市场可观测利率模型中的无套利插值

远期伦敦银行同业拆借利率由l（t，t）=δ插值B（t，t）B（t，t+δ）- 1.=δB（t，t）B（t，tη（t））B（t，tη（t））B（t，tη（t）+1）B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1.=δB（t，t）B（t，tη（t））（1+δL（t，tη（t）））B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1.（13） 对于方法1，其为l（t，t）=δ（1+（Tη（T））- T）L（T，Tη（T）-1） ）（1+δL（t，tη（t）））·（1+（tη（t）+1- （T+δ））L（T，Tη（T）））-1.- 1.图3显示了在未来四年至六年的连续起始日期内插入的三个月期伦敦银行同业拆借利率。分段线性图实际上是两个非常接近的图12 ERIK SCHL¨OGLARBITRAGE自由期限结构极化12短期利率动态0.030.040.050.060.070.080.090.10.1100.060.110.170.220.280.330.390.440.50.550.60.660.710.770.820.880.930.991.041.11.151.261.261.321.371.431.481.541.591.651.71.761.811.871.921.98年内时间固定到期瞬时Fwd费率0.040.050.060.070.080.090.10.110.120.1300.050.10.140.190.240.290.330.380.430.480.520.570.620.660.710.760.810.850.90.9511.041.091.141.191.231.281.331.381.421.471.521.571.611.661.71固定到期时间瞬时Fwd费率0.030.040.050.060.070.080.090.10.110.120.1300.050.110.160.210.260.320.370.420.470.530.580.630.680.730.790.840.890.9411.11.151.211.261.311.361.421.471.521.571.631.681.731.781.841.89年内短费率vs固定TTM Fwd费率0.040.0450.050.0550.060.0650.070.0750.080.08500.060.130.190.250.310.380.440.50.560.620.690.750.810.870.9411.061.121.191.251.311.371.441.51.561.621.691.751.811.871.94年份时间图4。日数细分插值下的利率动态难以区分：日数分数插值和零息票债券价格的对数线性插值导致几乎相同的三个月期伦敦银行同业拆借利率，尽管由此产生的瞬时远期利率非常不同。

这也意味着，如果只关注远期三个月伦敦银行同业拆借利率等利率，那么使用零息票债券价格的对数线性插值（loglinearinterpolation）在所有意图和目的下都是无套利的。按照方法2引入短期债券波动率，仅当利率期限结构改变斜率时，才会对内插伦敦银行同业拆借利率产生差异。图3中的垂直网格线表示原始离散期限中应计期间之间的边界。在期限结构斜率变化之前的一个应计期内，开始日期为的内插远期伦敦银行同业拆借利率偏离线性内插图和“向外”曲线。这是因为给定开始日期的远期伦敦银行同业拆借利率是使用之前的远期伦敦银行同业拆借利率和随后两个离散的开始日期Tη（T）插值的-1，Tη（T）和Tη（T）+1，通过在（13）中适当插入（10）可以很容易看出。5.2. 速率动力学。图4和图5说明了这两种方法对插值率的影响。正如前一节所述，等式（8）和（9）不仅意味着成熟度维度的瞬时利率不连续，而且还意味着时间维度的不连续。这一点在日数分数插值下的连续复合短期利率动力学中尤为明显：该利率在离散期限结构的每个应计期内具有决定性的演变，并在应计期边界跳跃。对于间接远期利率f（t，t），只要到期时间t- t大于应计期间长度δ。远期利率的到期日T决定了图4中使用的远期伦敦银行同业拆借利率。

