扩散过程首次通过时间的显式渐近性

遵循引理2.4，对于i=1，我们立即得到f（x，β）=e-γxx+（1- 2θγ）x2γ.命题3.1（递归多项式）≥ 2、o的解(i） -OU过程的BVP由fi（x，β）=f（x，β）gi（γx）给出，其中gi（y）：=2iXj=1p（i）jyj。（25）系数{p（i）j:i≥ 2, 1 ≤ j≤ 2i}由下式给出：j=2i:p（i）2i=p（i-1） 2i-22iγj=2i- 1:p（i）2i-1=（2i-1） γp（i-1） 2i-3+2γ-γθ+（2i-2） （2i-1)γp（i-1） 2i-22<j<2i- 1:p（i）j=（j+1）p（i）j+1+γjp（i）-1） j-2.-j-1+γθγjp（i-1） j-1+θγp（i-1） jj=2：p（i）=p（i）-1+γθ2γp（i-1） +θγp（i-1） j=1：p（i）=p（i）+θγp（i-1).证明：可以尝试从引理2.4中的递归算法中求解系数。另一种更简单的方法是直接从ODE（19）派生结果。我们把证据的细节留给读者。命题3.1使我们能够将扰动LT扩展到任意阶。然而，我们的最终目标是找到它的倒数，而命题中的系数是参数β的函数。为了避免不必要的符号计算，我们进一步分解了系数NP（i）j:i≥ 0, 1 ≤ j≤ 2io。引理3.2（递归多项式分解）对于每个p（i）jinnp（i）j:i≥ 1, 1 ≤ j≤ 2io，存在一个三索引实数序列nc（i，j）k:i≥ 1, 1 ≤ j≤ 2i，0≤ k≤ （2i- j）∧ iosuch thatp（i）j=（2i-j）∧iXk=0c（i，j）kγ2i-k（θ）k.证明：nc（i，j）ko的递归结构可以在附录的推论A.1和A.2中看到。通过将推论A.1与fand f进行比较，可以立即得到推论A.1。对于推论A.2，可以通过将引理3.2中的分解替换为命题3.1来获得结果。引理3.2中的存在性由推论A.1和A.2证明。备注3.3注意nc（i，j）ko与参数无关。因此，我们可以预先计算序列并将其保存在内存中。

稍后，这将有助于提高FPTD的计算效率。命题3.4（OU过程的N阶摄动FPTD）设N∈ Z+，OU过程isp（N）τ（t）=e的N阶向下扰动FPTD-x4t√2π2N-1Xn=0hntn-1D-n+1x个√t型,式中，hn=Xi，j，k；2i-j-k=nic（i，j）kθkxj，D·（·）是抛物柱面函数。证明：使用（7）和（16）表示截断的LT。根据命题3.1和引理3.2，fN=NXi=0ie-γx2iXj=1（2i-j）∧iXk=0c（i，j）kγ2i-k-jθkxj。（26）对于0≤ n≤ 2N个-1，定义hn：=2-nhn。然后经过标准计算，我们可以写出（26）asfN=2N-1Xn=0^hn·e-√2βxβ-n、 （27）注意，^hn独立于β。通过参考[7]，我们发现0≤ n≤ 2N个- 1，L-1ne-√2βxβ-否（t）=ntn-1.√2πe-x4tD-n+1x个√t型. （28）这立即给出了结果。备注3.5根据【9】，OU FPTD的初始LT由两个抛物面圆柱函数的比率给出。最后，通过应用扰动，我们发现FPTD本身（它是一个逆ELT）被表示为一系列抛物线柱面函数，第一个参数为整数。整数值D函数与Hermite多项式密切相关【33，12.7（i）】。基于偏差[33，12.7.1]，即d（z）=e-z、 （29）根据[33，12.7.2]我们已经x个√t型=x个√te公司-x4t。（30）使用上述表达式，我们可以写出（N）τ（t）=（h+hxt）p（0）τ（t）+e-x4t型√2π2N-1Xn=2hntn-1D-n+1x个√t型, （31）式中，p（0）τ（t）是击中0的标准布朗运动的FPTD，遵循逆Gamma分布。从这个角度来看，N阶OU扰动FPTD实际上是布朗运动加上高阶修正的FPTDof。命题3.6（OU扰动FPTD的尾部渐近）≥ 1，由p（N）τ（t）给出了时阶摄动OU-FPTD的尾部渐近性~ p（0）τ（t），作为t↓ 0+，（左尾）p（N）τ（t）~ 田纳西州-, 作为t↑ +∞. （右尾）证明：我们从左尾开始。

