市场可观测利率模型中的无套利插值

由（6）B（t，t）=B（t，tη（t））给出的在tis中到期的零息票债券的时间价格η（t）-1Yi=η（t）（1+δL（t，Ti））-1.B（t，t）B（t，tη（t）），其中短期债券B（t，tη（t））通过插值给出，债券价格商在最右侧通过无套利要求B（t，t）B（t，tη（t））=ETη（t）[B（t，tη（t））-1 | Ft]如果选择插值（3），我们可以确定函数g，使得（7）B（t，t）B（t，tη（t））=ETη（t）[g（L（tη（t）-1，Tη（T）-1） ）| Ft]在对数正态分布的情况下，可以很容易地对右侧进行数值计算，并且只取决于L（t，tη（t）-1） 和确定性波动率。当采用伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）型组合的中间利率按日计数分数线性插值时，（7）对于任何满足假设（BP.1）和（BP.2）的模型都变得非常容易处理。定义r（s，L）（Tη（s）-1，Tη（s）-1） ）通过设置（8）expZTi+1tr（s，L（Tη（s））-1，Tη（s）-1） ）ds= 1+（Ti+1- t） L（Ti，Ti） Ti公司≤ t<Ti+1i。e、 r（s，L（Ti，Ti））=L（Ti，Ti）1+（Ti+1- s） L（Ti，Ti）ThenB（t，tη（t））=（1+（tη（t）- t） L（tη（t）-1，Tη（T）-1))-1和B（t，t）B（t，tη（t））=ETη（t）[B（t，tη（t））-1 | Ft]=1+（Tη（T）- t） ETη（t）[L（tη（t）-1，Tη（T）-1） | Ft]=1+（Tη（T）- t） L（t，tη（t）-1） 注意，在备注2.1中，如果始终规定了短期债券的插值，则可以对长期债券（包括初始模型输入）进行nomodelling自由插值。除了直观的吸引力之外，按日计数分数进行线性插值还具有额外的吸引力，即为所有时间和所有到期日提供一种一致的插值方法。其他常用的插值方法，如贴现因子的对数线性插值或连续复合收益率的线性插值，都不具备这种特性。无套利期限结构插值73。引入短期债券的波动性在某些应用中，将短期债券波动率设置为零可能并不令人满意。

假设1.1当然可以以任何满足套利约束的方式放宽。备注2.1保留有效性，即为了将模型扩展到连续期限，规定短期债券的动态是足够的。然而，当短键动力学是随机的时，方程式（3）中的约束givenby被Miltersen、Sandmann和Sondermann（1997）方程式（23）中瞬时远期利率的更一般公式所取代：（9）expZTi+1Tif（Ti，s）ds= 1+δL（Ti，Ti） i<其中f（Ti，s）是到期时间t的瞬时远期利率。引入内插短期债券波动性的一种简单且直观的方法是使内插利率依赖于最接近的剩余远期LIBORL（t，tη（t））。SetB（t，tη（t））-1=1+（Tη（T）- t） （α（t）L（tη（t））-1，Tη（T）-1) + (1 - α（t））L（t，tη（t）），其中lim&0α（Ti+) = 1即时消息%Ti+1-Tiα（Ti+) = 0 i=0，N- 1e。g、 α（t）=tη（t）- tTη（t）- Tη（T）-1在第2节中，期限较长的债券价格必须满足B（t，t）B（t，tη（t））=ETη（t）B（t，t）B（t，tη（t））英尺= 1+（Tη（T）- t）α（t）ETη（t）L（Tη（T）-1，Tη（T）-1） |英尺+(1 - α（t））ETη（t）L（t，tη（t））| Ft使用Rutkowski（1997）中IPTjgiven下的L（t，Tj）期望值：=1+（tη（t）- t） α（t）L（t，tη（t）-1) + (1 - α（t））L（t，tη（t））·1+（Tη（T）+1- Tη（T））L（T，Tη（T））表达式λ（s，Tη（T））dso- 1.1+（Tη（T）+1- Tη（T））L（T，Tη（T））| {z}“修正系数”！（10） “修正系数”通常非常接近1，除非波动率λ非常高或到期时间t- 它很长。

