极大极小定理与对称多人零和的纳什均衡

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英文标题：
《Minimax theorem and Nash equilibrium of symmetric multi-players zero-sum
  game with two strategic variables》
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作者：
Masahiko Hattori, Atsuhiro Satoh and Yasuhito Tanaka
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a symmetric multi-players zero-sum game with two strategic variables. There are $n$ players, $n\\geq 3$. Each player is denoted by $i$. Two strategic variables are $t_i$ and $s_i$, $i\\in \\{1, \\dots, n\\}$. They are related by invertible functions. Using the minimax theorem by \\cite{sion} we will show that Nash equilibria in the following states are equivalent.   1. All players choose $t_i,\\ i\\in \\{1, \\dots, n\\}$, (as their strategic variables). 2. Some players choose $t_i$\'s and the other players choose $s_i$\'s. 3. All players choose $s_i,\\ i\\in \\{1, \\dots, n\\}$.
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中文摘要：
我们考虑一个具有两个策略变量的对称多人零和对策。有$n$玩家，$n\\geq 3$。每个玩家由$i$表示。两个战略变量是$t\\U i$和$s\\U i$，$i\\ in \\{1，\\dots，n \\}$。它们通过可逆函数联系在一起。利用极大极小定理，我们将证明下列状态下的纳什均衡是等价的。1、所有玩家选择$t\\U i、\\i\\in \\{1、\\dots、n \\}$，（作为他们的战略变量）。2、一些玩家选择$t\\U i$\'s，其他玩家选择$s\\U i$\'s。3。所有玩家选择$s\\U i、\\ i \\ in \\{1、\\ dots、n \\}$。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：纳什均衡 Mathematical Quantitative mathematica equilibrium

具有两个战略变量的对称多人零和博弈的极大极小定理和纳什均衡*京都Kamigyo区Doshisha大学经济学院，邮编602-8580，日本京都，Atsuhiro Satoh+北海嘉权大学经济学院，日本北海道札幌，丰田章男，邮编062-8605，京都，andYasuhito Tanaka+京都Kamigyo区Doshisha大学经济学院，邮编602-8580。摘要研究了一类具有两个战略变量的对称多人零和对策。有n个玩家，n≥ 3、每个参与者都用i表示。两个战略变量是tiandsi，i∈ {1，…，n}。它们通过可逆函数联系在一起。利用bySion（1958）的极大极小定理，我们将证明下列状态下的纳什均衡是等价的。1、所有玩家选择ti、i∈ {1，…，n}，（作为其战略变量）。2、一些球员选择ti，其他球员选择si。所有玩家选择si，i∈ {1，…，n}。关键词：对称多人零和博弈、纳什均衡、两个战略变量JEL分类：C72*mhattori@mail.doshisha.ac.jp+atsatoh@hgu.jpyasuhito@mail.doshisha.ac.jp1我们考虑一个具有两个战略变量的对称多人零和对策。有n个玩家，n≥ 3、每个参与者都用i表示。两个战略变量是天和四，i∈{1，…，n}。它们通过可逆函数联系在一起。利用极大极小定理（1958），我们将证明下列状态下的纳什均衡是等价的。1、所有玩家选择ti、i∈ {1，…，n}，（作为其战略变量）。2、一些球员选择ti，其他球员选择si。所有玩家选择si，i∈ {1，…，n}。在下一节中，我们给出了本文的一个模型，并证明了Sion极大极小定理的一些变化结果。

在第3节中，我们将展示主要结果。具有两个st战略变量的多重参与者零和博弈的一个例子是具有差异化产品的ol-igopoly中的相对最大化博弈。参见第4.2节模型和极大极小定理。我们考虑一个具有两个战略变量的对称多人零和博弈。有n个玩家，n≥ 3、两个战略变量为天和四，i∈ {1，…，n}。tiis选自Tian，siis选自Si。线性拓扑空间中的凸集和紧集∈ {1，…，n}。我们表示N={1，…，N}。战略变量之间的关系用i=fi（t，…，tn），i表示∈ N、 andti=gi（s，…，sn），i∈ N、 fi（t，…，tn）和gi（s，…，sn）是连续可逆函数，因此它们是一对一的函数。设M={1，…，M}，0≤ m级≤ n、 b e a su bset of n，表示n- M={M+1，…，n}。当n- N中的m个玩家- M选择si，其ti根据tm+1=gm+1（f（t，…，tm，tm+1，…，tn），fm（t，…，tm，tm+1，…，tn），sm+1，序号）。tn=gn（f（t，…，tm，tm+1，…，tn），fm（t，…，tm，tm+1，…，tn），sm+1，序号）。我们用ti（t，…，tm，sm+1，…，sn）表示这些ti。当所有玩家选择si时，我∈ N、 根据t=g（s，…，sn）。tn=gn（s，…，sn）。用ti（s，…，sn）表示这些ti。玩家i的支付函数是ui，i∈ N、 它写在asui（t，…，tn）上。我们假设：T×···×Tn=> 每个i的R∈ N在T×····×Tn上是连续的。因此，通过fi，i，N在S×····×sn上是连续的∈ N

