非流动性CDS交易对手的信贷价值调整

由于我们假设τ与布朗运动W无关，因此满足了雅科德假设（例如，雅科德假设见[20]），因此在M（G）中至少存在一个等价的可度量。如【1】、【16】、【19】和信贷风险领域的其他条款所示，如果QH∈ M（G），然后是氡Nikodym导数LH=（LHt）t∈[0，T]对于从QHto P到G的概率测度的变化，由ht=L（T）·LH（T），（9）给出，其中L（T）=exp-θt+θWtandLH（t）=expHτIτ≤t型- λPZt∧t型eHs- 1.ds公司,其中H=（Ht）t∈[0，T]是一个G适应的过程，满足一些技术条件（参见示例[19]）。此外，例如，在[1]中显示，测量qhs下的默认时间τ的强度λqhto等于λQHt=eHt·λpf，对于任何t∈ [0，T]。我们看到，对于Q的唯一等效测量变化，L（t）等于Radon-Nikodym导数*对于F上的P，由于τ与wt无关，那么L（t）与τ无关。由于H是一个G适应过程，因此通常LH（t）不独立于Wt。此外，通常LH（t）不独立于τ。2.2.1违约市场的不完备性如[16]和[19]所示，集合M（G）包含很多元素，这意味着将违约风险引入违约自由市场会带来某种形式的不完备性。具体而言，在【19】中，作者表明，对于任何t∈ [0，T]）属于M（G），并且[16]中的作者表明，M（G）中存在一个度量QHin，其hT6=0，因此，由于M（G）中度量的任何凸组合也属于M（G），我们得到M（G）中有很多元素。

因此，我们面临着缩小等价鞅测度集的问题。缩小集合M（G）的一种方法是通过引入所谓的广义无风险资产来完善可违约市场。例如，广义无风险资产是在默认时间τ支付的资产，即CDS可以是其中之一。然后，如果此类合同是动态交易的，则可以从这些合同的价格中提取特定交易对手的风险中性强度λqhf，并使用它来计算CVA。这种强度可被视为隐含的风险中性强度。[1]的作者认为，动态交易的广义无风险资产的存在意味着M（G）中等价鞅测度的唯一性，因此是一个完整的市场。因此，如果可以从动态交易的CDS价格中提取λqh，则应使用λqh进行定价。因此，如果我们的目标是计算具有流动CDS合约的交易对手的CVA，那么我们应该从CDS价格中提取风险中性强度（例如通过自举技术），并将其用于CVA计算。然而，如果我们考虑一个没有液体CDS或根本没有CDS的对手，那么我们应该使用其他技术从setM（G）中选择等价鞅测度。我们将在以下小节中介绍其中一些方法。2.2.2不完全套期保值和最小鞅测度在本小节中，我们考虑了交易对手没有liquidCDS的情况，因此，我们处理了缩小等价鞅测度集M（G）的问题。F¨ollmerand Sondermann在[10]中介绍了最小鞅测度与支付（Sτ）与自融资策略产生的最终财富之间的方差最小对冲之间的联系。

在经济方面；在复制误差（“跟踪误差”）尽可能小的情况下，从自我融资策略的角度近似Contatingent索赔。正如El Karoui等人[1]所述，不完全套期保值与最小鞅测度有关，最小鞅测度由以下两个条件定义：等价鞅测度QH∈ 如果QH=P，则称M（G）为最小鞅测度；如果P下与W正交的每个（P，G）-平方鞅都是（QH，G）-鞅，则称M（G）为最小鞅测度。根据[1]中的命题6，我们得到了最小鞅测度等于Q，即对于每t，由Ht=0定义的等价鞅测度∈ [0，T]。这对应于与违约风险相关的零风险溢价。换句话说，我们可以将定价测度选择为由Radon-Nikodym导数=（Lt）t定义的最小鞅测度Qd∈[0，T]，其中lt=exp-θt+θWt, 对于任何t∈ [0，T]。（10） 3 CVA计算CVA由以下公式给出（例如，见绿色[11]中的（3.11）），CV A=方程式e-rτ（1- R） V+τ, （11） 其中QH∈ M（G），常数R是回收率（LGD=1- R） V+是正的表达式。还假设V=（Vt）t∈[0，T]是一个F适应过程，即V中唯一的不确定性是来自（7）给出的价格S的随机性。由于交易对手不存在任何动态交易的对冲工具，我们决定采用第2.2.2小节中总结的经过充分研究的方法缩小集合M（G）。

