市场可观测利率模型中的无套利插值

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英文标题：
《Arbitrage-Free Interpolation in Models of Market Observable Interest
  Rates》
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作者：
Erik Schl\\\"ogl
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Models which postulate lognormal dynamics for interest rates which are compounded according to market conventions, such as forward LIBOR or forward swap rates, can be constructed initially in a discrete tenor framework. Interpolating interest rates between maturities in the discrete tenor structure is equivalent to extending the model to continuous tenor. The present paper sets forth an alternative way of performing this extension; one which preserves the Markovian properties of the discrete tenor models and guarantees the positivity of all interpolated rates.
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中文摘要：
假设利率对数正态动态的模型，根据市场惯例进行组合，如远期伦敦银行同业拆借利率或远期掉期利率，可以在离散的期限框架中初步构建。在离散期限结构中的到期日之间插入利率相当于将模型扩展到连续期限。本文件阐述了执行此扩展的替代方法；一种保持离散期限模型的马尔可夫性质并保证所有插值利率的正性的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Arbitrage-Free_Interpolation_in_Models_of_Market_Observable_Interest_Rates.pdf (1.17 MB)

2022-6-10 05:11:40 上传

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关键词：利率模型 无套利 Mathematical Quantitative Applications

市场可观察利率模型中的无套利插值。假设利率对数正态动力学的模型，这些利率是根据市场惯例组成的，例如远期伦敦银行同业拆借利率或远期掉期利率，可以在离散的期限框架中初步构建。在离散期限结构中的到期日之间插入利率相当于将模型扩展到连续期限。本文件阐述了执行此扩展的替代方法；一种保持离散期限模型的马尔可夫性质并保证所有插值率的正性的方法。从业者拥有Black/Scholes长期定价的上限、利率和其他利率衍生品合约，就像Formulae一样，这一做法通常归因于Black（1976）的工作。最初，这种方法非常注重单个合同的定价，而不考虑不同固定收益工具之间的平衡关系。Hoand Lee（1986）的开创性论文推动了对整个收益率曲线模型和初始数据的进一步研究，其中收益率曲线要么以零息票债券价格给出，要么以连续复合短期利率或远期利率给出。Heath、Jarrow和Morton（1992）（HJM）采用了后一种方法，他们开发了利率期限结构模型的一般框架，推导了瞬时远期利率的漂移条件，该条件在任何无套利模型中都必须满足。因此，这些模型的基本对象主要是数学构造，而不是市场可观测。桑德曼（1989，1994）和桑德曼（Sondermann）是第一个摆脱这种范式的人，他们构建了一个二项期限结构模型，将根据市场惯例（如三个月LIBOR）合成的短期利率作为基本模型变量。

Miltersen、Sandmann和Sondermann（1997）（MSS）将市场可观测利率建模为连续时间，并使理论发展与广泛的市场实践相一致，将CAP和FLOORSBY Black/Scholes类公式的定价嵌入到一致的HJM框架中。这一结果的关键假设是，LIBOR等可观察市场远期利率的相对波动性是确定性的。Brace、Gatarek和Musiela（1997）（BGM）解决了sucha模型构建中的关键问题，尤其是关于存在和度量关系的问题。鉴于确定性波动率假设，他们明确将远期伦敦银行同业拆借利率确定为截至各应计期结束的远期计量下的对数正态鞅。他们的标签市场型号日期：2001年11月22日。澳大利亚新南威尔士州百老汇，悉尼理工大学财经学院，邮政信箱123，2007年。电子邮件：Erik。Schlogl@uts.edu.au.The作者感谢马雷克·穆西埃拉（MarekMusiela）的有益讨论，但声称对任何遗骸负责。这是作为Schl¨ogl（2002a）出版的论文的一个较旧的工作论文版本（见论文末尾的参考文献）。参见Black和Scholes（1973）。参见Ho和Lee（1986）或El Karoui、Lepage、Myneni、Roseau和Viswanathan（1991）等论文。另见Sandmann和Sondermann（1994）以及Sandmann、Sondermann和Miltersen（1995）。如果扩散过程的二次变化由X（t）σdt给出，则其相对波动率X（t）为σ。关于这一假设意义的简洁处理，请参见Rady（1997）。2 ERIK SCHL–OGLseems已成为假设市场可观测利率对数正态性（在适当的概率测度下）的模型的公认描述符。

正如Jamshidian（1997）所证明的那样，同样的方法可以应用于远期掉期利率，以导出一个模型，该模型支持通过Black/Scholes型公式对掉期期权定价的市场实践。Miltersen、Nielsen和Sandmann（2001）使用类似的方法构建了一个非正常期货利率模型（由利率期货价格暗示），该模型嵌套了对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型。我们讨论的起点是Musiela和Rutkowski（1997）的工作，他们为对数正态市场模型的构建带来了重要的清晰性。除了明确推导不同到期日的远期指标之间的关系外，他们首先建立了一组离散到期日（期限结构）的非正规远期伦敦银行同业拆借利率模型，然后通过应用银行保函的假设将其扩展到一个连续的到期日，即所有远期利率的对数正态性，对于到期时间小于δ的所有零息票债券，复利期为δ，波动率为零。这使得将模型扩展到连续基调实际上规定了模型将如何在一组离散的自然度之间插值这一事实变得显而易见。请注意，在本文考虑的所有情况下，利率的随机动力学都是在连续时间内建模的。插值仅在成熟度维度中发生。此外，建模利率具有固定到期日（与固定到期时间相反）。