它在相互参和者的Tiand-Sifora策略上是拟凹的，在Tj上是拟凸的，对于每个Tiand-si，j 6=i和Sj，j 6=i。我们不假设支付函数的可微性。博弈的对称性意味着所有参与者的支付函数都是对称的，在每个参与者i的支付函数中，参与者j和k，j，k 6=i是可互换的。fi和GI为sym公制。由于博弈是一个零和博弈，参与者的支付函数的值之和为零。所有Ti都是相同的，所有Si都是相同的。对于连续函数，用T和S.Sion的最小imax定理（Sion（1958）、Komiya（1988）、Kindler（2005））表示如下。引理1。设X和Y是两个线性拓扑空间的非void凸紧子集，设f:X×Y→ R是一个函数，在一变量中是连续的、准凹的，在第二变量中是连续的、准凸的。Thenmaxx∈Xminy公司∈Yf（x，y）=miny∈Ymaxx公司∈Xf（x，y）。我们遵循Kindler（2005）对Sion定理的描述。将此引理应用于本文的情形，使得m个参与者选择ti和n- 员工选择si作为其战略变量，我们有以下关系。maxti公司∈Tmintj公司∈Tui（ti，tj，tk，tl）=mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）。maxti公司∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl），其中tkis是tk，k的向量∈ M、 选择tk作为其战略变量的球员，而非球员i和j。另一方面，tl是tl的向量，l∈ N- M、 选择sl作为其战略变量的非球员j的球员。此外，对它们对称的关系也成立。ui（ti，tj，tk，tl）是当玩家i和j选择tian和tj时，玩家i的回报。

另一方面，ui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是指当玩家i选择tiandPlayer j选择sj时的回报。此外，我们还显示了以下结果。引理2。maxtj公司∈Tminti公司∈Tuj（ti，tj，tk，tl）=maxsj∈斯曼蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tmaxsj∈Suj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tmaxtj公司∈Tuj（ti，tj，tk，tl），uj（ti，tj，tk，tl）是当玩家i和j选择tian和tj时，玩家j的回报。在游戏中，uj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）m表示玩家j选择sj时的回报，而玩家i选择ti。证据明蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是相对于tigiven sj的Uj最小值。设▄ti（sj）=argminti∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）和fix的值tjattj=gj（fi（▄ti（sj），tj，tk，tl），sj，fk，sl），（1）其中fk表示选择tk的玩家的sk值的向量，sl表示选择sl的玩家的sl值的向量。然后，我们有minti∈Tuj（ti、tj、tk、tl）≤ uj（▄ti（sj），tj，tk，tl）=minti∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl），其中minti∈Tuj（ti，tj，tk，tl）是uj相对于tjattj值的最小值。我们假设▄ti（sj）=arg minti∈Tuj（uj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl））是单值的。根据极大值定理和uj的连续性，ti（sj）是连续的。然后，通过根据（1）适当选择Sj，可以将Tjc的任何值化。因此，maxtj∈Tminti公司∈Tuj（ti、tj、tk、tl）≤ maxsj公司∈斯曼蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）。（2） 另一方面，minti∈Tuj（ti，tj，tk，tl）是相对于tigiven tj的Uj最小值。设▄ti（tj）=argminti∈Tuj（ti，tj，tk，tl）和fix sjatsj=fj的值（▄ti（tj），tj，tk，tl）。