当t↓ 0+，从（31）可以清楚地看出，（h+hxt）p（0）τ（t）~ p（0）τ（t）。我们需要进一步检查D-函数级数的渐近性。用z表示：=x√串联a=n-(2 ≤ n≤ 2N个- 1). 参考【2，19.8.1，第689页】和【33，12.9.1】，当z↑ +∞ （即t↓ 0）我们已经-一-（z）~e-zz公司-一-1+O（z）.因此√2π2N-1Xn=2hntn-1e级-x4tD-n+1x个√t型~2N个-1Xn=2tn-e-x2t（1+O（t））~p（0）τ（t）（t+o（t））。这证明了左尾结果。现在我们考虑一下右尾。再次，到（31）时，我们立即h+hxtp（0）τ（t）~hxtp（0）τ（t）~ t型-, 对于t↑ +∞. （32）对于D函数系列，我们使用[2，19.12.3]和D-一-（z）=√π2-ae-z-Γ+一Ma+、z-zΓ+一Ma+、z!,其中M（·，·，·）是Kummer函数（反超几何函数f（·，·，·））。引入旋转ζ（a，s）：=√π--aΓ+一（a+）s（）sss！，ξ（a，s）：=-√π-aΓ+一（a+）s（）sss！，式中（·）s：=πs-1k=0（·+k）。根据[33，13.2.2]，我们可以重新表述D函数asD-n+1x个√t型= e-x4t型∞Xs=0ζ（n-, s） x2sts+∞Xs=0ξ（n-, s） x2s+1ts+！。现在让t↑ +∞, 然后它就屈服了-1e级-x4tD-n+1~田纳西州-1.∞Xs=0ζ（n-, s） x2sts+∞Xs=0ξ（n-, s） x2s+1ts+！。请注意，对于固定的n，上面的前导项是tn-因此，考虑到最高阶数n=2N-1在D函数系列中，我们得到√2π2N-1Xn=2hntn-1e级-x4tD-n+1x个√t型~ 田纳西州-. （33）我们的证明到此结束。从右尾渐近，我们发现N≥ 2，受扰FPTD将在t=+∞. 在N=1的情况下，尽管由于t的肥尾效应，p（1）τ（t）收敛到0-我们仍然期待一个完整的整体。因此，扰动FPTD的总概率为所有N≥ 确实，LT的极限值说明了所有N≥ 1.Z∞p（N）τ（t）dt= limβ↓0+fN（β）= ∞.另一方面，左尾渐近证明了OU和布朗运动fptds之间的等价性。

与谱分解相反[32，3]，我们的分析表明，扰动可能对大t不起作用，但它为小t提供了光滑密度。引理3.7（η-OU过程函数）对N≥ 1，η-函数由η（x，t）=e给出-x4t型√2π2N-1Xn=0tn-1.(xln）D-n+1x个√t型-自然对数√tD公司-n+2x个√t型, （34）式中ln=Xj，k；j+k=2N-nc（N，j）kθk·xj。（35）证明：我们从η-函数的定义开始（命题2.1）。fN（x，β）的偏导数如下所示：xfN（x，β）=e-√2βx2N-1Xn=0-nx（ln）β-n- 2.-n-1lnβ-n-1、其余的证明通过再次使用（28）得出结论。命题3.8（OU过程的一阶误差估计和收敛性）对于N=1和所有t∈ [0, +∞), 扰动OU FPTD的误差估计（11）是有效的。此外，对于任何T>0和T∈ [0，T]，扰动为o()-精确的证明：回忆（24）中的h函数和（34）中的η函数。在证明的第一部分中，我们证明了（10）的第2.1条是满足的。作为（10）的有效条件，我们需要找到一个边界Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ 所有t的M（t）∈ [0, ∞), 使得M（t）的增长小于指数增长。对于所有固定x∈ D、 可以检查h（x）η（x，t）→ 0作为t↑ +∞. 设K>1是一个大且可执行的常数。h（x）η（x，t）是连续的，所以对于所有（x，t）存在一个常数M，w.l.o.g∈ [0，K]×[0+∞),因此h（x）η（x，t）1{x≤K}≤ M{x≤K} 。（36）注意Px（Xu≤ K）≤ 1，因此（36）yieldsExZτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | 1{徐≤K} 杜邦≤ZtMEx{徐≤K}杜邦(37)≤ 另一方面，对于x>K，通过附录中的引理B.1，我们得到了Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | 1{徐>K}杜≤ C+C√t+Ct。（39）合并（38）和（39），我们得到Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+（C+M）t。这是第一部分证明的结论。