简单地说，所要解决的问题是，考虑到每年3月、6月、9月和12月开始的应计期三个月远期利率的连续时间动态性，如何确定明年8月到期的投资收益率的连续时间动态性。与MSS和BGM一样，为所有δ-复合远期利率指定对数正态动力学，具有明显的优势，即此类利率上的所有caplet和fl-oorlets都由Black/Scholes样公式进行估值。然而，这种优雅是有代价的。首先，不能保证使用cashproperty进行无套利，即尽管被建模为对数正态分布的远期伦敦银行同业拆借利率始终为正，但其他利率可能不是。第二，离散太诺模型的马尔可夫性质丢失；这一事实可能会在数值实现中造成相当大的问题，包括蒙特卡罗模拟，我们将在下面讨论。第三，人们可能会采取务实的观点，即在现实中，人们只观察到市场上离散数量的利率，其余的利率由选择的某种插值方法确定。因此，人们可能更倾向于模型的一个版本，它意味着未来日期的插值方法是透明和可处理的。正如Musiela和Rutkowski（1997）构建连续期限模型的方法所表明的那样，一旦确定了连续期限的波动率，人们就可以自由地对初始观察到的市场利率进行任意插值。此后，插值由无套利条件执行，必须进行数值计算。本文提出的将对数正态市场模型从离散期扩展到连续期的另一种方法解决了这些问题。

还值得注意的是，虽然对数正态市场模型的实际相关性使确定性波动率案例成为人们关注的自然焦点，但Musiela和Rutkowski的期限结构建模前瞻性方法适用于更为普遍的波动率规范，而这种普遍性也适用于此处给出的大部分结果。特别是，对于其他构建的期限不明确的模型，如Jamshidian（1997）的对数正态远期掉期利率模型，情况也是如此。在本论文中，对连续期限的扩展最初是通过确定地插入期限结构中最早（未来）日期之前到期的零息票债券价格（“短期债券”）来实现的，不仅针对初始期限结构，而且在任何未来时间，asMusiela和Rutkowski（1997）给出了一个例子。无套利期限结构插值3井（第1节）。在任何时间点，长期债券的插值都由无风险条件决定（第2节）。从两个相邻的离散伦敦银行同业拆借利率（discretetenor LIBORs）中插入短期债券价格，会引入短期债券和相关利率的波动性（第3节）。所有内插利率的动态在离散十年期伦敦银行同业拆借利率的状态向量中保持马尔可夫（第4节）。第5节讨论了插值速率的性质。第6节分析了不符合披露期限结构的上限/下限合约定价的影响，第7节得出结论。1.

短期债券的插值给定一个过滤概率空间(Ohm, {Ft}t∈[0，T*], IPT*) 满足通常条件，设{WT*（t） }t∈[0，T*]表示d维标准维纳过程，并假设过滤{Ft}t∈[0，T*]是通常的IPT*–增加{WT产生的过滤*（t） }t∈[0，T*].该模型是在Musiela和Rutkowski（1997）的假设（BP.1）和（BP.2）的基础上建立的：对于任何日期T∈ [0，T*], 零息债券B（t，t），t的价格过程∈ [0，T]是IPT下的严格正特殊鞅*.（BP.2）对于任何固定的∈ [0，T*], 正向过程fb（t，t，t*) =B（t，t）B（t，t*),  t型∈ [0，T]遵循IPT下的鞅*.请注意，假设（BP.2）表示IPT*可以解释为时间T*远期衡量并暗示债券价格动态是无套利的。固定收益市场的建模对象是δ-复合远期利率，由（1）L（t，t）=δ定义-1.B（t，t）B（t，t+δ）- 1.由于复利符合伦敦银行同业拆借利率等利率的市场惯例，因此L（t，t）也称为远期伦敦银行同业拆借利率。考虑一个离散的语旨结构T={T，…，TN}。为了便于记法，让T=0也作为时间原点，Ti+1- Ti=δ i<N.速率的动力学L（·，Ti），1≤ i<N，如Musiela和Rutkowski（1997）提出的对数正态远期利率模型的离散男高音版本所示：（2）dL（t，Ti）=L（t，Ti）λ（t，Ti）dWTi+1（t），其中WTi+1是在时间Ti+1正向测量下的d维标准布朗运动pti+1和λ：IR×t→ IRdis是其自变量的确定函数，即每个L（t，Ti）都是IPTi+1下的一个正态鞅。定义函数η（t）：[t，TN[→ {0，…，N}注意，这里的重点是仅用于披露目的的对数正态远期LIBOR模型，因为这代表了文献的主流。

