平滑粘贴原理的失败和平衡的不存在

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英文标题：
《Failure of Smooth Pasting Principle and Nonexistence of Equilibrium
  Stopping Rules under Time-Inconsistency》
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作者：
Ken Seng Tan, Wei Wei, Xun Yu Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper considers a time-inconsistent stopping problem in which the inconsistency arises from non-constant time preference rates. We show that the smooth pasting principle, the main approach that has been used to construct explicit solutions for conventional time-consistent optimal stopping problems, may fail under time-inconsistency. Specifically, we prove that the smooth pasting principle solves a time-inconsistent problem within the intra-personal game theoretic framework if and only if a certain inequality on the model primitives is satisfied. We show that the violation of this inequality can happen even for very simple non-exponential discount functions. Moreover, we demonstrate that the stopping problem does not admit any intra-personal equilibrium whenever the smooth pasting principle fails. The \"negative\" results in this paper caution blindly extending the classical approaches for time-consistent stopping problems to their time-inconsistent counterparts.
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中文摘要：
本文考虑一个时间不一致的停止问题，其中不一致性是由非常数的时间偏好率引起的。我们证明了在时间不一致的情况下，光滑粘贴原理（用于构造传统时间一致性最优停止问题显式解的主要方法）可能会失败。具体来说，我们证明了光滑粘贴原则在个人内部博弈论框架下解决了时间不一致问题，当且仅当模型基元上的某个不等式满足时。我们证明，即使对于非常简单的非指数折扣函数，也可能发生违反此不等式的情况。此外，我们证明了当平滑粘贴原则失败时，停止问题不允许任何个人内部平衡。本文中的“负面”结果提醒我们，盲目地将时间一致性停止问题的经典方法扩展到其时间不一致的对应方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Failure_of_Smooth_Pasting_Principle_and_Nonexistence_of_Equilibrium_Stopping_Rul.pdf (297.63 KB)

2022-6-10 05:49:12 上传

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关键词：不存在 Quantitative Mathematical Conventional Consistency

时间不一致下光滑粘贴原理的失效和平衡停止规则的不存在*Ken Seng Tan Wei Wei Xun Yu Zhou+2019年9月5日摘要本文考虑时间不一致停止问题，其中不一致源于一类称为加权折扣函数的非指数折扣函数。我们证明了光滑粘贴原理，即用于构造经典时间一致性最优停止问题显式解的主要方法，在时间不一致的情况下可能会失败。具体地说，我们证明了在个人内部博弈论框架下，当且仅当模型基元上的某些不等式满足时，光滑预测解决了一个时间不一致的问题，具有一般非线性成本泛函和几何布朗运动。在实物期权问题的特殊情况下，我们证明，即使对于非常简单的非指数折扣函数，也可能发生违反这些不等式的情况。此外，我们还表明，当平滑粘贴方法失败时，实物期权问题实际上不允许任何均衡。本文的n个负性结果提醒我们，要盲目地将时间一致性停止问题的经典方法扩展到时间不一致的问题。*周感谢哥伦比亚大学和Nie智能资产管理中心通过启动拨款提供的财政支持。作者感谢副主编和两位匿名推荐人的详细和建设性意见，这些意见导致了版本的大幅改进。+谭：加拿大安大略省西滑铁卢大学统计与精算系滑铁卢数学3，200 UniversityAvenue West Waterloo，N2L 3G1。电子邮件：kstan@uwaterloo.ca.

魏：滑铁卢大学统计与精算学系，200 University Avenue West，Waterloo，N2L 3G1，ON，Canada。电子邮箱：wei。wei@uwaterloo.ca.周：美国纽约哥伦比亚大学IE OR系，邮编：10027。电子邮件：xz2574@columbia.edu.Key关键词：最优停止、加权折扣函数、时间不一致性、均衡停止、个人内部博弈、平滑粘贴、实物期权。1简介：经典最优停止模型的一个重要假设是，一个代理具有恒定的时间偏好率，因此会以指数方式折扣其未来的支付。当违反此假设时，最优停止问题通常会变得时间不一致，因为从未来日期的角度来看，今天获得的任何最优停止规则可能不再是最优的。这个问题在很大程度上是描述性的，而不是规范性的，因为通常没有可以用来指导代理决策的动态最优解决方案。不同的代理可能会对同一时间不一致的问题做出不同的反应，本研究的目标是描述不同的行为。Strotz（1955）是第一个观察到非恒定时间偏好率会导致时间不一致性的人，并将面临这种时间不一致性的人分为三类。其中一种类型被称为“未承诺、成熟的员工”，她在任何给定的时间都会以未来自己选择的停止决策为约束，优化潜在目标。这类问题是在个人内部博弈论框架下提出的，并用相应的均衡来描述这类代理人的行为；例如，见菲尔普斯和波拉克（1968）；Laibson（1997）；O\'Donoghue和Rabin（2001）；Krussell和Smith（2003）以及Luttmer和Mariotti（2003）。