证明的第二部分是通过显示，对于t∈ [0，T]，前任Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u） 杜邦≤ C+C√T+（C+M）T。4贝塞尔过程[34]中引入贝塞尔过程作为n维布朗运动的范数。用BES（n）表示（有时用带ν=n的BES（ν）表示-2） ，贝塞尔过程已在【39，XI章】中进行了广泛讨论。在数学金融中，贝塞尔过程家族与短期利率和随机波动率模型密切相关【10、12、11、22、15】。注意，对于开放层段上的t和x，h（0）η（0，t）和h（x）η（x，0）都有很好的定义。唯一的奇点是由（x，t）=（0，0）生成的。然而，在概率空间下，Xu=0，t- u=0仅在t=τ时发生，而X（τ=t）=0。因此，我们可以定义h（0）η（0，0）=0。平方贝塞尔过程出现在恒定方差弹性（CEV）模型和考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）过程（或赫斯顿模型）中。在本节中，我们考虑阶数为n=1+, 哪里-1 <  < 1、《福布斯》（1+), h函数由h（x）=2x指定。（40）BES的域（1+) 是D=[0+∞). 根据【26，28】{∞} 是所有人的自然边界 ∈ R对于-1 <  < 1（0<n<2），{0}是具有出口和入口两种类型的规则边界。Weassume该过程在0处进行瞬时反射。参考【28】，然后为D上的所有C函数定义了微型生成器。用AF（x）表示=2倍fx个+fx、 我们认为一般命中水平为0<a<x，而不是a=0。通过抑制a，我们重新定义τ=inft>0:Xt=aX=X.根据[39]，BES（1+) 在D上反复出现 ∈ (-1, 1). 这保证τ是有限的a.s.因此存在相应的BVP。（4）中的BVP边界由f（a）=1规定。参考文献[28]，初始LT由第二类修正贝塞尔函数的比率给出。

与OU过程类似，初始LT可以通过【1】或使用谱分解进行数值求解【32】。我们将重复之前的工作，通过摄动求解一阶向下FPTD。引理4.1（一阶BVP解）一阶扰动LT由f（x，β）=f（x，β）ln（ax）+e2γaE（2γa）给出- e2γxE（2γx），其中E（·）是指数积分函数，f（x，β）=E-γ（x-a） 。证明：遵循我们的递归框架。用f（x，β）=e表示布朗运动FPTD的LT-γ（x-a） [9]。召回（18），k=γ规定的kis。遵循（20），通过指定不同的积分下限，我们得到g=Zx2e2γyγZy+∞2ze-2γzdz+Cdy+C.（41）经过标准计算，内部积分得到γZy+∞ze公司-2γzdz=-γE（2γy）。简化（41）we getg=Zx-γe2γyE（2γy）dy+Ce2γx- 1γ+C.（42）参考[20，方程式（5），4.2]，对于（42）中的积分，我们有zx-γe2γyE（2γy）dy=-ln（x）+e2γxE（2γx）+C。结合C和C，（41），然后变为G=-ln（x）+e2γxE（2γx）+Ce2γx- 1γ+C。通过o()-问题我们从上边界开始{+∞}. 根据L\'H^opital规则f（x）ln（x）→ 0作为x↑ +∞. 参考【20，方程式（5），3.3】，我们得到的E项limx↑+∞f（x）e2γxE（2γx）=0。因此，唯一满足条件f的C(+∞) = 0是0。类似地，求解f（a）=0给出了c=ln（a）+e2γaE（2γa）。我们在这里总结证明。推论4.2（完全可积性）BES（1+) 是完全可积的。证明：推论由showinglimβ证明↓0+f（x，β）=1。自limβ↓0+f（x，β）=1，仅能证明LIMβ↓0+g（x，β）=0。事实上，通过考虑[20，等式（1），3.3]，e（x）=-c- ln（x）+Zx1- e-uudu，其中c=0.5772是欧拉常数，可以立即证明结果。