本文给出的结果同样适用于其他市场可观测利率模型的离散期限，如Jamshidian（1997）的对数正态远期掉期利率模型，或将此类模型扩展到更一般的波动率函数，如Andersen和Andreasen（1998）提出的水平相关libor波动率模型。有关模型构造的详细信息，请参见Musiela和Rutkowski（1997）。4 ERIK SCHL¨OGLasη（t）=最大{i∈ {1，…，N}| Ti-1<t}与Brace、Gatarek和Musiela（1997）以及Musiela和Rutkowski（1997）中提出的对连续男高音的扩展类似，我们最初提出以下1.1。假设。对于在期限结构t的下一个（未来）日期到期的所有零息票债券B（t，t），波动率为零，即t≤ t型≤ Tη（T）。因此，在Ti+1到期的零息票债券的价格由B（Ti，Ti+1）=（1+δL（Ti，Ti））给出-1之后，其动力学是确定的。由于它们是确定性的，到期时间小于δ的利率插值与指定债券价格的演变是相同的，并且可以为B（t，Ti+1），Ti<t<Ti+1，B（Ti+1，Ti+1）=1指定任意确定性动力学。由于明显的原因，这些动态应该是单调递增和连续的，这意味着将连续复合短期利率定义为一些正函数（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） ），以便（3）expZTi+1Tir（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） ）ds= 1+δL（Ti，Ti） i<NThus r（t）是Fη（t）-1–可测量的随机变量。因此，B（t，tη（t））=exp-ZTη（t）tr（s，L）（tη（s）-1，Tη（s）-1） ）ds请注意，虽然抽象变量r的动力学在每个Ti通常是不连续的，但与长度大于零的复合期相关的任何速率都将具有连续动力学。1.2. 备注。

在零息票债券B（t，tη（t））的零波动率的期限结构模型中≤ t型≤ TN，风险中性和滚动即期伦敦银行同业拆借利率措施是相同的，短期利率插值（3）是无套利的。证明：风险中性等价鞅测度通常定义为与将（持续复合）储蓄账户作为计价资产相关的测度，即在该测度下，储蓄账户贴现的所有资产都是鞅。通过插值确定的储蓄账户β（t）为β（t）=expZtr（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） ）ds=η（t）-2Yi=0（1+δL（Ti，Ti））exp（ZtTη（t）-1r（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） （ds）（4）对于Jamshidian（1997）提出的滚动即期伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）衡量，计分法是一种滚动策略，在这种策略中，资金被投资，然后再投资于即期伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）。在Tiat中投资一个货币单位LIBOR L（Ti，Ti）与购买k零息债券相同，这立即意味着模型产生的所有利率都将为正。假设1.1，（3）只是对米尔德森、桑德曼和桑德曼（1997）中的身份（23）的重申。无套利期限结构插值5B（Ti，Ti+1），其中k=B（Ti，Ti+1）。因此，在连续期限内，滚动时间t的值-超策略为（5）η（t）-2Yi=0（1+δL（Ti，Ti））B（t，Ti+1）B（Ti，Ti+1）自r（s，L）（tη（s）-1，Tη（s）-1） ）是否为FTi–可测量Ti≤ s<Ti+1，我们通过构造B（t，Ti+1）B（Ti，Ti+1）=exp（ZtTη（t）-1r（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） ）ds）用于Ti≤ t型≤ Ti+1。因此，数字过程是相同的，这意味着关联鞅测度必须是。如果（4）按基准资产贴现的储蓄账户是与该基准相关的鞅测度下的鞅，则（3）定义的插值与无套利一致。

仅用一个指标就足以验证这一点，根据上述论点，这一条件是微不足道的，因为储蓄账户的价值与伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）即期展期策略的价值完全相同。换句话说，由于在任何时候，最短剩余债券到离散日期B（t，tη（t））的动力学与连续复合短期利率的确定性插值一致，因此保留了所有鞅性质（因此没有套利）。即期伦敦银行同业拆借利率中的展期策略对应于从最短剩余债券到离散期限日期的展期策略，这一观察结果也导致我们得出以下1.3。备注。根据Ti时的信息，对于所有FTi+1–可测量事件，滚动即期伦敦银行同业拆借利率测量IPI与到期日Ti+1的远期测量相同，即IP{A | FTi}=IPTi+1{A | FTi} A.∈ FTi+1可将IPC解释为“粘贴”一系列有条件的正向措施。这适用于任何无套利期限结构模型。证明：这是即期LIBORroll–over策略（5）的时间t值可以写入的直接结果，与离散期限模型如何扩展到连续期限无关，如tη（t）-1–可测量因子乘以B（t，tη（t）），时间tη（t）正向测量的数值。2、长期债券的插值2.1。备注。给定离散期限模型和短期零息票债券B（t，tη（t））的插值，连续期限模型是完全特定的。在连续期限模型中，市场是（动态）完整的，因此agiven numeraire的鞅度量是唯一的。另一种证明，参见Schl¨ogl（2002b）中的引理3.3。关于这个证明的更正式的陈述，请参见Schl¨ogl（2002b）。ERIK SCHL¨OGLPROOF：考虑一对完全任意的时间点t，t，0≤ t<t≤ TN。