因此，插值基本上保持线性。8 ERIK SCHL–OGLNote指出，由于短键不再具有确定性，我们还需要评估推导出t<t<tη（t）的B（t，t）的适当期望：B（t，t）B（t，tη（t））=ETη（t）B（T，T）B（T，Tη（T））英尺= 1+（Tη（T）- T）α（T）L（T，Tη（T）-1) + (1 - α（T））L（T，Tη（T））·1+（Tη（T）+1- Tη（T））L（T，Tη（T））表达式λ（s，Tη（T））dso- 1.1+（Tη（T）+1- Tη（T））L（T，Tη（T））!Miltersen、Sandmann和Sondermann（1997）以及Brace、Gatarek和Musiela（1997）建立了连续期限对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型，即方程（2）适用于所有到期日∈ （0，T*- δ] ：dL（t，t）=L（t，t）λ（t，t）dWT+δ（t），λ：IR×（0，t*] → IRda参数的确定函数，即每个L（t，t）在IPT+δ下是对数正态鞅，其成熟度连续到时间范围t*.这样做的好处是，δ-复合利率的所有上限和下限将由市场从业者青睐的布莱克/斯科尔斯式公式定价。当人们试图为无法获得封闭式解决方案的工具定价时，这种方法的主要缺点就显露出来了。如果衍生工具的现金流不能很好地适应δ-复合利率的期限结构，甚至不能很好地适应许多流行的利率异类，那么情况已经如此。问题是，即使驱动布朗运动是一维的，连续期限模型也是有限维的。也就是说，这种模型的马尔可夫状态变量是整个收益率曲线。这导致所有类型的数值方法都存在相当大的困难。

即使是高维问题的最后手段蒙特卡罗模拟方法也无法处理有限维状态变量。从一开始，这些模型就有一部分“民间智慧”，即它们不允许有限维的表示。Brace、Gatarek和Musiela（1997）推导了在给定的波动性结构假设集下连续复合短期利率的动态，并表明它们具有高度的路径依赖性，因此在任何状态变量集上都不是马尔可夫的。最近，Corr（2000）将这一猜想正式化，并表明当模型由一维布朗运动驱动时，有限维表示只能存在于零波动的平凡情况下。他还推导了由多维布朗运动驱动的连续期限LIBOR模型的有限维表示性的类似限制条件。这些条件虽然没有排除有限维情况，但表明如果这些情况不存在，则不太可能实际有用。“收益率曲线”一词通常表示在整个时间范围内连续到期的期限结构利率。它可以用几种等效的方式表示，例如，在时间t，yt：（t，t）的所有连续复合产量曲线*] → 由b（T，T）=exp定义的yt（T）的IR{-yt（T）·T}无套利期限结构插值9前几节中提出的将离散期限模型扩展到连续期限的方法提供了一种解决此问题的方法。由于插值利率被指定为离散期限利率的函数，因此离散期限模型的马尔可夫结构得以保留。该结构的特点如下：4.1。备注。在离散期限对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型中，考虑利率L（·，Ti）在某些远期度量PTJ下的动态。

这些动力学是由n=| j组成的状态变量向量中的马尔可夫动力学- 1.- i |+1比率L（·，Tk），最小值（i，j- 1) ≤ k≤最大值（i，j- 1).证明：Musiela和Rutkowski（1997）表明，正向测量与IPTk+1之间的关系是由氡/尼科德姆导数IPTkDiptk+1给出的Ft=expZtγ（u，Tk，Tk+1）dWTk+1（u）-Ztγ（u，Tk，Tk+1）du式中，WTk+1是IPTk+1下的布朗运动，γ（t，Tk，Tk+1）=δL（t，Tk）1+δL（t，Tk）λ（t，Tk），λ（t，Tk）是L（t，Tk）的（确定性）挥发性。ThusdWTk（t）=dWTk+1（t）-δL（t，Tk）1+δL（t，Tk）λ（t，Tk）dt因为L（·，Tk）的动力学由dl（t，Tk）=L（t，Tk）λ（t，Tk）dWTk+1（t）所有速率L（·，Tk）与min（i，j）的联合动力学给出-1) ≤ k≤ 最大值（i，j-1） 在IPTmax（i+1，j）下，为（11）dL（t）=∧（t，L（t））dWTmax（i+1，j）（t）- ψ（L（t））`（L（t））dt其中L（t）=L（t，Tmin（i，j-1） ）L（t，Tmin（i，j-1)+1)...L（t，Tmax（i，j-1))如果d是驱动布朗运动的维数，则∧（t，L（t））是∧hk（t，L（t））=L（t，Tmin（i，j）的n×d矩阵-1)-1+h）λk（t，Tmin（i，j-1)-1+h）ψ（t，L（t））是一个n×n矩阵，其中ψhk（t，L（t））=L（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+k）如果k>h0，则`（L（t））是一个n维向量，k（L（t））=δL（t，Tmin（i，j-1)-1+k）1+δL（t，Tmin（i，j-1)-1+k）注意，马尔可夫特性取决于所考虑的概率度量。10 ERIK SCHL–OGLARBITRAGE自由项结构插值100.0550.0560.0570.0580.0590.0644.054.14.164.214.264.314.364.424.474.524.574.624.684.734.784.834.884.944.995.045.095.145.25.255.35.355.45.465.515.565.615.665.725.775.825.875.925.98到期瞬时fwd利率S图10.0550.0560.0570.0580.0590.0644.054.14.164.214.264.314.364.424.474.524.574.624.684.734.784.834.884.944.995.045.095.145.25.255.35.355.45.465.515.565.615.665.725.775.825.875.925.98到期瞬时fwd率图2按日数分数与日数分数的相互比较。

