平滑粘贴原理的失败和平衡的不存在

在这种情况下，她试图在个人内部博弈论框架下找到所谓的均衡策略，其中个人在不同日期由不同的参与者代表。我们现在给出了均衡停止规则^u的精确定义，它本质上是一个游戏的解决方案，在这个游戏中，任何时候（或者，在当前设置中，在任何状态下）都没有人愿意偏离均衡停止规则^u。定义3（均衡停止规则）停止规则^u是一个均衡停止规则iflim sup→0+J（x；τ^u）- J（x；τ，a）≤ 0, x个∈ R一∈ {0，1}，（9）给定时间范围的不确定性、过程X的平稳性以及运行目标函数f的时间同质性，任何给定时间t的每个自我都与其他自我完全相同，它只取决于当前的s状态Xt=X，而不直接取决于时间t。因此，我们可以通过当前状态Xt=x来识别自我t。这就是为什么我们只需要考虑静态停止规则u，它只是状态变量x的函数。关于这项公约的详细情况，见《掷弹兵》和《王》（2007年）；Ekeland等人（2012年）；Harris和Laibson（2013），尤其是Ebert等人（2016）的第3.2节。式中，τ，a=inf{t≥ ，^u（Xt）=1}如果a=0，如果a=1（10），则为0，且{Xt}t≥0是（3）的解决方案。当停止规则被解释为二进制控制时，这种平衡的定义与文献中对时间不一致控制问题的大多数定义一致（参见，例如，Bjork和Murgoci 2010；Ekeland et al.2012；和Bj¨ork et al.2014）。

实际上，τ，Ai是一个仅在非常小的初始时间间隔[0，]内可能与τu不同的停止时间；因此它是后者的“干扰”。2.3平衡表征以下结果，即定理2，正式建立了Bellman系统，并提供了验证平衡停止的验证定理。定理2（平衡表征）考虑WDFh（t）=Z的成本函数（22）∞e-rtdF（r），停止规则^u，由（3）定义的基础过程X，函数w（X；r）=EZτ^ue-rtf（Xt）dt+e-rτ^ug（Xτ^u）X=XV（x）=Z∞w（x；r）dF（r）。假设w在x上是连续的，V是连续可微的，其一阶导数是绝对连续的。If（V，w，^u）solv esminσ（x）Vxx（x）+b（x）Vx（x）+f（x）-Z∞rw（x；r）dF（r），g（x）-V（x）= 0，x∈ R、 （11）^u（x）=如果V（x）=g（x），则为1，否则为0，x∈ R、 （12）则^u是一个相等的停止规则，V是问题的值函数，即V（x）=J（x；τu）x个∈ R、 上述命题的证明被归入附录。Ebert等人（2016年）提供了不同环境下这一结果的证明。这里我们为读者提供一个方便的证明。3 SP失效和平衡点不存在在（时间一致性）停止的经典文献中，通常由SP获得最优解，因为从SP获得的候选解必须在一些温和的条件下解决Bellman系统（以及由此产生的最优停止问题），如成本函数的光滑性和凹凸性。从经济学角度来看，SP原则是指停止状态下边际成本的匹配；因此，一些经济学家甚至在没有明确引入贝尔曼系统的情况下应用了SP原则。

然而，正如我们将在本节中展示的那样，存在时间不一致性的SP方法可能不会产生Bellman系统的解决方案（因此也不会产生博弈论框架内的停止问题），无论成本函数可能多么平滑和凸凹。3.1时间一致性基准让我们从时间一致性最优停止问题开始，我们将其用作比较基准，并概述在构造显式解决方案时使用SP原则的方法。考虑以下经典最优停止问题infτ∈TE公司Zτe-rsf（Xs）ds+e-rτKX=X, （13） 其中，基本过程X是几何布朗运动dxt=bXtdt+σXtdWt，X>0，（14），T是关于F的所有停止时间的集合。在下文中，我们假设运行成本F是连续可微、递增和凹的。此外，为了排除“无关紧要的情况”，即对于这个时间一致的基准而言，立即停止或永远停止都是最佳的，我们假设f（0）<rK，b<r，在这个公式中，最终成本被假定为一个恒定的包干价K，而不失一般性。事实上，通过适当修改运行成本，我们能够将最终成本函数GT的停止问题减少到最终成本t为任何给定常数K>0的停止问题。要看到这一点，将伊藤公式应用于e-rt（g（Xt）- K） ，和limx→∞fx（x）x=∞.定义L（x；r）=E[r∞e-rsf（Xs）ds | X=X]。注意到X是一个几何布朗运动，经过简单的操作l（X；r）=Z∞Z∞f（yx）e-rsG（y，s）dyds，（15），其中G（y，s）=√2πσy√东南方-（年）-（b）-σ） s）2σs。为了确保L和Lx得到很好的定义，我们进一步假设f具有线性增长和fx（0+）<∞.我们现在将最优停止规则描述如下。命题1存在xB>0，因此停止规则uB（x）=1x≥xB（x）解决了最优停止问题（13）。

