计提和棘轮约束下的最优股利分配

事实上，由于我们研究的是超额分红过程，因此我们的结果根本不依赖于r，对于r=0.3的最优分红政策，在提取约束下，我们的结果将保持有效且不变。对应于随机控制问题的值函数（2.5）isV（x，z）=sup（πt，ct）∈C（α，z）Ex“zτe–△tc1–pt1–pdt#，，（3.1）表示（x，z）∈ R+，其中Ex表示以X=X为条件的预期。本节的主要目标是确定V（X，z）以及相应的最优投资和股息政策。该解决方案依赖于时间t（即Xt）的盈余与股息过程的历史峰值（即zt=max）之间的关系z、 sup0≤s<tcs.每次盈余水平达到一个新的最大值时，公司都会面临是否将超额股息率提高到历史峰值以上的决定。增加超额股息率可能会通过增加超额股息流效用的预期值来增加价值。但是，这样做提高了强制性最低超额股息率的门槛，缩短了破产时间。我们假设存在临界盈余与历史峰值比率w*如果Xt>w*zt，则公司将立即将超额股息率提高至ct=Xt/w*. 否则，如果Xt≤ w*zt，则公司只会提高超额股息率以维持Xs≤ w*ZS适用于所有s≥ t。

此外，如果0<Xt<w*zt，则公司将在该区间内按利率支付股息【αzt，zt】。正如我们将在下面定理3.4的证明中所验证的，如果我们在D={（x，z）上找到以下自由边界问题（FBP）的经典解v（x，z）∈ R+：x≤ zw公司*, z>0}，即在x中递增且凹，则v等于值函数v：δv=最大π∈Ruπvx+σπvxx+ 最大αz≤c≤z“c1–p1–p–cvx#，v（0，z）=0，vz（w*z、 z）=0=vxz（w*z、 z）。（3.2）vxz（w*z、 z）=0是所谓的超级接触条件。该条件确保了边界w的最优性*. 事实上，从Dixit（1991）和Dumas（1991）中，我们得到了平滑粘贴条件vz（^wz，z）=0的值函数，该值函数对应于由任何^w>0的值代替w定义的屏障策略*, 但是为了使屏障策略最优，我们必须施加高阶条件vxz（w*z、 z）=0。从这个高阶条件出发，我们推导出（3.2）中的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程沿射线（x，z）=（w）等于0*z、 z）对于z>0。参见Dixit（1991）和Dumas（1991）对值匹配、平滑粘贴（如vz（w））的进一步讨论*z、 z）=0）和超级接触条件。zx（a）：c*= αzx=wαz（b）：αz<c*< zx=w1z（c）：c*= zx=w*z（d）：c*=xw公司*（e） 最优股息政策的zx平面上的五个区域u=0.0800，σ=0.2000，κ=12.5000，α=0.5000，δ=0.2000，p=0.8000，wα=3.7030，w1=5.5947，w*= 11.2992图1:z–x平面上（A）-（e）区域的代表图，显示了最优股息政策的不同行为。最优控制过程（z*t、 X个*t） 只能在t=0的区域（d）中，在这种情况下，它将立即移动到线（e）。

此后，最优控制过程停留在（a）、（b）、（c）和（e）区域。区域（e）起着反射屏障的作用，即最优控制过程被（e）处的奇异控制阻止通过。此外，我们假设历史峰值还存在另外两个重要盈余，即wα和w，0<wα<w<w*. 基于这些临界值，我们假设最优股利政策具有以下结构：（a）如果Xt<wαzt，则ct=αzt。换言之，如果盈余水平“非常低”，则企业最好以提款限制（2.1）允许的最低利率支付股息。（b） 如果wαzt<Xt<wzt，则ct=c*（Xt、zt）∈ （αzt，zt），对于某些函数c*（x，z）。在这种情况下，盈余处于“中间水平”，公司以高于最低可能利率但低于历史峰值的利率分配股息。（c） 如果wz≤ Xt<w*z、 然后ct=zt。在这种情况下，盈余足够大，因此最好在历史峰值支付股息，但不足以将超额股息率提高到该值以上。（d） 如果Xt>w*zt，然后ct=Xtw*> zt。换句话说，如果盈余水平“非常大”，公司将以高于历史峰值的利率支付股息。注意，在这种情况下，历史峰值在t处有一个跳跃，即lims→t+zs=Xtw*> zt。为了便于记法，我们省略了上标* 这表明这些过程是最优控制的。所以，在整个ansatz过程中，Xt=X*t、 zt=z*t、 和ct=c*t。

