期权定价中的维度诅咒与最优解

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英文标题：
《Beating the curse of dimensionality in options pricing and optimal
  stopping》
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作者：
David A. Goldberg and Yilun Chen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The fundamental problems of pricing high-dimensional path-dependent options and optimal stopping are central to applied probability and financial engineering. Modern approaches, often relying on ADP, simulation, and/or duality, have limited rigorous guarantees, which may scale poorly and/or require previous knowledge of basis functions. A key difficulty with many approaches is that to yield stronger guarantees, they would necessitate the computation of deeply nested conditional expectations, with the depth scaling with the time horizon T.   We overcome this fundamental obstacle by providing an algorithm which can trade-off between the guaranteed quality of approximation and the level of nesting required in a principled manner, without requiring a set of good basis functions. We develop a novel pure-dual approach, inspired by a connection to network flows. This leads to a representation for the optimal value as an infinite sum for which: 1. each term is the expectation of an elegant recursively defined infimum; 2. the first k terms only require k levels of nesting; and 3. truncating at the first k terms yields an error of 1/k. This enables us to devise a simple randomized algorithm whose runtime is effectively independent of the dimension, beyond the need to simulate sample paths of the underlying process. Indeed, our algorithm is completely data-driven in that it only needs the ability to simulate the original process, and requires no prior knowledge of the underlying distribution. Our method allows one to elegantly trade-off between accuracy and runtime through a parameter epsilon controlling the associated performance guarantee, with computational and sample complexity both polynomial in T (and effectively independent of the dimension) for any fixed epsilon, in contrast to past methods typically requiring a complexity scaling exponentially in these parameters.
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中文摘要：
高维路径相关期权定价和最优停止的基本问题是应用概率和金融工程的核心。现代方法通常依赖于ADP、模拟和/或对偶，具有有限的严格保证，这可能扩展性很差和/或需要先前的基函数知识。许多方法的一个关键困难是，为了产生更有力的保证，它们需要计算深度嵌套的条件期望，并随时间范围T进行深度缩放。我们通过提供一种算法来克服这一基本障碍，该算法可以在保证的近似质量和原则上要求的嵌套水平之间进行权衡，不需要一组好的基函数。受网络流连接的启发，我们开发了一种新的纯双重方法。这导致最优值表示为无穷和，其中：1。每个项都是一个优雅的递归定义的下确界的期望；2、前k个术语只需要k个嵌套级别；和3。在第一个k项处截断会产生1/k的误差。这使我们能够设计一个简单的随机算法，其运行时间有效地独立于维度，而不需要模拟底层进程的样本路径。事实上，我们的算法完全是数据驱动的，因为它只需要模拟原始过程的能力，并且不需要关于底层分布的先验知识。我们的方法允许通过控制相关性能保证的参数epsilon在精度和运行时间之间进行优雅的权衡，对于任何固定的epsilon，计算和样本复杂性都是T中的多项式（并且有效地独立于维数），而过去的方法通常需要在这些参数中按指数缩放复杂性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Data Structures and Algorithms        数据结构与算法
分类描述：Covers data structures and analysis of algorithms. Roughly includes material in ACM Subject Classes E.1, E.2, F.2.1, and F.2.2.
涵盖数据结构和算法分析。大致包括ACM学科类E.1、E.2、F.2.1和F.2.2中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：期权定价中 期权定价 最优解 Quantitative Mathematical

战胜期权定价和最优停止中的维度诅咒陈一伦康奈尔大学运筹学和信息工程系，yc2436@cornell.eduDavidA.康奈尔大学运营研究与信息工程系（GoldbergDepartment of Operations Research and Information Engineering，Cornell University），dag369@cornell.eduThe高维路径相关期权定价的基本问题，以及更普遍的最优停止问题，是应用概率、金融工程、随机控制和运筹学的核心问题，已引起学术界和实践者的极大兴趣和研究。现代方法通常依赖近似动态规划、模拟和/或鞅对偶理论来实现最优停止，通常具有有限的严格性能保证，这可能会按比例和/或需要良好基函数的先验知识。许多方法的一个关键困难是，为了产生更强的理论性能保证，它们需要计算深层条件期望，其中嵌套深度随时间范围t而变化。在实践中，这通常通过避开这些深层条件期望的近似来克服，但这通常没有强有力的理论保证。我们通过提供一种算法克服了这一根本障碍，该算法可以在保证的近似质量和原则性要求的嵌套水平（条件期望）之间进行权衡，而不需要一组好的基函数。我们开发了一种全新的纯双重方法，其灵感来自与网络流的连接。这导致将最优值表示为一个有限的总和，其中：1。

