扩散过程首次通过时间的显式渐近性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Explicit Asymptotics on First Passage Times of Diffusion Processes》
---
作者：
Angelos Dassios and Luting Li
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We introduce a unified framework for solving first passage times of time-homogeneous diffusion processes. According to the killed version potential theory and the perturbation theory, we are able to deduce closed-form solutions for probability densities of single-sided level crossing problem. The framework is applicable to diffusion processes with continuous drift functions, and a recursive system in the frequency domain has been provided. Besides, we derive a probabilistic representation for error estimation. The representation can be used to evaluate deviations in perturbed density functions. In the present paper, we apply the framework to Ornstein-Uhlenbeck and Bessel processes to find closed-form approximations for their first passage times; another successful application is given by the exponential-Shiryaev process. Numerical results are provided at the end of this paper.
---
中文摘要：
我们引入了一个统一的框架来求解时间齐次扩散过程的首次通过时间。根据killed势理论和摄动理论，我们可以推导出单侧平交道口问题概率密度的闭式解。该框架适用于具有连续漂移函数的扩散过程，并提供了频域递归系统。此外，我们推导了误差估计的概率表示。该表示法可用于计算扰动密度函数中的偏差。在本文中，我们将该框架应用于Ornstein-Uhlenbeck和Bessel过程，以找到其第一次通过时间的闭合形式近似；指数Shiryaev过程给出了另一个成功的应用。最后给出了数值结果。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Explicit_Asymptotics_on_First_Passage_Times_of_Diffusion_Processes.pdf (911.85 KB)

2022-6-10 05:14:00 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：扩散过程 Mathematical Presentation Quantitative Perturbation

DiffusionProcesseSangelos-Dassios首次通过时间的显式渐近性*和Luting Li+伦敦经济学院统计系2018年6月22日摘要我们介绍了一个统一的框架，用于解决时间同质差异过程的首次通过时间。根据killed-version势理论和摄动理论，我们能够推导出单侧平交道口问题概率密度的闭式解。该框架适用于具有连续漂移函数的扩散过程，并提供了频域递归系统。此外，我们推导了误差估计的概率表示。该表示法可用于计算扰动密度函数中的偏差。在本论文中，我们将该框架应用于Ornstein-Uhlenbeck和Bessel过程，以获得其首次通过时间的闭合形式近似值；指数Shiryaev过程给出了另一个成功的应用【13】。最后给出了数值结果。关键词：首次通过时间；扩散过程；势理论；微扰理论；奥恩斯坦纽伦贝克过程；贝塞尔过程；抛物线柱面函数；反超几何函数；指数积分。2010年数学学科分类：91G60；60G40；62E17；91G80.1引言理解第一次通过时间（FPT）的兴趣可以追溯到20世纪初[5，41]。FPT也称为第一次命中时间，它定义了随机过程访问预定状态的随机时间。时间上的不确定性现象经常从自然社会科学中观察到。因此，在一个世纪内，FPT在经济学、物理学、生物学等领域得到了积极的研究。

[38, 40, 35, 14].根据各种类型的基础过程和碰撞边界，FPT本身由大量不同的研究组成。我们参考[44、4、8、36]进行非决定性审查。在这些研究中，特别是在数学金融和保险领域，单边常数障碍*伦敦经济学院统计系，霍顿街，伦敦WC2A 2AE，英国，a。dassios@lse.ac.uk+伦敦经济学院统计系，伦敦霍顿街，伦敦WC2A 2AE，英国，l。li27@lse.ac.ukcrossing这个问题是最常被研究的问题之一，例如[6,17]。解决此类问题的一般方法是首先找到FPT密度（FPTD）的拉普拉斯变换（LT）。LT通常来自具有Dirichlet型边界值的二阶非齐次常微分方程的唯一解【18，25】。对于许多熟悉的扩散过程，LTs已得到解决，并在[9]中列出。然而，这些LTs通常用特殊函数表示，只有少数LTs具有显式逆变换。因此，在数值反演方面进行了许多工作。有关更多详细信息，请参阅[1]。或者，使用线性算子上的谱定理[26，30，29]，可以简化原始LT。在某些情况下，可以通过序列表示获得闭合形式的FPTDs[32，3]。但人们可能会发现，谱分解方法对于小t有收敛性问题。在本文中，我们的目标是应用微扰理论，解决一般单边平交问题的显式PTDS。考虑由布朗运动生成的过滤概率空间Ohm, F、 {Ft}t≥0，P. 设D是R上的一个开放区间，h（·）是D上定义的一个连续函数。我们的基本过程来自一类SDE。