命题4.3（BES（1+)) BES（1+) 由p（1）τ（t）给出=1 +ln（ax）p（0）τ，x，a（t）+（十）- （a）√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）dy(√y- x+3a）(√y+x+a）dy，（43），其中p（0）τ，x，a（t）：=x- 一√2πt-e-（十）-a） 2t（44）和pΓ（y，1,2t）：=2te-y2t（45）分别是逆伽马分布和伽马分布的密度函数。证明：按一阶LT，f（x，β）=f（x，β）重新排列术语1 +ln（ax）+ f（x，β）e2γaE（2γa）- e2γxE（2γx）。（46）（46）中第一项的倒数由反伽马分布给出[9]。现在考虑第二学期。回想一下E（z）的定义，即E（z）：=z+∞ze公司-uudu。乘以ezwe haveezE（z）=z∞e-uzu+1du。（47）假设我们可以改变积分的顺序，然后将（47）代入（46）yieldsL的第二项-1ne-√2β（x-a） ez公司√2βE（zp2β）o（t）=Z∞L-1ne-√2β（x-a+uz）o（t）u+1du（48）=Z∞p（0）τ，x-a+uz，0（t）u+1du，（49），其中p（0）τ，x-a+uz，0（t）由（44）定义；更准确地说，通过lettingy：=（x- a+uz），（50）（49）进一步给定-1ne-√2β（x-a） ez公司√2βE（zp2β）o（t）=√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）√y- （十）- a） +zdy，（51），其中pΓ（y，1,2t）是伽马分布的密度函数，形状参数为1，速率参数为2t。将z=2a和z=2x分别替换为（51），从而得出证明的其余部分。备注4.4 BES的扰动密度（1+) 在（0+∞). 作为有效但非必要的条件，只要1+ln（ax）≥ 0，则函数p（1）τ（t）保证为正。因此，结合推论4.2，一阶扰动FPTD是一个有效的概率密度函数。

另一方面，通过使用[49，第三章]中的integerbasel函数的性质，可以潜在地导出BES（n+) 和n∈ Z+。命题4.5（BES（1+) 扰动FPTD）初始扰动BES（1+) FPTD由p（1）τ（t）给出~ p（0）τ，x，a（t），作为t↓ 0+，（左尾）p（1）τ（t）~ O（t-1.-α） ，作为t↑ +∞, （右尾），其中0<α<。事实上，在这种情况下 < 0（这给出了一个介于0和1之间的贝塞尔过程）该不等式对anya成立≤ x、 证据：我们从左尾开始。p（1）τ（t）中的第一项与布朗运动的FPTD具有相同的顺序。我们只需要检查第二个项，它包含一个Gammavariable的期望。考虑（49）的卷积表示。从（48）开始，我们有√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）dy(√y- x+3a）(√y+x+a）dy=Ztp（0）τ，x，a（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv。（52）用λ（t）表示：=t-e-（十）-a） 2t（53）和u（t）：=Ztλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv（54）分别表示逆伽马密度和卷积的渐近性。让t↓ 0+，则（54）产生u（t）~Ztλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（v）- p（0）τ，2ux，0（v）2（u+1）dudv。（55）定义（t）：=u（t）λ（t）。首先，请注意，0处r（t）的极限是type。要了解这一点，请考虑u（t）的LT。基于初值定理，我们得到了↓0+u（t）=limβ↑+∞βe-√2β（x-（a）e2a√2βE（2ap2β）- e2x公司√2βE（2xp2β）.根据【33，6.12.1】，我们进一步得到↓0+u（t）=limβ↑+∞βe-√2β（x-（a）2a级√2β-2倍√2β= 0。（56）现在对r（t）应用L\'H^opital规则。

