平滑粘贴原理的失败和平衡的不存在

然后根据伊藤的公式得出E[V（Xτn）| X=X]=EZτn（σ（Xs）Vxx（Xs）+b（Xs）Vx（Xs））dsX=X+ V（x）。通过（11），我们得出[V（Xτn）| X=X]=EZτn（σ（Xs）Vxx（Xs）+b（Xs）Vx（Xs））dsX=X+ V（x）≥ EZτn(-f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r））dsX=X+ V（x）。注意，条件（6）和（7）确保-f（x）+R∞rw（x；r）dF（r）具有多项式增长，即t存在C>0，m≥ 1因此- f（x）+Z∞rw（x；r）dF（r）≤ C（| x | m+1），导致SUP0≤t型≤- f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r）≤ C（sup0≤t型≤| Xt | m+1）。此外，在条件（4）下，遵循标准SDE理论（例如，参见Yong和Zhou（1999）的第1章），方程（3）允许唯一的强解X满足[sup0≤t型≤| Xt | m | X=X]≤ K（| x | m+1），K>0。然后让n→ ∞, 我们通过支配收敛定理得出结论，即e[V（X）| X=X]≥ EZ(-f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r））dsX=X+ V（x）。因此，lim inf→0+J（x；τ，a）- J（x；τ^u）≥ lim inf→0+EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZ∞（e）-r- 1） w（X；r）dF（r）X=X+ lim inf→0+EZZ∞（rw（Xt；r）dF（r）- f（Xt））dtX=X.f和w的连续性以及多项式增长条件（6）和（7）允许使用支配收敛定理，这将使Slim inf→0+J（x；τ，a）- J（x；τ^u）≥ 0。这就完成了证明。A、 2命题的证明1将VBbe设置为最优停止问题的值函数。根据标准论证（例如，见Krylov 2008年第6章），Vb是连续可微的，其一阶导数是绝对连续的。此外，vb解决了以下BellmanequationminσxVBxx（x）+bxVBx（x）+f（x）- rVB（x），K- VB（x）= 0。（28）确定连续区域CB={x>0:VB（x）<K}a和停止区域SB={x>0:VB（x）=K}。我们声称SB6=（0，∞). 如果不是，则VB≡ K、 因此σxVBxx（x）+bxVBx（x）+f（x）-rVB（x）<0每当x∈ {x>0:f（x）- rK<0}。

然而，由于f（0）<rK，f的连续性意味着{x>0:f（x）- rK<0}6=. 这与Bellman方程（28）相矛盾。我们现在证明Cb6=（0，∞). 如果为false，则表示VB（x）=L（x；r），L由（15）定义。因为f是递增的，并且从下面以0为界，所以我们有vb(∞) ≡ 林克斯→∞VB（x）=Z∞Z∞林克斯→∞f（yx）e-rsG（y，s）dyds。f的凹度产生f（x）≥ xfx（x）+f（0）。然后从limx开始→∞xfx（x）=∞ thatlimx公司→∞f（x）=∞, 这就产生了VB(∞) = ∞. 这与VB（x）的事实相矛盾≤ K、 接下来，由于X是几何布朗运动，f在增加，很明显V在增加到o。现在，我们通过SP原理导出触发边界xB的值。具体而言，从（28）可以看出Vb（x）=（K- L（xB；r））（xxB）α（r）+L（x；r），x<xvb（x）=K，x≥ xB，其中α（r）由（17）定义。然后，SP表示VBx（xB）=0，经过一些计算，得出xB是方程（16）的解。为了证明（16）解的唯一存在性，定义Q（x）：=α（r）（K-L（x；r））+Lx（x；r）x。然后Qx（x）=(-α（r）+1）Lx（x；r）+Lxx（x；r）x。当L严格递增且凹且α（r）>1时，我们推断Q严格递减。它仍然显示Q（0）>0和Q(∞) < 很容易看出Q（0）=α（r）（K-L（0；r））=α（r）（K-f（0）r）>0且Q（x）=α（r）（K-L（0；r）-RxLx（s；r）ds）+Lx（x；r）x。因为L是凹的，所以我们有RxLx（s；r）ds≥ xLx（x；r）。因此Q（x）≤ α（r）（K- L（0；r））+(-α（r）+1）xLx（x；r）。回顾limx→∞xLx（x；r）=∞ α（r）>1，我们有Q(∞) = -∞.这就完成了证明。A、 定理3的证明在给出定理3的证明之前，我们需要先给出一系列引理。引理1给出n个停止规则u和贴现率r>0，函数E（x；τu，r）：=E[rτue-rtf（Xt）dt+e-rτuK | X=X]在X中是连续的∈ (0, ∞).证据

证明了E（·；τu，r）在给定x＞0时的右连续性；可以用同样的方法讨论左连续性。如果存在δ>0，则（x，x+δ）∈ Su，则立即得到了xis处E（·；τu，r）的右连续性。如果存在δ>0，则（x，x+δ）∈ Cu，则从Offeynman-Kac公式得出，E（·；τu，r）是微分方程σxExx+bxEx的解-rE+f=0开（x，x+δ）。这尤其意味着E（·；τu，r）∈ C（（x，x+δ））∩C（[x，x+δ]），由于f的正则性和微分方程的系数；因此，E（·；τu，r）在x处的右连续性。否则，我们首先假设f（x）≥ rK并考虑设置Cu∩ （十），∞). 因为它是开放式的，所以我们有Cu∩（十），∞) = ∪n≥1（an，bn），其中an，bn∈？苏，n≥ 那么很容易看出xis是{an}n的累积点≥1因此x∈？苏。定义I（x）：=E（x；τu，r）- K代表x∈ （安，bn）。很容易看出，我解出了以下微分方程σxIxx（x）+bxIx（x）- rI（x）+f（x）- rK=0。（29）边界条件si（an）=I（bn）=0。考虑一个辅助函数H，该函数解以下微分方程σxHxx（x）+bxHx（x）- rH（x）+f（x）- rK=0，边界条件SH（x）=H（b）=0。由于f（x）>rK on（x，∞), 比较原理表明H（x）≥ 0, x个∈ 【x，b】。将比较原则再次应用于任何（an，bn）∩（x，b），n∈ N+，我们有0≤ I（x）≤ H（x）。Notingthat H（x）→ H（x）=0作为x→ x+，我们得出结论，I（·）在x和so isE（·；τu，r）是右连续的。对于f（x）<rK的情况，类似的参数a适用。实际上，考虑一个辅助函数H满足（x，f）上的微分方程（29-1（rK）），边界条件H（x）=H（f-1（rK））=0。比较原理得出H（x）≤ I（x）≤ 0开（an，bn）∩ （x，f-1（rK）），n∈ N+。