因此，我们使用（10）定义的等价鞅测度Qd，得到Cv a=等式e-rτ（1- R） V+τ= (1 - R） EP公司e-rτV+τLτ= (1 - R） Z∞EP公司e-rtV+tLtfP（t）dt=（1- R） Z∞均衡器*e-rtV+tfP（t）dt=（1- R） Z∞均衡器*e-rtV+tλPe-λPtdt，其中第二个等式是通过等价鞅测度的变化得到的，第三个等式是通过lti与τ无关，且τ与布朗运动W无关的事实得到的。等价鞅测度Q*由Radon-Nikodym导数Z给出*定义（8）。我们注意到，对于持有流动CDS的交易对手，我们将从CDS分布中找到隐含的风险中性违约强度λqh，并使用它来计算CVA，即我们将得到CV a=EQHe-rτ（1- R） V+τ= (1-R） Z∞均衡器*e-rtV+tλQHe-λQHtdt。3.1违约概率基于预期违约频率我们选择了一组同时拥有流动性5年期CDS和预期违约频率（EDF）的公司，发布在穆迪CreditEdge Portal上，时间间隔以天为单位。EDF是穆迪根据Kealhofer-McQuown-Vasicek（KMV）模型计算的真实世界违约概率的一种具体的前瞻性度量。其主要思想是，公司股本可被视为标的资产的看涨期权，其执行价格等于公司债务的面值。然后使用映射将到默认值的距离转换为历史默认值。正如【3】中所讨论的，CDS利差并不是纯粹的信用风险度量，需要一种方法来将流动性溢价从中分离出来。因此，清洁的CDS利差将用于推导隐含违约概率，其中清洁的CDS利差意味着无流动性溢价的CDS利差。那么，对于everyi∈ I对于每个公司j∈ J我们从清洁的CDS扩散中引导默认强度，并用λCDSij表示。

此外，我们可以使用以下公式λEDFij=- ln（1- pEDFif），其中pEDFif是EDF——隐含的1年违约概率。因此，我们有一个对序列（λEDFij，λCDSij）（i∈一、 j∈J） 。与[6]类似，我们假设EDF隐含违约强度λedfijan的自然分布与CDS隐含违约强度λCDSij的自然分布之间存在一个简单的线性模型，即ln（λEDFij）=γi+γiln（λCDSij）+i，其中是一个标准正态随机变量。然后，我们使用获得的参数γi和γ来计算不具有流动性CDS的交易对手的违约强度，方法如下：让C表示具有非流动性CDS的瑞典银行交易对手集。首先，我们计算附录4中讨论的清洁CDS代理，然后我们假设上述线性关系也适用于对（λCdsProxy，λPic）i∈一、 c类∈C、 也就是说，我们有ln（λPic）=γi+γiln（λCDSproxyic）+i，其中对于每个i∈ I和c∈ 我们得到λpic是真实世界的强度。因此，我每天∈ I和针对每个交易对手c∈ C、 默认时间τ的累积分布函数pic（t）通过以下公式计算得出pic（t）=P（τ≤ t） =1- e-λPict，其中λPic=eγi+γiln（λCDSproxyic）。参考文献【1】C.Blanchet Scalliet、N.El Karoui和L.Martellini不确定时间范围动态资产定价理论，《经济动力学与控制杂志》（2005）【2】T.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski信贷风险定价和对冲：复制和均值方差方法。（2004）[3]D.Brigo、M.Predescu和A.Capponi Credit Def ault Swaps LiquidityModeling：一项调查。（2010）【4】G.Callegaro、M.Jeanblanc和B.Zargari Carthaginian enlargementof Filteration。ESAIM：《概率与统计》17550-566（2013）[5]K.Chourdakis，E.Epperlein，M.Jeannin和J。