日数细分插值下的利率动态可区分：日数分数插值和零耦合债券价格的对数线性插值导致几乎相同的三个月期伦敦银行同业拆借利率，尽管结果的瞬时远期利率非常不同。这也意味着，如果只关注远期三个月伦敦银行同业拆借利率等利率，那么使用零耦合债券价格的对数线性插值在所有意图和目的下都是无套利的。仅当利率期限结构改变斜率时，按照方法2引入短期债券波动率才会对插值伦敦银行同业拆借利率产生影响。图3中的垂直网格线表示原始离散期限内应计期间之间的边界。在期限结构斜率变化之前的应计期内，开始日期为的内插远期伦敦银行同业拆借利率偏离线性内插图和“向外”曲线。这是因为给定开始日期T的远期伦敦银行同业拆借利率是使用之前和之后两个离散期限开始日期Tη（T）的远期伦敦银行同业拆借利率进行插值的-1，Tη（T）和Tη（T）+1，通过在（13）中适当插入（10）可以很容易地看到。5.2. 速率动力学。图4和图5说明了这两种方法对插值速率的影响。不仅如前一节所述，等式（8）和（9）在到期日维度的瞬时利率中隐含不连续性，而且在时间维度中也隐含不连续性。在按日数分数插值的连续复合短期利率动力学中，这一点尤为明显：该利率在离散期限结构的每个关键期内都会发生决定性的演变，并在应计期边界跳跃。

对于瞬时远期利率f（t，t），只要到期时间t，动态都是随机的- t大于应计期间长度δ。远期利率到期日T决定无套利期限结构插值13无套利期限结构插值13短期利率动态0.040.050.060.070.080.090.10.110.1200.060.110.170.220.280.330.390.440.50.550.60.660.710.770.820.880.930.991.041.11.151.211.261.321.371.431.481.541.591.651.71.761.811.871.921.98时间年固定到期日瞬时Fwd费率0.040.050.060.070.080.090.10.110.120.1300.050.10.140.190.240.290.330.380.430.480.520.570.620.660.710.760.810.850.90.9511.041.091.141.191.231.281.331.381.421.471.521.571.611.661.71固定到期时间瞬时Fwd费率0.020.040.060.080.10.120.1400.050.090.140.180.230.270.320.360.410.450.50.540.580.630.670.720.760.810.850.90.940.991.031.081.121.171.211.261.31.351.391.441.481.531.571.621.66年内短费率与固定TTM Fwd费率0.040.050.050.060.060 50.070.0750.080.08500.060.130.190.250.310.380.440.50.560.620.690.750.810.870.9411.061.121.191.251.311.371.441.51.561.621.691.751.811.871.94时间年份图5。短期债券波动性插值下的利率动态相互作用，因此，如果考虑固定期限的瞬时远期利率，该利率将始终从相同的远期伦敦银行同业拆借利率中插值。由于LIBORdynamics被建模为连续的，因此插值速率不会跳跃（参见图4右上角的图）。另一方面，持有到期时间（TTM）意味着，当到期日T跨越原始离散期限结构中各关键期之间的边界时，会出现跳跃。图4）中的两个图说明了这一点。

此处显示的瞬时远期利率的到期时间为1.25δ，导致在期限结构的每个δ间隔的四分之三处出现跳跃；这些点由绘图中的垂直网格线标记。因此，前向速率曲线上的不同点在不同时间跳跃。如图5所示，可以对短期债券波动性相互作用下的瞬时利率动力学进行相同的观察。唯一的定性差异是，现在到期时间小于δ的利率，包括连续组合短期利率，也具有随机动态性（参见图5左上图）。如前一节所述，观察到的不连续性仅适用于瞬时速率。更具实际意义的是，任意长度应计期的内插利率，例如“brokendate”到期日t 6=tη（t）的δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率L（t，t），将具有连续动态：在时间线上的勒贝格测度下，瞬时利率几乎在任何地方都是连续的，因此，一旦考虑到应计期大于最终期限，任何跳跃都会被整合出来。图5：。短期债券波动率插值下的利率动态，在插值中使用远期伦敦银行同业拆借利率，因此，如果考虑固定期限的瞬时远期利率，该利率将始终从相同的远期伦敦银行同业拆借利率中插值。由于伦敦银行同业拆借利率动态被建模为连续的，因此内插利率不会跳跃（参见图4右上角的曲线图）。另一方面，持有到期时间（TTM）固定意味着，当到期日T跨越原始离散期限结构中应计期之间的边界时，会出现跳跃。图4）中底部的两个图说明了这一点。