紧接着是I（·）和E（·；τu，r）的右连续性。引理2如果^u是平衡停止规则，则J（x；τ^u）≤ Kx个∈ (0, ∞).证据如果t存在x∈ (0, ∞) 使得J（x；τ^u）>K，那么我们有lim sup→0J（x；τ^u）- J（x；τ，1）=∞,式中，^u，1由（10）给出。这与平衡停止规则的定义相矛盾。引理3如果^u i是平衡停止规则，则{x>0：f（x）<R∞rdF（r）K} C^u.证明。假设存在x∈ {x>0:f（x）<R∞rdF（r）K}∩\'S^u，则从引理2得出E[J（Xt；τ^u）| X=X]≤ K、 考虑停车时间τ，0。方程（27）和J（x；τ^u）=K的偏差给出J（x；τ，0）- J（x；τ^u）≤EZh（s）f（Xs）dsX=X+ E“Z∞e-r- 1!w（X；r）dF（r）X=X#。当w（·，r）是连续的（引理1）且w（x；r）=K时，我们有lim inf→0J（x；τ，0）- J（x；τ^u）≤ f（x）-Z∞rKdF（r）<0。这与平衡停止规则的定义相矛盾。现在我们来证明定理3。我们从效率开始。为此，必须显示V（x）≤ K、 x个∈ （0，x*) 和f（x）-R∞rdF（r）K≥ 0，x∈ （十）*, ∞).我们首先展示了Vxx≤ 0，x∈ （0，x*). 通过简单的代数，我们得到了vxx（x）=Z∞α（r）（α（r）- 1） （K）- L（x；r））（xx*)α（r）xdF（r）+Z∞Lxx（x；r）dF（r）。因为L是凹的，我们只需要校准∞α（r）（α（r）- 1） （K）- L（x；r））（xx*)α（r）dF（r）≤ 0、很容易看出（xx*)如果α（r）在r中增加且x<x，则α（r）在r中减少*. 然后再安排不等式（例如，Hardy et al.1952；Lehmann et al.196 6的第10章）yieldsZ∞α（r）（α（r）- 1） （K）- L（x；r））（xx*)α（r）dF（r）≤Z∞α（r）（α（r）- 1） （K）- L（x；r））dF（r）Z∞（二十）*)α（r）dF（r）。（30）因此，从（21）可以得出Vxx（x）≤ 0，x∈ （0，x*). 现在，Vx（x*) = 因此Vx（x）≥ 0，因此V（x）≤ Kx个∈ （0，x*), 由于V（x*) = K、 接下来，不等式f（x）-R∞rdF（r）Kx个∈ （十）*, ∞) 从f b随不等式（20）而增加得出。

这就完成了效率证明。我们现在转到必要性部分。由于（20）是引理3的直接推论，我们只需要证明（21）。假设（21）不成立。然后通过一个简单的计算，我们得到了vxx（x*-) =Z∞α（r）（α（r）- 1） （K）- L（x*; r） ）x*dF（r）+Z∞Lxx（x*; r） dF（r）>0。然而，Vx（x*) = 0，表示存在x∈ （0，x*) 使x上的Vx（x）<0∈ （x，x*).然后从V（x）开始*) = 当x时，V（x）>K∈ （x，x*), 这与引理2相矛盾。参考Bayraktar，E.、J.Zhang和Z.Zhou（2018）：“平均标准偏差问题的时间一致性停止-离散时间情况”，可在SSRN 3128866上获得。Bernstein，S.（1928）：“绝对单调原则”，《数学学报》，第52期，第1-66页。Bjork，T.和A.Murgoci（2010）：“马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论”，见SSRN 1694759。不等式（30）可读取为ascov（X，Y）≤ 0，X=α（R）（α（R）-1） （K）-L（x；R））（xx*)α（R）和Y=（xx*)α（R），其中R是具有分布函数F的随机变量。由于X的单调性，R中的Y，X和Y是反共单调的。然后，由于两个反共单调随机变量的共振度为非正，因此产生了不相等性（30）。Bj¨ork，T.、A.Murgoci和X.Zhou（2014）：“具有状态依赖性风险规避的均值-方差投资组合优化”，数学金融，24，1–2 4。Christensen，S.和K.Lindensj"o（2018b）：“寻找时间不一致马尔可夫问题的平衡停止时间”，暹罗控制与优化杂志，564228–4255。Christensen，S.和K.Lindensj–o（2018a）：“准时不一致的停车问题和混合策略停车时间”，可在rXiv 1804.0 7018上获得。Dixit，A.K.（1993）：平滑粘贴的艺术，第2卷，劳特利奇，伦敦和纽约。Ebert，S.，W.Wei和X。

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