有时，当我们提到股息率时，我们也会省略“超额”一词；然而，在本文的其余部分，“股息率”是指“超额股息率”（e） 沿着x=w线*z、 公司通过单一控制增加股息率以保持≤ w*zt。通过遵循上述股息政策，历史峰值（zt）只有在时间t=0且只有在规则（d）适用的情况下才能出现跳跃，即X>w*z、 在这个可能的初始跳转之后，进程（Xt，zt）t≥0将保留在域中d={（x，z）：0≤ x个≤ w*z、 z>0}，通过应用上述规则。特别是，在可能的初始跳变之后，（zt）仅允许通过单数控制增加，以便将（Xt，zt）保持在D以内。备注3.1。通过以下方式确定剩余流程的运行最大值M=w*z、 Mt=最大NM，最大0≤s<tXso；t>0。（3.3）通过上述讨论，我们得出Mt=w*zt，适用于所有t≥ 换言之，如（3.3）所述，盈余的持续最大值与超额股息率的历史峰值成正比。我们面前有两项主要任务。首先，我们需要指定未知量wα，w，w*, andc公司*（x，z），以及最优投资政策π*（x，z）。其次，我们需要证明上述假设的分割政策是最优的。3.1降维并应用勒让德变换（3.1）中的值函数V相对于x和z为1–p阶齐次函数，即V（βx，βz）=β1–pV（x，z），对于所有β>0。

因此，如果我们定义函数U byU（w）=V（w，1），对于≥ 0，那么我们可以从U byV（x，z）=z1–pU（x/z），（3.4）中恢复V，对于所有（x，z）∈ R+。从（3.2）和（3.4）中，我们推导出以下FBP，即w的U∈ [0，w*], 其中，我们将v与v等同，（3.2）的解：δU=max^π∈RπUw+σπUw+ 最大α≤^c≤1“^c1–p1–p–^cUw#，U（0）=0，（1–p）U（w*) – w*Uw（w*) = 0，pUw（w*) + w*Uww（w*) = 0。（3.5）在我们得到^π之后*和^c*, 那么我们就可以得到π*和c*对于V的问题，通过π*（x，z）=^π*（x/z）z和c*（x，z）=^c*（x/z）z。因为V相对于x增大且凹，所以U相对于w增大且凹；因此，我们将（3.5）中的HJB方程改写如下：κUwUww+δU=α1–p1–p–αUw，0≤ w≤ wα，p1–pUw（w）–1–pp，wα<w<w，1–p–Uw，w≤ w≤ w*,（3.6）其中κ在（2.7）中定义。因为非线性项Uw/UwwandUw（西）–1–ppin（3.6），应用Legendre变换将该微分方程线性化是很自然的。具体而言，通过y=UwandbU（y）=U（w）–wy分别定义对偶变量y和相应的凸对偶函数bu。此外，定义y=Uw（0）和y*= Uw（w*). 然后，（3.6）中的微分方程变成以下线性微分方程：ybUyy+κδybUy–κδbU=καy–α1–p1–p！，α–p≤ y≤ y、 –κp1–py–1–pp，1<y<α–p，κy–1–p！，y*≤ y≤ 1.（3.7）作为线性的交换，对于未知边界y>α–p，边界条件U（0）=0变为自由边界条件bU（y）=0=购买（y）。此外，（3.5）中的平滑粘贴和超级接触条件分别变为，（1–p）bU（y*) + py公司*购买（y*) = 0，（3.8）和购买（y*) + py公司*bUyy（y*) = 0，（3.9）在未知自由边界0<y*< 在下面的命题中，我们给出了这个自由边界问题的解。提案3.2。假设1+κδ<p<1。