我们要求这些SDE至少有弱解，并且是强马尔可夫的：Xt=h（Xt）dt+dWt，X=X∈ D、 （1）在我们的设置下， 是一个实参数，它应该正确定义{Xt}t≥域上的0。为了便于推导，我们将波动率设置为常数。如果给出了时间齐次扩散系数σ（x），可以参考[39，定理1.6]，使用时变布朗运动检索（1）中的SDE。此外，考虑命中等级a∈ R、 我们在D上指定了两种类型的边界：Dua：={a+∞}, Dla：={-∞, a} ，即上部和下部区域的边界。对于速记，我们使用Dato表示没有标记方向的单边边界。通过抑制x和a，我们确定了{Xt}t的FPT≥0从x到τ：=inf{t>0:Xt∈ Da}。注意，布朗过滤{Ft}t≥0在两侧连续。因此，根据[37]，τ定义良好（规则）。此外，对于x∈ D保证px（τ>0）=1。对于几乎肯定是（a.s.）有限的FPT，即Px（τ<+∞) = 1，我们有兴趣了解它们的显式分布。显然，当h（x）时≡ 0（标准布朗运动）τ的分布由反高斯（或反伽马，等效）给出[9]。然而，对于大多数非平凡漂移，没有封闭形式的解决方案。例如，h（x）=x，对应于OrnsteinUhlenbeck（OU）过程。在这种情况下，仅通过限制a=0[21]来获得显式密度。本文应用摄动技术[23]求解Dirichlet型边值问题。通过从频域反转受扰动的LTs，这些LTs通常具有更简单的形式，然后我们可以在时域中导出闭合形式的密度。

本文的主要贡献是为解决单个障碍物碰撞问题提供了一个统一的递归框架。根据位势理论的killed版本[37]，我们证明了收敛性和误差估计结果。作为例子，我们在本文中展示了OU和贝塞尔过程上的扰动FPTDs。符号Px（·）：=P（·| F）=P（·| X=X）遵循马尔可夫性质。文献[13]讨论了气泡（指数Shiryaev）过程的应用。在本文的最后，通过数值计算对理论部分进行了验证。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了主要结果；第3节和第4节演示OU和贝塞尔过程的应用；在第5节中，我们展示了基于OU流程的基准测试（更多结果见附录）；第6节结束。2主要结果2.1扰动Dirichlet问题我们遵循之前的设置。进一步让Cbe表示具有二阶连续导数的函数的集合。对于任何f∈ C、 还假设{Xt}t的最小生成器Af（x）≥0存在于所有x∈ D、 那么A·由af（x）=h（x）f（x）+Gf（x），其中G·是标准布朗运动的极小生成元Gf（x）=f（x）；素数表示法是指导数w.r.t.x。除非另有规定，否则我们将在本文中使用此常规表示法。考虑β∈ C带实数（β）≥ 0，定义，f（x，β）：=Exe-βτV（Xτ）, （2） 其中V（·）是一个有限函数。我们工作的第一步是找到一个满足F（x，β）的适当BVP。要看到这一点，我们首先需要显示{Xt}t≥0在所有停止时间内都是连续的。实际上，考虑停止时间序列{σn}1≤n≤+∞这样，Limn↑+∞σn=：σ。自{Xt}t起≥0具有连续路径解决方案n↑+∞Xσn=Xσ。另一方面，根据我们的假设，{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。

根据位势理论的killedversion[37]，f（x，β）是以下Dirichlet问题的唯一解：Af（x）=βf（x，x∈ D、 （3）此外，相应的边界条件由F给出(Da）=V。（4） 在我们的符号V中：=[V（a），V（±）∞)]这是一个取决于交叉方向的边界值向量。参考（2），通过设置V（a）=1和V（±）∞) = 0我们立即发现，解toBVP（3）和（4）是τ：f（x，β）=Ex的密度函数的LTe-βτ.在第二步中，我们对 并相应地找到扰动BVP。摄动法是求解复杂系统渐近性的常用方法。它已成功应用于量子物理和数学金融领域【42、16、19】。传统上，要求微扰参数应较小。然而，我们将表明，在我们的情况下，这是不必要的。作为缩写，我们忽略以下内容中的函数参数。默认情况下，所有操作都是w.r.t.x。请考虑一系列C函数{fi}i≥0以便f可以表示为f=∞Xi=0ifi。（5） 将（5）替换为（3），我们有∞Xi=0我hfi+Gfi=∞Xi=0iβfi，x个∈ D、 （6）重新排列（6）中的项，我们进一步得到gf- βf+∞Xi=1我hfi公司-1+Gfi- βfi= 0, x个∈ D、 注意，通过提取0阶并指定适当的边界条件，我们可以得到标准布朗运动的BVP（其中LT逆已知）。