相反地，在IPTmin（i+1，j）下，我们有（12）dL（t）=∧（t，L（t））dWTmin（i+1，j）（t）+ψ0（L（t））`（L（t））dt，其中ψ0hk（t，L（t））= 1/2 L（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+k）如果1<k≤ h0另一方面，根据伊藤微分的马尔可夫性质，动力学由（11）分别给出。（12） 是马尔可夫L（t）。2该结果不依赖于伦敦银行同业拆借利率波动率λ（t，Tk）是其参数的决定性函数的假设。相反，如果λ（t，Tk）与L（t）中的某些或所有速率有关，则马尔可夫性质仍然成立。此外，通过备注1.3，上述结果表明，在滚动即期伦敦银行同业拆借利率测度下，任何利率L（·，Ti）在状态变量向量{L（t，Tk）| 0中都是马尔可夫的≤ k≤ i} 。5、查看插值利率本节说明了插值利率的一些特性，并对比了前几节中提出的两种插值方法。第2节中描述的方法称为方法1或按日数分数插值；第3节中介绍的方法将被标记为方法2或短期债券波动率插值。有关用于生成每个图的输入，请参阅附录中的表1。Brace、Musiela和Schl¨ogl（1998）的算法用于生成术语结构演化的样本路径。5.1. 期限结构。图1和图2显示了这两种方法如何插值瞬时远期利率。为了便于参考，每个图中都包含了由零息票债券价格的对数线性插值得出的逐步恒定利率。当从一个δ-复合期移动到下一个δ-复合期时，瞬时远期利率会跳跃。从方程式（8）和（9）可以看出，这是可以预期的，因为插值所依据的伦敦银行同业拆借利率的到期日在每个区间都不同。

f（0，T）上的瞬时远期利率在每个间隔T上确定∈ （Ti，Ti+1）通过计算-TlnB（0，T）B（0，Tη（T））图1轨道自由期限结构插值100.0550.0560.0570.0580.0590.0644.054.14.164.214.264.314.364.424.474.524.574.624.684.734.784.834.884.944.995.045.095.145.25.255.35.45.465.515.565.615.665.725.775.825.875.925 5.98到期瞬时fwd费率图10.0550.0560.0570.0580.0590.0644.054.14.164.214.264.314.364.424.474.524.574.624.684.734.784.834.884.944.995.045.095.145.25.255.35.355.45.465.515.565.615.665.725.775.825.875.925.98到期瞬时fwd率图2按天数分数与短b插值的比较在d挥发性相反的情况下，在IPTmin（i+1，j）下，我们有（12）dL（t）=∧（t，L（t））dWTmin（i+1，j）（t）+ψ0（L（t））`（L（t））dt，其中ψ0hk（t，L（t））= 1/2 L（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+k）如果1<k≤ h0另一方面，根据伊藤微分的马尔可夫性质，动力学由（11）分别给出。（12） 是马尔可夫L（t）。2该结果不依赖于假定伦敦银行同业拆借利率波动率λ（t，Tk）是其参数的决定性函数。相反，如果λ（t，Tk）与L（t）中的某些或所有速率相关，则马尔可夫性质仍然成立。此外，通过备注1.3，上述结果表明，在滚动即期伦敦银行同业拆借利率测度下，任何利率L（·，Ti）在状态变量向量{L（t，Tk）| 0中都是马尔可夫的≤ k≤ i} 。5.查看插值利率本节说明了插值利率的一些特性，并对比了前几节中提出的两种插值方法。第2节中描述的方法称为方法1或按日数分数插值；第3节中介绍的方法将被标记为方法2或具有短bon-dvolatility的插值。