此处显示的瞬时远期利率的到期时间为1.25δ，导致在期限结构的每个δ间隔的四分之三处出现ina跳跃；这些点在绘图中由垂直网格线标记。因此，远期利率曲线上的不同点在不同的时间跳跃。对于短期债券波动率插值下的瞬时利率动力学，也可以进行相同的观察，如图5所示。唯一的定性区别是，到期时间小于δ的无息利率（包括连续复合短期利率）也具有随机动力学（参见图5左上角的曲线图）。如前一节所述，观察到的不连续性仅适用于瞬时速率。更具实际意义的是，任何任意长度的应计期的内插利率，例如“中断日期”到期日t 6=tη（t）的δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率L（t，t），将具有连续动态性：在时间线上的勒贝格测度下，瞬时利率几乎在任何地方都是连续的，因此，一旦有人认为应计期大于最小长度，任何跳跃都会被整合出来。14 ERIK SCHL–OGLARBITRAGE自由期限结构公司140.260.2650.270.2750.280.2850.293.013.023.033.043.053.063.073.083.093.13.113.123.133.143.153.163.173.183.193.23.213.223.233.243.25到期日图60.260.2650.270.2750.280.2850.293.013.023.033.043.053.063.073.083 3.093.13.113.123.133.143.153.163.173.183.193.23.213.223.233.243.25到期日图7产生的隐含波动率从日数分数插值到短键波动插值6。破损日期帽：另一个有趣的地方是插值方法的选择如何影响导数的定价。在这种情况下，内插利率的波动性至关重要。

当将离散期限模型转换为连续期限模型时，人们面临着通过波动率或利率插值来完成模型的权衡。通过计算所有到期日的利率波动率，例如所有δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率L（·，T），T∈ [0，T*- δ] 与MSS和BGM一样，该模型是完全指定的，无需插入利率。另一方面，当插值利率作为离散期远期伦敦银行同业拆借利率的函数给出时，其波动率可以通过应用伊藤引理来计算。前一种方法的缺点是，对于δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率以外的利率，其动态性相当棘手，而后一种方法意味着“brokendate”远期伦敦银行同业拆借利率L（t，t），t 6=tη（t）不是对数正态分布。将伊藤引理应用于（13），L（t，t）的相对挥发度为vol[L（t，t）]=L（t，t）-1·N- 1Xi=0L（t，Ti）u1δuB（t，t）B（t，tη（t））（1+δL（t，tη（t）））B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1PL（t，Ti）λ（t，Ti）对于方法1，这将变为L（t，t）]=1δL（t，t）-1u（Tη（T）- T）1+δL（T，Tη（T））1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T））λ（T，Tη（T）-1） L（t，tη（t）-1） +（1+（Tη（T））- T）L（T，Tη（T）-1） ）·δ（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））- （Tη（T）- T）（1+δL（T，Tη（T）））（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））2λ（T，Tη（T））L（T，Tη（T））P图6和图7说明了前几节中介绍的两种插值方法如何影响“中断日期”Caplet的价格。在每个图中，我们在离散期限结构（即。

每个图的两个端点上的CAPlet基于图6极化140.260.2650.270.2750.280.2850.293.013.023.033.043.053.063.073.083.093.13.113.123.133.143.153.163.173.183.193.23.213.223.233.243.25成熟度图60.260.2650.270.2750.280.2850.293.013.023.033.043.053.063.073.083.093.13.113.123.133.143.153.163.173.183.193.23.213.223.233.243.25到期日图7按日数分数插值与按短期债券波动率插值得出的隐含波动率6。破损日期帽：另一个有趣的地方是插值方法的选择如何影响导数的定价。在这种情况下，内插利率的波动性至关重要。当将离散期限模型转换为连续期限模型时，人们面临着通过波动率或利率插值来完成模型的权衡。通过计算所有到期日的利率波动率，例如所有δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率L（·，T），T∈ [0，T*- δ] 与MSS和BGM一样，该模型是完全指定的，无需插入利率。另一方面，当插值利率作为离散期远期伦敦银行同业拆借利率的函数给出时，其波动率可以通过应用伊藤引理来计算。前一种方法的缺点是，对于δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率以外的利率，其动态性相当棘手，而后一种方法意味着“brokendate”远期伦敦银行同业拆借利率L（t，t），t 6=tη（t）不是对数正态分布。