高阶可以通过一个递归系统来求解，该系统从FAN和漂移函数h中积累信息。用o（1）项表示i=0的BVP，通过指定与初始问题相同的边界条件，我们有o（1）：Gf=βf，x∈ Df公司(Da）=[1，0]T≥ 1，我们使用符号o(i） 和Defineo我: Gfi=βfi- h·fi-1，x∈ Dfi公司(Da）=[0，0]T。基于初始BVP的解是唯一的这一事实，可以通过将递归系统解为有限阶（不一定是小阶）进行检查) 序列{fi}i≥0再现初始解F，即方程（5）始终成立。然而，在实践中，拥有有限的订单解决方案是不现实的。同样在非常常见的情况下，可能无法保证级数的收敛性。因此，我们需要确定截断顺序并估计相应的误差。2.2截断误差和收敛性进一步引入了一些符号。让N≥ 1是固定整数，对于i=1。。。，N我们表示初始LT的N-thorder截断byfN：=NXi=0ifi。（7） 假设f、fNand的LTs为逆xfN（x，β）存在，用pτ（t）=L表示-1{f（β）}（t），pNτ（t）=NXi=0伊利诺伊州-1{fi（β）}（t），η（x，t）=L-1{xfN（x，β）}（t），（8）。通过qτ（t）确定两个FPTDs之间的差异（绝对误差）：=pτ（t）- pNτ（t），（9）那么我们得到以下结果。命题2.1（截断误差的概率表示）适用于所有t∈ (0, +∞)和所有β∈ 实数（β）>0的C，ifZ+∞e-βtExZτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | dudt<+∞, （10） thenqτ（t）=N+1倍Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u） 杜邦. （11） 此外，如果对于某些常数M<+∞前任Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u） 杜邦≤ M、 （12）然后| qτ（t）|≤ N+1M。（13） 证明：将η（x，t）定义为（8），并引入▄qτ（t）：=N+1倍Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u） 杜邦.我们首先证明了▄qτ（t）是f的逆LT-fN。然后，根据（逆）LT的唯一性，qτ（t）是（9）中的误差函数。

考虑~qτ（t）的LT。根据（10）和Fubini定理，我们得到∞e-βtExZτ∧th（Xu）η（Xu，t- u） 杜邦dt=ExZτh（Xu）Z∞e-βt{u≤t} η（Xu，t- u） dtdu= 前任Zτh（Xu）L{u≤t} η（Xu，t- u）（β） 杜邦.根据事实{u≤t} η（x，t- u）（β） =e-βuL{η（x，t）}（β），通过η（x，t）的定义，我们得出{qτ（t）}（β）=N+1倍Zτh（Xu）e-βuxfN（Xu，β）du. （14） 在下面的第二部分中，我们显示（14）的右侧确实是f- fN。LetQ（x，β）：=f（x，β）- fN（x，β）。根据LT的线性，我们得到q（x，β）=L{pτ（t）}（β）- LpNτ（t）（β） =L{qτ（t）}（β）。由于f和fn都在C中，Q也是。在Q yieldsAQ上应用算子A- βQ=Af- βf-AfN公司- βfN= 0-“Gf- βf+NXi=1我Gf公司- βf+h·fi-1.+ N·hfN#=-N+1h·fN。注意，f和fn共享相同的边界条件，因此对于Q（x），我们有Q(Da）=[0，0]T。根据[37]，Q（x）的ODE是Dirichlet问题的killed版本，其解具有以下概率表示：Q（x，β）=N+1倍Zτe-βuh（Xu）xfN（Xu，β）du.这确实是（14）的右侧。通过BVP解的唯一性和（逆）LT的唯一性，我们得出qτ（t）=qτ（t）的结论。最后，（13）是假设（12）和（11）的直接结果。备注2.2适用于小型 在条件（12）下，根据命题2.1，我们看到N阶扰动fptd在O(N+1）。此外，这种收敛在t上是一致的。另一方面，即使对于大的, 可以使用（11）检查错误级别。2.3频域下的递归在本节中，我们提供了求解递归BVP的一般机制。为简单起见，我们考虑FPT从上方击中0，即τ：=inft型≥ 0：Xt=0X=X>0. （15） 在这种处理下，域由D=（0+∞).