McEwen穿过CVA的横截面。野村证券（2013）[6]D.D u ffe、A.Berndt和R.Douglas通过违约掉期利率和预期违约频率衡量违约风险溢价。（2004）【7】D.Duffee和H.Richardson《连续时间中的均值方差对冲》，《应用概率年鉴》（1991）【8】H.F¨ollmer和M.Schweizer《不完全信息下的对冲未定权益》，联合随机分析，随机专著，5389-414（1990）【9】H.F¨ollmer和M.Schweizer《最小鞅测度》。定量金融百科全书。（2010）[10]H.F¨ollmer和D.Sondermann对非冗余或有目标的对冲。（1985）[11]A.绿色XVA。信贷、融资和资本估值调整。威利金融系列。（2016）[12]J.Gregory交易对手信贷风险和信贷价值调整。威利金融。第二版。（2012）[13]W.Heynderickx、J.Cariboni、W.Schoutens和B.Smits研究了风险中性和实际违约概率之间的关系：信贷风险溢价。应用经济学杂志。（2016）[14]J.H ull期权、期货和其他衍生品，第七版，普伦蒂斯大厅。（2008）[15]H.Hult、F.Lindskog、O.Hammarlid和C.Rehn风险和投资组合分析。原则和方法。Springer（2012）【16】B.Iftimie、M.Jeanblanc、T.Lim和H.Nguyen利率变化下的优化问题arXiv:1305.7309（2013）【17】R.Jarrow，D.Land o，S.Turnbull信用风险利差期限结构的马尔可夫模型。（1997）[18]M.Jeanblanc和M.Rutkowski违约风险建模和对冲。（2003）[19]M.Jeanblanc和M.Leniec信息在定价违约敏感或有Cl目标中的作用。《国际理论与应用金融杂志》（2015）【20】M.Jeanblanc、M.Yor和M.Chesney，《金融市场的数学方法纽约：Springer Verlag（2009）【21】I。

Karatzas金融数学讲座，CRM专著系列，蒙特利尔，第8卷。（1997）[22]H.Markovitz投资组合选择：有效的投资多元化。（1967）[23]R.McDonald D erivatives Markets，第二版，Addison Wesley。（2006）[24]R.Stulz风险管理和衍生品，第一版，西南学院出版社。（2003）4附录：野村方法计算代理CDS利差的横截面方法基于[5]，可总结如下。我们确定一组评级、地区和行业，并选择具有liquidCDS利差的交易对手。我们为每个交易对手贴上评级、地区和行业标签。给定交易对手的代理CDS利差为Proxyi=MglobalMrating（i）Mregion（i）Msector（i），其中：oMglobalis是一个全球因素oMrating（i）是交易对手i评级的因素，oMregion（i）是交易对手i所在地区的因素，oMsector（i）是交易对手i所在行业的因素，例如，对于一个来自北美、行业为F、评级为AA的交易对手，我们将有sproxyi=MglobalMAAMNorthAmericaMF。正如[3]中所讨论的那样，CDS利差并不是纯粹的信贷风险度量，需要一种方法来将流动性溢价从中分离出来。

因此，应使用清洁的CDS代理价差来推导隐含的违约概率，其中清洁的CDS代理价差是指没有流动性溢价的CDS代理价差。4.0.1确定横截面法因素的方法要确定横截面法的因素，我们可以遵循以下步骤从Mglobal开始列举所有因素，n是所有因素的总数（例如，对于7个地区、7个评级和11个部门，n=26）o表示yi=ln（Sproxyi）和xj=ln（Mj）oA=[Aij]是0和1的矩阵，然后我们可以编写模型asyi=nXj=1Aijxj。我们希望找到使代理价差尽可能接近市场价差的最佳x。

我们可以将“尽可能接近”定义为“最小化对数价差的总平方差”然后，找到最佳x仅仅意味着进行线性回归。5从CDS市场估计真实世界的违约概率这个想法可以总结在以下步骤中。步骤1确定一组评级、地区和部门步骤2选择一组具有流动性CDS的公司步骤3为在步骤4中选择的每个具有评级、地区和部门的公司标记每个具有评级的交易对手，地区和部门选择在步骤1中，步骤5使用横截面方法计算每个交易对手的CDS代理（见附录4）步骤6从每个交易对手的CDS代理中引导默认强度步骤7计算实际违约强度λPStep 8使用默认强度λPto计算违约概率在附录4中，我们提供了一种计算CDS代理的方法在上述步骤5和第3.1小节中，我们提出了一种基于CDS代理价差和预期违约频率（EDF）计算实际违约概率的方法。作为一个例子，我们在下一节中介绍了一种方法，该方法可用于使用预期违约频率（EDF）从CDS市场估算真实世界的违约概率。