一般极大极小定理”，太平洋血液学杂志，8，pp.171-176。Tanaka，Y.（2013a），“相对利润最大化和线性需求下不同双寡头的古诺和伯特朗均衡的等价性”，经济学Bulletin，33，pp.1479 1486。Tanaka，Y.（2013b）“相对利润最大化下双寡头战略变量选择的无关性”，《经济学与商业信函》，第2期，第75-83页，2013年。Vega Redondo，F.（1997）“Walrasian行为的演变”，《计量经济学》，第65页，第375384页。