此外，xb是y中下列代数方程的唯一解：α（r）[K- L（y；r）]+Lx（y；r）y=0（16），其中α（r）=-（b）-σ） +q（b-σ） +2σrσ。（17） 证明这个定理的关键是使我们了解SP；见附录A.2。我们找到了Zτe-rsf（Xs）ds+e-rτg（Xτ）X=X=EZτe-rsf（Xs）ds+e-rτK+e-rτ（g（Xτ）- K）X=X=EZτe-rsf（Xs）ds+e-rτK+Zτe-卢比σxgxx（Xs）+bxgx（Xs）- r（g（Xs）- K）ds公司X=X.设▄f（x）：=f（x）+σxgxx（x）+bxgx（x）-r（g（x）-K） ，成本函数现在成为问题（13）中的一个，运行成本f.3.2时间不一致下的等效条件。我们现在考虑与上述时间一致性基准完全相同的停止问题，但指数折扣函数被WDF替代，即成本函数改为j（x；τ）=EZτh（s）f（Xs）ds+h（τ）KX=X, （18） 其中h是加权分布为F的WDF。与指数贴现一样，我们需要对问题的参数施加以下正则条件：b<r， r∈ supp（F）；和maxZ∞r- bdF（r），Z∞rdF（r），Z∞rdF（r）< ∞.当贴现函数退化为指数函数时，这些条件要么自动成立，要么退化为相应的条件。另一方面，它们适用于许多精确的WDF，包括γ<β时的广义双曲贴现函数（2）和伪指数贴现函数。我们现在尝试使用SP原理，用成本泛函（18）求解定理2中的Bellman系统。我们首先猜测平衡停止区域是[x*, ∞) 对于某些x*> 0。（与时间一致的情况一样，x*称为触发边界或停止阈值。）根据Feynman–Kac公式，Bellman系统中的w由w（x；r）给出=（K）- L（x*; r） （）xx号*α（r）+L（x；r），x<x*,K、 x个≥ x个*,其中，L（x；r）由（15）定义，α（r）由（17）定义。

回想一下，我们定义了V和^u byV（x）=Z∞w（x；r）dF（r）=R∞（（K- L（x*; r） ）（xx*)α（r）+L（x；r））dF（r），x<x*,K、 x个≥ x个*和^u（x）=0 x<x*,1否则。应用于V（而非w）的SP产生Vx（x*) = 0，表示x*是yZ中以下代数方程的解∞[α（r）（K- L（y；r））+Lx（y；r）y]dF（r）=0。（19） 显然，这个方程是其时间一致对应项（16）的推广。以下命题规定它有一个独特的解决方案。命题2等式（19）承认（0，∞).证据根据第1条属性证明（附录A.2），我们得到了Q（x）：=R∞（α（r）（K- L（x；r））+Lx（x；r）x）dF（r）在x>0时严格递减，Q（0）>0和Q(∞) < 0。这就完成了证明。命题2表明，即使在时间不一致的情况下，遵循传统的SP论证路线确实会给Bellman系统带来一个可行的解决方案。在时间一致的情况下，我们可以理所当然地宣称，这个候选解解决了定理2中的Bellman系统，因此相应的停止规则^u解决了平衡停止问题。不幸的是，情况并非总是如此，如以下结果所示。定理3假设α（r）[α（r）- 1] [K]- L（x*; r） ]在r中增加∈ supp（F），让x*bethe（19）的唯一解决方案。然后，三元组（V，w，^u）在定理m 2中求解Bellman系统，尤其是^u是一个平衡停止规则，当且仅当（x*) ≥Z∞rdF（r）K、（20）和Z∞α（r）[α（r）- 1][K- L（x*; r） ]dF（r）+Z∞x个*Lxx（x*; r） dF（r）≤ 0.（21）由于证据冗长，我们将其推迟到附录a.3。上述定理给出了SPto停止一般WDF问题的特征条件（在模型原语上）。