基于（55）中的渐近性，r（t）的极限由Limt给出↓0+u（t）λ（t）=极限↓0+λ（t）R∞p（0）τ，2ua，0（t）-p（0）τ，2ux，0（t）2（u+1）duλ（t）=limt↓0+t-R∞uau+1e-2uat-uxu+1e-2xatdut公司-=因此u（t）=o（λ（t）），左尾渐近为1 +ln（ax）p（0）τ，x，a（t）。对于右尾，考虑（52），我们还有∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）du=t-Z∞wφ（w）（w+2a√t） （宽+2倍√t） 数据仓库≥ 0，其中φ（w）是标准正态分布的密度。因此，λ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）du≥ 0, v∈ （0，t）。设K<<t为一个较大但固定的常数，然后为u（t）≥ZKλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv。（57）用uK（t）表示（57）的右侧。对于0≤ v≤ K<<t，我们还有uK（t）~Z∞p（0）τ，2uz，0（t）2（u+1）du~ t型-Z∞uu+1e-utdu。（58）自t-是大t的λ（t）的渐近，andlimt↑+∞uK（t）t-=Z∞uu+1du=∞,因此，根据（57），我们发现↑+∞u（t）λ（t）≥ 限制↑+∞uK（t）λ（t）=∞. （59）该屈服点sp（1）τ（t）~ u（t）。下一步是确认u（t）是一个有效的渐近值，即它本身不会发散。事实上，应用终值定理一立即就有局限性↑+∞u（t）=0。此外，请注意，前面在推论4.2中，我们展示了NLIMβ↓0+f（x，β）=limβ↓0+f（x，β）g（x，β）=0，进一步屈服∞L-1{f（x，β）}（t）dt=0。（60）因为（60）中的倒数是由byL给出的-1{f（x，β）}（t）=ln（ax）p（0）τ，x，a（t）+（x- （a）√2πu（t）,我们进一步了解∞u（t）dt=√2π2（x- a） ln（xa）Z∞p（0）τ，x，a（t）dt（61）=√2π2（x- a） ln（xa）。（62）等式（62）来源于p（0）τ，x，a（t）是逆伽马分布的p.d.f.这一事实。作为（62）成立的必要条件，u（t）的收敛速度应为u（t）=O（t-1.-α） ，对于某些α>0。结合（59），最后我们显示0<α<。

命题4.6（BES（1+)) η-函数由η（x，t）=ln（xa）ρ（x，a，t）给出-4tZ∞（十）-（a）pΓ（y，，2t）- pΓ（y，，2t）√y- x+3a+pΓ（y，，2t）- pΓ（y，，2t）√y+x+ady，（63），其中ρ（x，a，t）：=√2πt-（十）- （a）- t型e-（十）-a） 2t；pΓ（y，α，s）是伽马分布的密度，形状参数α和速率参数s∈ [0, +∞), 概率表示（11）是有效的。对于t∈ [0，T]固定T>0时，BES的一阶扰动FPTD（1+) 以o速率收敛().证明：对f（x，β）进行偏导数xf（x，β）=-γf（x，β）ln（xa）+e2γaE（2γa）+e2γxE（2γx）。根据[7]，对于某些正z，我们有-1np2βe-√2βzo（t）=√2πt-z- t型e-z2t。然后利用（49）中的相同技巧，我们证明了η-函数的结果。考虑（40）中所示h函数的误差估计。第一部分（当x∈ 对于一些大K）证明，给出的证明与命题3.8的证明类似。当x>K且K很大时，我们有ln（xa）≤ （十）- a） 。因此4xln（xa）ρ（x，a，t）≤4K√2πt-（十）- a） +t（x- （a）e-（十）-a） 2吨。（64）的有界性由引理B.1中的证明给出。剩下的唯一一件事是，在（63）满意度（10）和（12）中显示伽马密度部分。首先请注意，y≥ （十）-a） >0和x>a，thereforemax√y- x+3a，√y+x+a≤2a。对于积分的其余部分，考虑形状参数α>0。然后对于x>K，这样x-a>1，给定y>（x- a） >1，我们有4TZ∞（十）-a） pΓ（y，α，2t）dy=2Γ（α）Z∞（十）-a） （2t）α+1yα-1e级-y2αdy≤Γ（α+1）2Γ（α）Z∞（十）-a） yαΓ（α+1）（2t）α+1e-y2αdy≤Γ(α + 1)2Γ(α).最后一个不等式来自伽马分布的c.d.f。将α=和α=代入上述的IneQuality中，即可得出我们的证明。在这一节中，我们通过两组OU过程练习来说明我们的框架。