（3） 那么，我们有Minti∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）≤ uj（▄ti（tj），tj（▄ti（tj），sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tuj（ti、tj、tk、tl），其中minti∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是uj相对于tgiven的最小值。我们假设▄ti（tj）=argminti∈Tuj（ti，tj，tk，tl）是单值的。根据极大值定理和uj的连续性，ti（tj）是连续的。然后，根据（3）适当地选择TJ可以实现sjcan的任何值。因此，maxsj∈斯曼蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl）tk，tl）≤ maxtj公司∈Tminti公司∈Tuj（ti、tj、tk、tl）。（4） 结合（2）和（4），我们得到maxsj∈斯曼蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl）tk，tl）=最大tj∈Tminti公司∈Tuj（ti、tj、tk、tl）。由于Sj的任何值都可以通过适当选择tj来实现，因此我们有MaxSj∈Suj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大tj∈Tuj（ti、tj、tk、tl）。因此，minti∈Tmaxsj∈Suj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tmaxtj公司∈Tuj（ti、tj、tk、tl）。因此，maxtj∈Tminti公司∈Tuj（ti，tj，tk，tl）=maxsj∈斯曼蒂∈Tuj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tmaxsj∈Suj（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=minti∈Tmaxtj公司∈Tuj（ti、tj、tk、tl）。引理3。mintj公司∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）=minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大ti∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大ti∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、tk、tl），证明。maxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是相对于tigiven sj的最大Ui。L et'ti（sj）=argmaxti∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）和fix tjattj=gj（fi（\'ti（sj），tj，tk，tl），sj，fk，sl），（5）其中fk表示选择tk的玩家的sk值的向量，sl表示选择sl的玩家的sl值的向量。然后，我们有maxti∈Tui（ti、tj、tk、tl）≥ ui（(R)ti（sj）、tj、tk、tl）=最大ti∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl），其中maxti∈Tui（ti，tj，tk，tl）是Ui相对于tjat tj值的最大值。

我们假设'ti（sj）=arg m axti∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是单值的。根据最大定理和ui的连续性，ti（sj）是连续的。然后，通过根据（5）适当选择sj，可以对Tjc的任何值进行化。因此，mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）≥ 明斯∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）。（6） 另一方面，maxti∈Tui（ti，tj，tk，tl）是相对于tigiven tj的Ui的最大值。设\'ti（tj）=argmaxti∈Tui（ti，tj，tk，tl），并乘以sjatsj=fj（(R)ti（tj），tj，tk，tl）的值。（7） 那么，我们有Maxti∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）≥ ui（(R)ti（sj），tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大ti∈Tui（ti、tj、tk、tl），其中maxti∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）是Ui的最大值，相对于TigVen sjat sj的值。我们假设'ti（tj）=argmaxti∈Tui（ti、tj、tk、tl）是单值的。根据最大定理和ui的连续性，ti（tj）是连续的。然后，通过根据（7）适当选择TJ，可以实现sjcan b的任何值。因此，minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）≥ mintj公司∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）。（8） 结合（6）和（8），我们得到minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）。由于Sj的任何值都可以通过适当选择tj来实现，因此我们有Minsj∈Sui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=mintj∈Tui（ti、tj、tk、tl）。因此，maxti∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大ti∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）。因此，mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）=minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl），=最大ti∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，tk，tl），tk，tl）=最大ti∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、tk、tl）。3主要结果在本节中，我们介绍了本文的主要结果。首先我们展示定理1。所有参与者选择ti的均衡相当于一个参与者（参与者j）选择SJ而所有其他参与者选择ti作为其战略变量的均衡。证据

考虑一种情况（t，…，tn）=（t，…，t），即所有层选择相同的ti值。Lets（t）=fi（t，…，t），i∈ N、 通过gamemaxt的系统∈Tu（t，t，…，t）=···=最大值∈Tun（t，…，tn），andarg maxt∈Tu（t，t，…，t）=···=argmaxtn∈Tun（t，…，tn）。考虑以下功能。t型→ argmaxti∈Tui（ti，t，…，t），i∈ N、 由于该函数是连续的且T是紧的，因此存在一个固定点。用t表示*. 那么，t*→ arg最大值∈Tui（ti，t*, . . . , t型*).我们拥有Maxti∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = 0，尽管我∈ N、 2。因为游戏是零和的，ui（ti，t*, . . . , t型*) +n∑j=1，j6=iuj（ti，t*, . . . , t型*) = 0、sy mmetryui（ti，t*, . . . , t型*) + （n）- 1） uj（ti，t*, . . . , t型*) = 这意味着sui（ti，t*, . . . , t型*) = -（n）- 1） uj（ti，t*, . . . , t型*).andmaxti公司∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = -（n）- 1） 明蒂∈Tuj（ti，t*, . . . , t型*).从中我们得到了参数maxti∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = 阿明蒂∈Tuj（ti，t*, . . . , t型*) = t型*.我们拥有Maxti∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = 明蒂∈Tuj（ti，t*, . . . , t型*) = ui（t*, . . . , t型*) = 0、sy MMetryMaxi∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = mintj公司∈Tui（tj，t*, . . . , t型*) = 0那么mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、t*, . . . , t型*) ≤ maxti公司∈Tui（ti，t*, . . . , t型*)= mintj公司∈Tui（tj，t*, . . . , t型*) ≤ maxti公司∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、t*, . . . , t型*).从引理3我们得到了mintj∈Tmaxti公司∈Tui（ti、tj、t*, . . . , t型*) = maxti公司∈Tui（ti，t*, . . . , t型*) = mintj公司∈Tui（tj，t*, . . . , t型*) （9） =最大值∈Tmintj公司∈Tui（ti、tj、t*, . . . , t型*) = 明斯∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（ti，sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*)= maxti公司∈Tminsj公司∈Sui（ti，tj（ti，sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = 0.3. 由于Sj的任何值都可以通过适当选择tj、minsj来实现∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), . . . , t型*) = mintj公司∈Tui（t*, tj，t*. . . , t型*) （10） =ui（t*, . . . , t型*) = 0。那么，arg minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . .

，t*) = s（t）*).（9） 和（10）meanminsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) （11） =minsj∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = 还有Maxti∈Tui（ti，tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) ≥ ui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*).然后，arg minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*)= argminsj公司∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = s（t）*).注释s（t*) = f（t*, t型*, . . . , t型*).因此，由（11）minsj∈Smaxti公司∈Tui（ti，tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = maxti公司∈Tui（ti，tj（ti，s（t*), t型*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*)= 明斯∈Sui（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = ui（t*, tj（t*, s（t）*), t型*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = 因此，arg maxti∈Tui（ti，tj（ti，s（t*), t型*, . . . , t型*), t型*, . . . , t型*) = t型*. （12） 这对我来说∈ N、 i 6=j。另一方面，因为sj的任何值都是通过适当地选择tj，maxsj来实现的∈Suj（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*)) = maxtj公司∈Tuj（t*, tj，t*, . . . , t型*) = uj（t*, . . . , t型*) = 因此，arg maxsj∈Suj（t*, tj（t*, sj，t*, . . . , t型*)) = s（t）*). （13） 从（12）和（13），（t*, s（t）*), t型*, . . . , t型*) 是一个纳什均衡，它等价于（t*, . . . , t型*). （t*, s（t）*), t型*, . . . , t型*) 表示ti=t的平衡*, sj=s（t*) andtk=t*对于k 6=i，j，考虑一个纳什均衡，其中m个参与者选择t*和n- m玩家选择s（t*).设tkbe为tk的向量，k∈ M、 选择tk作为其战略变量的比我和j更高的球员；tlbe是tl的向量，l∈ N-M、 选择sl作为其战略变量的参与者。这些表达式表示ti=tj=t*; 每个tk=t*每个sl=s（t*). 我们把这种平衡写成（ti，tj，tk，tl，）=（t*, t型*, t型*k、 t型*l、 ）。

在下一个定理中，基于假设1，我们将证明这样的纳什均衡等价于纳什均衡，其中m- 1层选择t*和n- m+1玩家选择s（t*).现在，我们假设消费为1。在m个玩家选择t的平衡点*和n-m玩家选择s（t*),英国人的反应是一个微小的变化，这是一个标志。Uk是除i之外的每个参与者的报酬，其战略变量为tk，Uli是st战略变量为sl的每个参与者的报酬。当ti=t时*和sl=s（t*) 对于i∈ M、 l∈ N-M、 我们有tl=t*对于所有l∈ N-M、 英国，k∈ M\\i和ul，l∈ N-M响应ti中的更改，i∈ M给定tk，k∈ M\\I和sl，l∈ N- M、 自sk，k起∈ M\\i和tl，l∈ N- M不是常数，t为英国的响应，k∈ M\\i和ul、l的响应∈ N- 我要改变一下∈ 我可能会有所不同。然而，因为所有ti都是相等的，所有ui都是针对i的∈ 如果在平衡点相等，我们可以认为英国的反应∈ 以及ul、l的响应∈ N- 我要改变ti，i∈ M在平衡的充分Smal l邻域中具有相同的符号。利用这个假设，我们给出了以下结果。定理2。平衡，其中m，2≤ m级≤ n- 1、玩家选择ti和n- m玩家选择si作为他们的战略变量与均衡均衡相等，其中m- 1名球员选择ti和n- m+1玩家选择si作为其战略变量。证据支持玩家i在两种均衡中选择ti，但当mplayers选择ti时，玩家j选择TJ，当m时，他选择SJ- 1名玩家选择ti。然后，argmaxti∈Tui（ti，t*, t型*k、 t型*l） =arg maxtj∈Tuj（t*, tj，t*k、 t型*l） =t*.由于tjis的任何值都是通过适当地选择sj来实现的，因此我们得到了maxsj∈Suj（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =最大值∈Tuj（t*, tj，t*k、 t型*l） =uj（t*, t型*, t型*k、 t型*l） ，andarg maxsj∈Suj（t*, tj（t*, sj，t*k、 t型*l） ，t*k、 t型*l） =s（t*).