这些条件在经典的时间一致性情况下自动满足，但在一般的时间不一致性情况下不满足。在下一小节中，我们将用一个经典的实物期权问题来证明这一点。3.3实物期权问题：SP和n在平衡点存在时的失效本小节我们考虑了前一小节中研究的模型的一个特例，它是经过充分研究的（时间一致的）实物期权问题的时间不一致对应物。这样的问题可以用来建模，尤其是何时开始一个新项目或何时放弃一个正在进行的项目；参见Dixit（1993）对经典实物期权理论的系统描述。问题是最小化Zτh（s）Xsds+h（τ）KX=X（22）通过选择τ∈ T，其中X={Xt}T≥在这里，我们假设几何布朗运动是无漂移的，而不丧失一般性。dXt=σXtdWt。（23）我们现在将定理3应用于这个问题，看看等价条件（20）和（21）归结为什么。首先，L（x；r）=E[Z∞e-rtXtdtX=X]=xr。Hencew（x；r）=K-x个*rxx号*α（r）+xr，x<x*,K、 x个≥ x个*,V（x）=R∞K-x个*rxx号*α（r）dF（r）+r∞xrdF（r），x<x*,K、 x个≥ x个*,和^u（x）=0 x<x*,否则，其中α（r）=σ+qσ+2σrσ。（24）此外，从（19）可以得出x*是以下方程的y:Z解∞K-年α（r）dF（r）+Z∞yrdF（r）=0。Thusx公司*=Z∞α（r）dF（r）Z∞α（r）- 1rdF（r）K.（25）接下来，很容易验证α（r）[α（r）-1] [K]-L（x*; r） ]=σ（Kr-x个*); 因此，它在r中是一个递增函数≥ 此外，替换x的显式表示*在（25）到（20）和（21）中，我们发现后两个不等式都与以下单一不等式z相同∞α（r）dF（r）≥Z∞rdF（r）Z∞α（r）- 1rdF（右）。

（26）我们证明了以下命题3三元组（V，w，^u）解实物期权问题的Bellman系统当且仅当（26）成立。不等式（26）是模型原语上的一个关键条件，我们必须先验证，然后才能确定通过SP构造的解确实是时间不一致实物期权问题的均衡解。当分布函数F退化到指数折扣函数的经典时间一致情形时，立即可以看出（26）的严格不等式是平凡的。在这种情况下，x*（25）中的定义与第3.1小节中得出的停止阈值一致。这与时间一致性设置相一致。条件（26）可能适用于某些非指数折扣函数。考虑一个广义双曲折扣函数h（t）=（1+γt）βγ≡Z∞e-rtrβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）dr，γ>0，β>0。我们假设γ<β≤σ. 注意到α（r）-1 = -+√σ+2σrσ是r中的凹函数，wehaveα（r）- 1.≤ （α（r）- 1） ′r=0r+α（0）- 1=σr。此外，很容易看出z∞rdF（r）=β和α（r）≥ 1、因此，Z∞α（r）- 1rdF（r）Z∞rdF（r）≤ βσ≤ 1.≤Z∞α（r）dF（r），即（26）。因此，在这种情况下，SP工作，停止阈值x*是byx提供的*=Z∞α（r）rβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）drZ∞α（r）- 1rrβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）drK。然而，（26）也有可能失败，即使是最简单的非指数WDF——伪指数折扣函数，也是如此。要看到这一点，让h（t）=δe-rt+（1- δ） e类-（r+λ）t，0<δ<1，r>0，λ>0。

