扩散过程首次通过时间的显式渐近性

注意，通过我们的讨论，受扰的OU FPTD是唯一一个可能不会收敛或缓慢收敛于胖尾渐近的OU FPTD（见命题3.6）。因此，在这种极端情况下，检查框架的效果更有意义。更多的数值结果，包括在指数Shiryaev过程中的应用，可以在附录中找到。我们考虑一个具有常数波动率的广义OU模型：dXt=(θ - Xt）dt+σdWt。起点是X=X，命中水平用l<X表示。a ffne转换Yt=Xt-lσyieldsdYt=(^θ - Yt）dt+dWt，其中Y=x-lσ和^θ=θ-lσ。通过考虑新的命中水平^l=0，x到l的初始命中时间与Yt到Yt^l的问题等效。然后，可以通过第3节中的结果轻松解决Yt命中时间。除了微扰方法外，还有许多其他研究发现OU过程的FPTD。为了进行基准测试，我们在下面列出了它们。数值反演的Talbot方法LT[1]ii）。使用谱分解的FPTD表示法【3】iii）。三维布朗桥模拟[24]iv）。特殊情况下的闭式解l=θ[21]注意，iv）中的闭式密度不涉及任何数值近似。因此，我们可以将其视为“真实”密度。在l 6=θ的一般情况下，还没有找到闭式解。作为替代方案，我们使用Talbot方法作为基准。模型参数选择如下 = 0.1，θ=0.3，σ=0.3，x=0.5。我们进行两组练习。在第一种情况下，我们认为l=0.3。在第二组中，我们将l=0.2.5.1作为l=θ的基准比较。在本节中，我们仅将Talbot方法和一阶摄动与闭式解进行比较。图1和图2显示了密度及其相对误差（w.r.t。

方法iv）在5年时间内。图1中的绿点表示“真实”密度。蓝色线和橙色段曲线分别绘制Talbotinverse和一阶扰动。通过目视观察，我们发现三种密度相互吻合。这证实了我们的扰动FPTD是有效的。为了比较准确度并验证我们的误差估计公式，我们在图2中展示了相对误差。蓝色和黄色的点表示实现的误差，这些误差是根据Talbot逆和图1：OU过程的FPT密度计算得出的。图2：通过在封闭形式的解决方案上对它们进行基准测试，得出与iv）扰动密度的相对误差。红点是命题2.1和引理3.7的数值计算。我们称之为理论错误。在计算qτ（t）时，我们模拟了1000条dt=t的路径。理论误差由ERR计算=qτ（t）p（1）τ（t）+qτ（t）.从图2中我们可以看到，除了小t有一个峰值外，塔尔博特逆通常非常精确。事实上，通过检查附录中的图6，我们发现扰动方法优于左尾的塔尔博特逆。考虑到扰动在左尾上提供了光滑的渐近性（命题3.6），这个结果并不令人惊讶。另一方面，当t变大时，扰动的误差函数发散。虽然这不是很令人鼓舞，但它证实了我们对右尾渐近的分析。在图2中，通过进一步比较理论误差和实际误差，我们发现它们以相同的速度增长。这验证了命题2.1为误差水平提供了合理的估计。欧拉模拟方案的局限性可以解释它们的传播。理论上，通过将dt减少到0，我们应该能够匹配红色和橙色曲线。

然而，在实践中，我们更感兴趣的是误差范围，而不是精确的误差值；否则，该问题将等效于通过蒙特卡罗模拟求解FPTD。在计算速度方面，我们提供了计算100个密度点的时间。在不考虑C（i，j）k序列的初始化的情况下，微扰的速度与显式密度的速度相同。它们都花费了大约0.001秒。塔尔博特逆算法耗时约1.371秒，大约是其他两种方法的1371倍。该序列不涉及OU模型中的任何参数。因此，它只初始化一次并预先保存在磁盘中。5.2 l 6=θ的一般情况比较在第二个练习中，我们考虑l 6=θ，并以与之前相同的方式说明结果。注意，对于l 6=θ，我们对“真实”密度没有任何了解。考虑到在最后一节中，Talbot反演几乎与闭式解相同，因此我们将其用于基准测试。图3：一般情况下OU过程的FPTD图4：一般情况下与i）的相对误差图3中的即时观察结果是，谱分解无法提供左尾的良好估计。通过检查[3]，可以发现这是由于光谱序列的发散att=0。除了绿色曲线外，其余三种方法提供的结果几乎相同。这证明了摄动法适用于一般情况。图4中的结果与我们在第5.1节中看到的结果相似。我们重点解释了谱方法和布朗桥模拟。从误差图观察，对于大t，这两种方法可以提供非常精确的估计。然而，我们必须提到，它们的准确性是基于需要额外计算资源的成本。