将伊藤引理应用于（13），L（t，t）的相对挥发度为vol[L（t，t）]=L（t，t）-1·N-1Xi=0L（t，Ti）u1δuB（t，t）B（t，tη（t））（1+δL（t，tη（t）））B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1PL（t，Ti）λ（t，Ti）对于方法1，这将变为L（t，t）]=1δL（t，t）-1u（Tη（T）- T）1+δL（T，Tη（T））1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T））λ（T，Tη（T）-1） L（t，tη（t）-1） +（1+（Tη（T））- T）L（T，Tη（T）-1） ）·δ（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））- （Tη（T）- T）（1+δL（T，Tη（T）））（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））2λ（T，Tη（T））L（T，Tη（T））P图6和图7说明了前几节中介绍的两种插值方法如何影响“中断日期”Caplet的价格。在每个绘图中，我们在离散期限结构的一个δ–应计期内改变caplet基础的远期LIBOR L（t，t）的到期日（即，每个图的两个端点上的CAPlet基于图7日均数分数插值与短期债券波动率插值得出的隐含波动率6。破损日期CAPlet：另一个比较点是插值方法的选择如何影响衍生产品的定价。在这种情况下，插值利率的波动性至关重要。）总工程师。当将离散期限模型扩展到连续期限时，人们面临着通过波动率或利率插值完成模型的权衡。通过计算所有到期日的利率波动率，例如所有δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率L（·，T），T∈ [0，T*-δ] 与MSS和BGM一样，该模型是完全特定的，无需插入利率。另一方面，当插值利率作为离散期远期伦敦银行同业拆借利率的函数给出时，可以通过应用伊藤引理计算其波动率。

前一种方法的缺点是，对于δ-复合远期伦敦银行同业拆借利率以外的利率，其动态性相当棘手，而后一种方法意味着“中断日期”远期伦敦银行同业拆借利率L（t，t），t 6=tη（t）是非对数正态的。将伊藤引理应用于（13），L（t，t）的相对挥发度为vol[L（t，t）]=L（t，t）-1·N-1Xi=0L（t，Ti）δB（t，t）B（t，tη（t））（1+δL（t，tη（t）））B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1.L（t，Ti）λ（t，Ti）对于方法1，该值变为δL（t，t）-1.（Tη（T）- T）1+δL（T，Tη（T））1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T））λ（T，Tη（T）-1） L（t，tη（t）-1） +（1+（Tη（T））- T）L（T，Tη（T）-1） ）·δ（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））- （Tη（T）- T）（1+δL（T，Tη（T）））（1+（Tη（T）- T）L（T，Tη（T）））λ（T，Tη（T））L（T，Tη（T））图6和图7说明了前一节中介绍的两种插值方法如何影响“中断日期”CAPlet的价格。在每个图中，我们在离散期限结构的一个δ–累积期内改变caplet基础上的远期伦敦银行同业拆借利率L（T，T）的到期日T（即，每个图的两个端点上的caplet基于非插值利率）。无罢工风险的期限结构插值15是在货币水平上的1.25倍，波动率函数是二维指数衰减的。这一选择应该提供一个典型的例子，远离金钱上的平凡、一维恒定波动的情况。通过蒙特卡罗模拟生成caplet价格；每个图中的中间线给出了蒙特卡罗估计，而外侧线是蒙特卡罗估计两侧的两个标准偏差的置信区间边界。100万次MC运行使这些置信边界相当紧密。我们用Black/Scholes隐含波动率表示caplet价格，即。