Ekeland和Lazrak（2006）推导了连续时间确定性平衡控制的扩展动态规划方程，随后Jork和Murgoci（2010）推导了随机版本，并应用于Bj¨ork等人（2014）的均值-方差portfo-lio模型。本文在内部博弈框架下研究了连续时间内的时间不一致停止问题，其中时间不一致的来源是所谓的加权贴现函数（WDF），这是一类非常普遍的非指数贴现函数。我们作出了两项主要贡献。首先，我们证明了平滑粘贴（SP）原则，这几乎是解决经典最优停止问题的唯一方法，当Eb-ert等人（2016）提出的WDF是一组指数折扣函数的加权平均值时，可能会失败。Ebert et al.（2016）表明，它可以用来建模一组个体以及行为主体的时间偏好，最常用的非指数折扣函数是WDF。时间一致性丢失。其次，对于一个时间一致的停止模型，其对应物是研究得很好的实物期权问题，我们建立了一个不存在均衡停止规则的条件。这些结果是有建设性的，它们警告盲目地将SP原则扩展到时间不一致的停止问题。现在，让我们来谈谈第一个贡献。回想一下，SP用于导出（通常是明确的）常规、时间一致的最佳停止问题的解决方案。它根据自由边界周围的C光滑粘贴，推测基本Bellman方程（或变分不等式）的候选解，这是一个自由边界PDE，然后检查它在一些标准正则性/凸性条件下在模型基元上求解PDE。

最后，使用标准验证技术验证了自由边界的首次击中时间确实解决了最佳停止问题。最近，Glandier和Wang（2007）以及Hsiaw（201 3）等人将SP原则的应用扩展到解决时间不一致的停止问题。虽然SP碰巧在这些论文的特定环境下工作，但它更多的是一个例外而非规则。事实上，在本文中，我们表明，对于具有非线性成本泛函的几何布朗运动，虽然SP始终是一个候选解，但当且仅当模型原语上的确定性不等式满足时，后者实际上会产生一个平衡停止规则。这些不等式对于时间一致的指数折扣情况来说并不重要，但一般来说，即使所有其他参数和假设（状态动力学、运行成本等）都是相同的，也不适用于其时间不一致的非指数对应项。事实上，即使在非常简单的情况下，违反这种不平等也并不罕见。例如，我们表明，在实物期权问题的特殊情况下，一些WDF包括伪指数贴现函数（Ekeland和Lazrak 2006；Karp 2 007；Harris和Laibson 2013），不等式不适用于所选贴现函数的合理参数值集。底线是，当存在时间不一致性时，不能盲目地将SP应用于任何停止模型，即使SP确实适用于其时间一致性对应模型。第二个贡献是个人内部平衡的不存在。对于时间一致性停止问题，当成本函数和基础过程满足一些温和的规律性条件时，存在最优停止规则（参见Peskir和Shiryaev 2006）。然而，对于时间不一致的对手来说，情况已不再如此。

为了证明这一点，我们再次考虑了WDF的实物期权问题。对于这样一个问题，我们证明了只要违反上述不等式，就不存在任何平衡停止规则，因此SP原理失效。因此，我们的结果表明，个人内部博弈论框架内的均衡停止规则可能不存在，也不知道对基础模型施加了什么样的规则条件。文献中有关于时间不一致停止的研究，包括不存在的结果，尽管在相当不同的环境中，尤其是在时间不一致的来源和平衡的定义方面。Bayraktar等人（20-18）考虑了一个具有离散时间马尔可夫链的停止问题，而时间不一致性来自平均方差目标函数。马尔可夫链在一组有限的数字中取值，这使得他们可以通过枚举来讨论平衡停止规则的不存在性。Christensen和Lindensj¨o（2018a）以及Christensen和Lindensj"o（2018b）研究连续时间停止问题，其中时间不一致性源于支付函数的类型（均值方差或内生沙比特形成）。Christensen和Lindensj¨o（2018a）特别指出，从SP导出的候选解可能不会导致某些参数范围内的平衡停止。然而，这些论文中对平衡的定义与基于“一阶”尖峰变化的定义完全不同；后者似乎被包括本论文在内的许多论文广泛采用（例如，见O\'Donoghue and Rabin 2001；Bjork and Murgoci 2010；Ekeland et al.2012；Bj¨ork et al.2014）。Huang和Nguyen Huu（2018）研究了一个具有非指数折扣函数的连续timestopping问题。

他们通过映射的一个执行点来定义平衡，该点基本上基于零阶条件，因此与我们的定义不同。在他们的背景下，立即停止总是一个（琐碎的）平衡Christensen和Lindensj¨o（2018a）也认为混合策略与我们的论文和许多其他论文中研究的纯策略相反。使用混合策略的时间不一致性问题很有趣，在混合策略类中也可能找不到均衡。然而，本文的主要观点是表明，贴现因子从指数到非指数的变化可能会导致一个均衡到非均衡的停止问题，即使两者都使用纯策略。（因此不存在不存在的问题），根据我们的定义，情况并非如此。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了Ebert等人（2016）提出的WDF的定义和一些重要性质，在个人内部博弈论框架内提出了一个一般的时间不一致停止问题，并通过Bellman系统描述了均衡停止规则，并提供了验证。在第3节中，我们考虑了当状态过程是几何布朗运动时，应用SP原理导出候选解，并为导出的候选解建立一定的等价条件，以实际求解Bellman系统。然后，我们提出了一个实物期权问题，在该问题中，上述等价条件简化为一个单不等式，否则根本就没有均衡。最后，第四部分对本文进行了总结。附录A包含一些结果的证明。2模型2.1时间偏好在本文中，我们考虑加权折扣函数，定义如下。定义1（Ebert等人。