有关用于生成每个图的输入，请参阅附录中的表1。Brace、Musiela和Schl¨ogl（1998）的算法用于生成术语结构演化的示例路径。5.1. 期限结构。图1和图2显示了这两种方法如何插值瞬时远期利率。为了便于参考，每个图中都包含了由零息票债券价格的对数线性插值得出的逐步恒定利率。当从一个δ-复合期移动到下一个δ-复合期时，瞬时远期利率会跳跃。从方程式（8）和（9）可以看出，这是可以预期的，因为插值所依据的伦敦银行同业拆借利率的到期日在每个区间都不同。f（0，T）上的瞬时远期利率在每个间隔T上确定∈ （Ti，Ti+1）通过计算-TlnB（0，T）B（0，Tη（T））图2日计数分数的插值与短键挥发性插值相反，在IPTmin（i+1，j）下，我们有（12）dL（T）=∧（T，L（T））dWTmin（i+1，j）（T）+ψ（L（T））`（L（T））dt和ψhk（T，L（T））=L（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+h）λ（t，Tmin（i，j-1)-1+k）如果1<k≤ 另一方面，根据Ito扩散的马尔可夫性质，动力学由（11）分别给出。（12） 是马尔可夫inL（t）。这一结果并不依赖于伦敦银行同业拆借利率波动率λ（t，Tk）是其参数的确定性函数的假设。相反，如果λ（t，Tk）与L（t）中的部分或全部速率水平相关，则马尔可夫性质仍然成立。此外，通过备注1.3，上述结果表明，在滚动即期伦敦银行同业拆借利率度量下，任何利率L（·，Ti）都是状态变量向量{L（t，Tk）| 0中的马尔可夫≤ k≤ i} 。5、内插利率研究本节阐述了内插利率的一些特性，并对比了前几节中提出的两种内插方法。

第2节中描述的方法称为方法1或按日数分数插值；第3节中介绍的方法将被标记为方法2或短期债券波动率插值。有关生成每个图所需的输入，请参阅附录中的表1。Brace、Musiela和Schl¨ogl（1998b）的算法用于生成术语结构演化的样本路径。5.1. 期限结构。图1和图2显示了这两种方法如何插值瞬时远期利率。为了便于参考，每个图中都包含了由零息票债券价格的对数线性插值得出的逐步恒定利率。当没有人从一个δ-复合期移动到下一个δ-复合期时，瞬时远期利率会跳跃。从方程式（8）和（9）可以看出，这是可以预期的，因为插值所依据的伦敦银行同业拆借利率的到期日在每个区间都不同。f（0，T）上的瞬时正向速率在每个间隔T上确定∈ （Ti，Ti+1）通过计算-TlnB（0，T）B（0，Tη（T））无套利期限结构插值11无套利期限结构插值110.0630.0640.0650.0660.0670.0680.06944.054.14.164.214.264.314.364.424.474.524.574.624.684.734.784.834.884.944.995.045.095.145.255.35.355.45.465.515.565.615.665.725.775.825.875.925.98图3。插值正向libors使用（9）表示方法1，使用（10）表示方法2。瞬时远期利率给出了术语结构的最不可聚合的表示，因此有效地证明了选择插值方法的含义。然而，人们不应该仅从这个角度来判断特定方法的有用性。

乍一看，方法1中下降期结构的内插利率和方法2中上升期结构的内插利率的“锯齿”模式似乎代表了使用这两种方法的严重缺点，但应记住，固定远期利率也是纯粹的数学产物，而建模的对象是市场可观察利率，如伦敦银行同业拆借利率。远期伦敦银行同业拆借利率（t，t）=1ΔuB（t，t）B（t，t+δ）- 1P=1ΔuB（t，t）B（t，tη（t））B（t，tη（t））B（t，tη（t）+1）B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1P=1ΔuB（t，t）B（t，tη（t））（1+δL（t，tη（t）））B（t，tη（t）+1）B（t，t+δ）- 1P（13）对于方法1，这变为（t，t）=1δ（1+（tη（t））- T）L（T，Tη（T）-1） ）（1+δL（t，tη（t）））·（1+（tη（t）+1- （T+δ））L（T，Tη（T）））-1.- 1c图3显示了四至六年前连续开始日期的三个月期内插远期伦敦银行同业拆借利率。分段线性图实际上是两个非常接近的图3。方法1使用（9）插值正向libor，方法2使用（10）插值正向libor。瞬时远期利率给出了术语结构的最分解表示，因此有效地证明了选择插值方法的含义。然而，人们不应该仅从这一角度来判断特定方法的有用性。乍一看，方法1中下跌的期限结构和方法2中上升的期限结构的内插利率的“锯齿”模式似乎代表了使用另一种方法的严重缺点，但应该记住，瞬时远期利率也是纯数学伪影，而建模的对象是市场可观察利率，如伦敦银行同业拆借利率。