我们抑制了符号a（注意a=0），并通过以下方式表示边界D：=Da={0+∞}.引理2.3（布朗运动FPTD的拉普拉斯变换）theo（1）BVP的唯一解由f（x，β）=e给出-√2βx。对于任意命中级别a，我们可以使用a ffne转换来检索0命中情况。虽然并非总是如此，但对于从下方撞击（x<0）的情况，我们可以考虑{Xt}t的镜像反射≥0、证明：这是[9]的标准结果。引理2.4（o的递归解我) 对于i≥ 1，设γ：=p2β。o的独特解决方案我由fi（x，β）=f（x，β）给出·Zx2e2γyZyh（z）ki（z，β）e-2γzdzdy+e2γx- 1γci（β）,式中，ki（x，β）=2γZxe2γyZyh（z）ki-1（z，β）e-2γzdzdy-2e2γxZxh（y）ki-1（y，β）e-2γydy-e2γx+1ci公司-1（β）和Ci（β）=-γlimx↑+∞e-2γxZx2e2γyZyh（z）ki（z，β）e-2γzdzdy.证明：Dirichlet型BVP的五个定理的唯一性[37]。考虑以下形式的FII：=fgi。（16） 然后将（16）替换为o我-yieldsgi颂歌- γgi=hhγgi-1.- gi公司-1i。（17） 注释gi-1及其导数按i阶确定。我们表示byki：=γgi-1.- gi公司-1.（18）那么方程（17）可以重写为gi- γgi=hki。（19） 乘以e-2γx取（19）两边的积分，我们有zgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=Zhkie-2γxdx+C。按部分应用积分，对于左侧，我们得到zgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=gie-2γx+γZgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=gie-2γx。进一步乘以2e2γx并在两侧取积分，gi=ZxA2e2γyZyAhkie-2γzdz+Cdy+C.（20）W.l.o.g.，我们假设A=A=0，通过考虑x=0时的边界条件，我们得到C=0。另一方面，请注意，对于固定i，Cis是一个与i阶相关的函数，依赖于β，因此我们重写ci（β）：=C。使用新的符号进一步简化gi，我们得到gi=Zx2e2γyZyhkie-2γzdzdy+e2γx- 1γci。（21）为了确定ci，我们使用+∞.

通过求解limx↑+∞fi（x，β）=0 we getci=-γlimx↑+∞e-2γxZx2e2γyZyhkie-2γzdzdy. （22）将（21）代入方程式（18），经过标准计算，我们得到Ki=2γZxe2γyZyhki-1e级-2γzdzdy- 2e2γxZxhki-1e级-2γydy-e2γx+1ci公司-我们的证明到此结束。备注2.5潜在地，使用引理2.4，我们可以将扰动FPTD的LT解到我们想要的任意阶数。借助符号计算软件（如Maple、Python），计算将变得更加简单。3 Ornstein-Uhlenbeck过程首次引入OU过程来描述遵循布朗运动的粒子的速度【45】。后来，该过程广泛出现在神经科学[47，31]和数学金融[46，27，43，22]等领域。根据我们的设置，OU过程的h函数由h（x）=θ给出- x、 （24）其中θ是OU模型中的平衡参数。请注意，上述函数是一阶多项式，在积分和微分下仍然是多项式。由于我们的递归框架主要涉及这两个操作，因此我们可以从扰动中得到一个漂亮的结果。参考【45，48】，OU SDE有一个独特而强大的解决方案。此外，作为一个强马尔可夫过程，它在概率上是循环的和连续的。因此，我们的框架可以应用。允许 > 0是平均恢复率，最小生成器由AF给出=fx+(θ - x）fx、 考虑在（15）中从上方击球。初始BVP（3）和（4）的解由[9]给出。对于初始LT的数值逆，可以在[1]中找到。在θ=0的特殊情况下，显式FPTD由[21，3]给出。现在，我们使用微扰技术求解显式FPTD。