就微扰法而言，尽管它不如其他方法准确（相对误差<2.5%），但它在不计算效率方面保持着压倒性的优势。6结论在本文中，我们提供了一种系统的方法来解决FPTDs上的闭式渐近问题。我们证明了在扰动下的收敛性，并推导了误差估计的概率表示。由闭式解产生的扰动不仅提高了计算效率；但也提供了在极端情况下理解FPT分布的分析可处理性。使用该框架，我们找到了Ornstein-Uhlenbeck、Bessel和指数Shiryaev FPTDs的有效近似值。此外，通过考虑时间变化，贝塞尔过程的结果可以很容易地推广到考克斯-英格索尔-罗斯过程。最后，通过数值计算验证了理论工作。

本文的潜在应用可以在生存分析、债券期权定价和许多其他方面找到。OU扰动的递归结构I=1和I=2的推论A.1（分解结构I），nc（I，j）Ko显式给出如下：c（1,2）=；c（1,1）=；c（1,1）=-1.c（2,4）=；c（2,3）=；c（2,3）=-; c（2,2）=-; c（2,2）=0；c（2,2）=；c（2,1）=-; c（2,1）=；c（2,1）=-.i的推论A.2（分解结构II）≥ 3，nc（i，j）ko递归确定为j=2i：c（i，2i）=c（i-1,2i-2） 2ij=2i- 1:c（i，2i-1） =（2i-1） c（一）-1,2i-3)-2i-32（2i-1） c（一）-1,2i-2); c（i，2i-1） =（2i-1)c（一）-1,2i-3)- c（一）-1,2i-2)2<j<2i- 1 :k=（2i- j）∧ 一：c（i，j）2i-j=jc（一）-1，j-2） 2i-j- c（一）-1，j-1） 2i-j-1., 如果j>ic（i，i）i=-ic（i-1，我-1） 我-1，如果j=ic（i，j）i=（j+1）c（i，j+1）i-jc（一）-1，j-1） 我-1+c（i-1，j）i-1，如果j<i0<k<（2i- j）∧ i:c（i，j）k=（j+1）c（i，j+1）k+jc（i-1，j-2） k级-j-1jc（i-1，j-1） k级-jc（一）-1，j-1） k级-1+c（i-1，j）k-1k=0：c（i，j）=（j+1）c（i，j+1）+jc（i-1，j-2)-j-1jc（i-1，j-1） j=2：k=i：c（i，2）i=c（i，3）i-c（一）-1,1）i-1+c（i-1,2）i-10<k<i：c（i，2）k=c（i，3）k-c（一）-1,1）k-c（一）-1,1）k-1+c（i-1,2）k-1k=0：c（i，2）=c（i，3）-c（一）-1,1）j=1：k=i：c（i，1）i=c（i，2）i+c（i-1,1）i-10<k<i：c（i，1）k=c（i，2）k+c（i-1,1）k-1k=0:c（i，1）=c（i，2）。B命题3.8引理B.1的补充证明，设h（x）η（x，t）在命题3.8的证明中给出，τ是与0相交的输出过程的向下FPT。对于常数K>1，我们有Zτ∧t{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+Ct，其中C，C表示正常数。证明：根据（34）、（29）、（30）和[33，12.7.2]，我们可以写出eh（x）η（x，t- u） =θ- x个√2πe-x2（t-u）x个xl（t- u）-l（t- u）xt公司- u- 1.+xl（t- u）-xl（t- u）.