2016）让h：[0，∞) → （0，1）随h（0）=1严格递减。如果存在一个集中于[0]的分布函数F，我们称h为加权折扣函数（WDF），∞) 使得H（t）=Z∞e-rtdF（右）。（1） 此外，我们称F为h的加权分布。许多常用的贴现函数可以用加权形式表示。例如，指数函数h（t）=e-rt，r>0（Samuelson 1937）和伪指数函数h（t）=δe-rt+（1-δ） e类-（r+λ）t，0<δ<1，r>0，λ>0（Ekeland和La zrak 2006；Karp 2007）是分别具有退化和二元分布的WDF。一个更复杂的例子是参数γ>0、β>0的广义双曲贴现函数（Loewenstein和Prelec 1992），它可以表示为ash（t）=（1+γt）βγ≡Z∞e-rtf公司rβγ, γdr（2），其中f（r；k，θ）=rk-1e级-rθθkΓ（k）是γ分布的密度函数，参数为kθ，且Γ（k）=r∞xk公司-1e级-xdx在k处计算的伽马函数。有关加权形式折扣函数类型的更多示例和讨论，请参见Ebert et al.（201 6）。下面的结果是对著名的伯恩斯坦定理在WDF方面的重述，它实际上提供了后者的特征。定理1（Bernstein 1928）折扣函数h是WDF当且仅当它是continuouson[0，∞), 在（0，∞), 和满意度(-1） nh（n）（t）≥ 0，对于所有非负整数n和所有t>0。Bernstein定理可用于检验给定函数是否为WDF，而无需以（1）的形式表示它。

例如，根据这个定理，恒常灵敏度折扣函数h（t）=e-atk，a，k>0，常数绝对递减不耐烦折扣函数h（t）=ee-计算机断层扫描-1，c>0，都是WDF。2.2完全过滤概率空间上的停止规则和平衡(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P）存在一个一维布朗运动W，以及一系列由初始状态X=X参数化的马尔可夫扩散过程X=XX∈ 由以下随机微分方程（SDE）控制，dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）Wt，X=X，（3）其中b，σ是Lipschitz连续函数，即，存在一个L>0，使得任何X 6=y | b（X）- b（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ L | x- y |。（4） 我们假设F是X产生的自然过滤的P-增强。为了避免不可预测的情况，我们还假设|σ（X）|≥ c>0x个∈ 所以X是非退化的。对于任何固定x∈ R、 代理监控过程X=xxx，旨在最小化以下成本函数j（X；τ）=EZτh（s）f（Xs）ds+h（τ）g（Xτ）X=X（5） 通过选择τ∈ T，所有F停止时间的集合。这里h是一个加权分布为f的WDF，g是连续且有界的，f是连续且多项式增长的，即存在≥ 1和C>0，使得| f（x）|≤ C（| x | m+1）。（6） 此外，我们假设存在n≥ 1，C（r）>0满足r∞C（r）dF（r）+r∞rC（r）dF（r）<∞ 这样SUPτ∈TE公司Zτe-rs | f（Xs）| ds+e-rτ| g（Xτ）|X=X≤ C（r）（| x | n+1）， r∈ 补充（F）。（7） 这是一个（弱）假设，以确保停止问题的最佳值是有限的，因此问题是正确的。我们现在定义了基本上是二进制反馈控制的停止规则。

对于任何给定的马尔可夫过程，这些停止规则都会产生马尔可夫停止时间。定义2（停止规则）停止规则是一个可测量的函数u:R→ {0，1}这里我们假设布朗运动是一维的，只是为了符号简单。对于多维布朗运动来说，这并不重要。0表示“继续”，1表示“停止”。对于任意giv-en-Markov过程X={Xt}t≥0，重叠规则定义了马尔可夫停止时间τu=inf{t≥ 0，u（Xt）=1}。（8） 给定停止规则u，我们可以确定停止区域Su={x∈ (0 , ∞) : u（x）=1}。Forany x公司∈‘Su，由于基本过程X是非退化的，标准结果（如Ito和McKean Jr 1965的第3章）得出P（τu=0 | X=X）=1，因此J（X；τu）=g（X）。这意味着一旦过程到达“Su”中的任何一点，代理立即停止。因此，在本文的设置中，连续区域为Cu=(R)Suc。如前所述，成本函数（5）中的非指数折扣函数h通常会导致潜在的最优停止问题时间不一致。在这篇文章中，我们考虑了一个老练而不坚定的人，她意识到时间的不一致性，但无法控制自己未来的行动。