很容易得到thatZ∞α（r）dF（r）=Δα（r）+（1- δ） α（r+λ）和z∞rdF（r）Z∞α（r）- 1rdF（r）>（1- δ） （r+λ）δα（r）- 1r级.自（1）起- δ） （r+λ）δ（α（r）-1r）比Δα（r）+（1）增长快- δ） α（r+λ）当λ变大时，我们得出结论，当r、δ固定且λ足够大时，违反了（26）。到目前为止，我们讨论的结果表明，当不等式（26）失效时，通过SP构造的解并不能解决时间不一致的实物期权问题。在这种情况下，一个自然的问题是，是否可能存在平衡解，而这些平衡解是SP甚至Bellman系统都无法定义的。答案显然是否定的。命题4对于实物期权问题（22）–（23），如果（26）不成立，则不存在均衡停止规则。证据我们用矛盾来证明。假设^u是一个平衡停止规则。我们首先注意到C^u≡ {x>0：^u（x）=0}6=（0，∞); 否则^u≡ 0，导致J（x；τ^u）=R∞L（x；r）dF（r）=r∞xrdF（r），因此J（x；τ^u）→ ∞ 作为x→ ∞ 与附录A.2中的引理2相矛盾。定义x*= inf{x:x∈\'S^u}。它遵循附录A.2 t hat x中的引理3*∈ (0, ∞). 标准参数则导致j（x；τ^u）=Z∞K-x个*rxx号*α（r）dF（r）+Z∞xrdF（r），x∈ （0，x*].因为J（x；τ^u）≤ K和J（x*; τ^u）=K，我们有Jx（x*-; τ^u）≥ 0，即Z∞K-x个*rα（r）x*dF（r）+Z∞rdF（r）≥ 0，这依次给出x*≤R∞α（r）dF（r）r∞α（r）-1rdF（r）K。结合条件（26）的失效，我们导出*<Z∞rdF（r），它与引理3相矛盾。这就完成了证明。以上是一个更强的结果。它表明，要使问题有任何平衡停止规则（不一定是SP原理可以得到的规则），条件（26）必须成立。

因此，当涉及到非指数计数的时间不一致停止问题时，很可能不存在平衡停止规则，即使SP原则生成“解决方案”，或者，即使时间一致的对应项（其中除贴现函数外，其他一切都是独立的）确实可由SP求解。将这些结论应用于上述伪指数贴现函数，我们推断，当λ足够大时，不存在平衡点。话虽如此，命题3和命题4的一个逻辑结论是，当存在平衡时，其中一个必须是SP生成的解。一般来说，如果存在非平衡，则可能存在多个非平衡；例如，参见Krussell和Smith（2003）andEkeland和Pirvu（2008）f关于时间不一致控制问题中的多重平衡。在这种情况下，SP只能生成其中一个，但不一定生成所有。（即使对于经典的时间一致性停止问题，这种说法也是正确的。）因此，毕竟，对于时间不一致的问题，SP仍然是一种有用的、合适的方法；我们可以简单地应用它来生成候选解决方案。如果解决方案是一个平衡（我们必须验证），当我们找到一个平衡时（但不一定是其他平衡）；如果它不是一个平衡，那么我们知道根本没有平衡。4结论虽然SP原则已被广泛用于研究时间不一致停止问题，但我们的结果表明，在此类问题上使用此原则存在风险。我们已经证明，当且仅当满足某些不等式时，SPprinciple才能解决时间不一致性问题。通过经典真实期权问题的简单模型，我们发现，即使对于简单且常用的非指数折扣函数，也可能违反这些不等式。

当SP原则失效时，我们已经证明了个人内部的均衡并不存在。不存在的结果和SP原理的失败表明，当扩展到解决时间不一致的停止问题时，必须更加小心地使用常规最优停止问题的技术。A附录：证明A。1定理2关于停止时间τ，a的证明，如果a=1，则J（x；τ，a）=g（x）。Bellman方程（11）意味着g（x）≥ V（x）≡ J（x；τ^u）。这将产生（9）。如果a=0，则j（x；τ，a）=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZτ，a（h（s））- h（s）- ）f（Xs）dsX=X+ E[（h（τ，a））- h（τ，a- g（Xτ，a）| Xt=X]+E[V（X）| X=X]=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZτ，aZ∞e-r（s）-）（e）-r- 1） dF（r）f（Xs）dsX=X+ EZ∞e-r（τ，a）-）（e）-r- 1） dF（r）g（Xτ，a）X=X+ E[V（X）| X=X]=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZ∞（e）-r- 1） w（X；r）dF（r）X=X+ E[V（X）| X=X]。（27）定义τn=inf{s≥ 0：σ（Xs）Vx（Xs）>n}∧ .