（65）对于r∈ Z+和x≥ 0，我们发现e-x2（t-u） xr公司≤ rr·（t- u） r、（66）和x*=pr（t- u） 是e的转折点-x2（t-u） xr。基于（65）、（66）和（35），对于（x，t）∈D×[0+∞) 和u∈ [0，t]，我们得到h（x）η（x，t- u） 1{x>K}≤ C+C√t型- u型+Cx（t- u） +Cx（t- u）e-x2（t-u） {x>K}，（67）式中，i=0，1。。。，3为正常数。请注意，将（66）替换为（67）中的最后两项-u、 在下面的积分中发散。因此，需要格外小心。对于α>0，我们考虑一个更一般的函数：mr，α（x，u，t）：=xr（t- u） 1+αe-x2（t-u） 。（68）首先注意，当t≤Kr，所有u∈ [0，t]，我们有pr（t- u）≤ K<x。通过考虑转折点后mr，α（x，u，t）的单调性，我们发现mr，α（x，u，t）1{x>K}≤Kr（t- u） 1+αe-K2（t-u） {x>K}（69）=2αΓ（α）Kr-2αIG（t- u、 α，K）1{x>K}，（70），其中Γ（·）是伽马函数，IG（t，α，K）是具有形状参数α和尺度参数K的反伽马分布的密度函数。另一方面，当t>Kr时，我们考虑两个独立区间的最大值。如果u∈ [t-Kr，t]，通过通知PR（t- u） <K<x，我们发现（70）仍然有效。如果，否则，u∈ [0，t-Kr），再次使用（66）yieldsmr，α（x，u，t）1{x>K}≤rr（t- u） 1+α-r{x>K}。（71）进一步，如果1+α-r> 0，然后是u∈ [0，t-Kr），mr，α（x，u，t）1{x>K}≤r1+αK2+2α-r{x>K}。（72）遵循（70）和（72），通过取（68）的积分并考虑条件期望，我们得到Ztmr，α（Xu，u，t）1{Xu>K}du=nt公司≤克朗+1nt>克朗·ZtEx公司mr，α（Xu，u，t）1{Xu>K}杜邦≤ 2αΓ（α）Kr-2αZtIG（t- u、 α，K）Px（Xu>K）du·1nt≤Kro+2αΓ（α）Kr-2αZtt-克里格（t- u、 α，K）Px（Xu>K）du·1nt>Kro+Zt-Krr1+αK2+2α-rPx（Xu>K）du·1nt>Kro≤αΓ（α）Kr-2α-rαK2α-r+r1+αK2+2α-r·t。最后一个不等式为真，因为IG（t，·，·）是密度函数，Px（Xu>K）≤ 1.

现在，将上述和（67）结合起来，对于我们得到的原始问题Zτ∧t{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ 前任Zt{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+Ct。我们的证明到此结束。C进一步的数值结果C。1 OU过程的左尾放大图5：l=θ的OU左尾密度图6：l=θ的OU左尾误差图7：l 6=θ的OU左尾密度图8：l 6=θC的OU左尾误差。2本节和C.3节的Bessel过程误差数值结果显示理论误差小于实际误差。这是因为塔尔博特逆本身有数值误差。从结果可以看出，对于BES（1.5）和指数Shiryaev过程，微扰比Talbot逆更精确。图9：贝塞尔密度 = 0.1，x=0.7，l=0.1图10：贝塞尔密度误差 = 0.1，x=0.7，l=0.1图11：贝塞尔左尾密度图12：贝塞尔左尾相对误差C。3指数Shiryaev过程的数值结果图13：指数Shiryaev密度 =0.1，α=0.5，c=0.2，σ=0.5，x=0.7，l=0.2图14：密度误差 = 0.1，α=0.5，c=0.2，σ=0.5，x=0.7，l=0.2图15：指数Shiryaev左尾密度图16：左尾密度误差参考文献【1】Joseph Abate和Ward Whitt。用于数值反转拉普拉斯变换的统一框架。《计算机学报》，18（4）：408-4212006。[2] 米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳是一把猎枪。数学函数手册：含公式、图表和数学表格，第55卷。快递公司，1964年。[3] Larbi Alili、P Patie和Jesper Lund Pedersen。Ornstein-Uhlenbeck过程首次命中时间密度的表示。随机模型，21（4）：967–9802005。[4] 迈克尔·阿比卜。一维微分的碰撞和鞅特征。

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