每个术语都是对某种自然和优雅的递归定义的期望；2.前k个术语仅要求k个嵌套级别；和3。在前k项处截断会产生k的（归一化）误差。这使我们能够设计简单的随机算法和停止策略，其运行时间有效地独立于维度，而不需要模拟底层流程的样本路径。事实上，我们的算法是数据驱动的，因为它们只需要模拟原始过程的能力（可能以部分历史为条件），基本上不需要关于底层分布的先验知识。我们的方法允许通过控制相关性能保证的参数在精度和运行时间之间进行优雅的权衡，对于任何固定的参数，计算复杂性和样本复杂性都是T中的多项式（并且有效地独立于维度），而过去的方法通常需要在这些参数中按指数缩放复杂性。关键词：最优停止、期权定价、高维、非马尔可夫、鞅对偶、嵌套条件期望、模拟、网络流、属性和不等式、多项式时间近似方案、随机控制、罗宾斯问题、美式期权、百慕大期权和戈德堡：战胜期权定价和最优停止中的维度诅咒1。引言1.1。问题和知识概述股票期权定价的基本问题是应用概率和金融工程的核心，有着丰富的历史（Poitras（2009））。在这里，我们的重点将放在百慕大期权上，这是离散时间最优停止pr问题的一个特例，其本身就是随机控制和运筹学的核心。

我们并不试图调查这些研究领域的所有内容，而是将感兴趣的读者引向Jarrow和Ru dd（1983）、Belomestny和Schoenmakers（2018）、Myneni（1992）、Ahn等人（2011）、Haugh和Kogan（2007）、Ferguson（1989）、Du ffe（2010）、Carmona和Touzi（2008）、Lempa（2014）、Robbins、Sigmun d和Chow（1971）、Aydogan等人（2018）、Co nt和Tankov（2003），Bank和Follmer（2003年）以及Lucier（2017年）的补充背景。回想一下，在百慕大期权定价的一般情况下，存在一些潜在的（可能是非马尔可夫和高维的）随机过程Y={Yt，t∈[1，T]}，和一般（可能与时间相关）支付函数序列{gt，T∈ [1，T]}。要塞∈ [1，T]，向量X=（X，…，XT），设X[T]= （X，…，Xt）。类似地，对于t∈ [1，T]和amatrix M中有T列，让mt表示M的第T列，M[T]表示M的第一个T列的子矩阵。然后gt（Y[T]）表示T时执行股票期权的支出∈ [1，T]，百慕大期权的定价问题是计算supτ的问题∈TE公司gτ（Y[τ]）, 对于T，[1，T]中所有整数值停止时间的集合，适应自然过滤比n F={Ft，T∈ [1，T]}由Y生成（McKean（1965））。在这项工作中（在不丧失一般性的情况下，即w.l.o.g），通常可以方便地（在某种意义上更自然地）考虑相关的最小化infτ∈TE公司gτ（Y[τ]）, 除非另有说明，否则应始终假设这样一个最小化框架（稍后我们将对相关转换进行更深入的评论）。我们同样会假设GT是非负的。

有时也可以方便地假设t{gt，t∈ [1，T]}已规范化，因此gt∈ [0，1]对于所有t∈ [1，T]，而不是重复引用支持度和/或适当截断的上界，我们将在此类假设生效时明确说明。众所周知，对于金融应用中的大多数问题，此类最优停止问题没有简单的解析解，必须采用数值/计算方法。在这里，我们专门关注两种最流行的现代方法，ApproxiateDynamic programming（ADP）和对偶。虽然也有大量关于交替（如PDE、求积）方法的文献，但这些方法在高维情况下通常会受到相同复杂相关问题的影响，我们请读者参考Achdou et al.（2005）、Peskir et al.（2006）、Pasucci（2011）和Haug（2007）了解更多详细信息。我们确实注意到，之前的其他工作通过其他动态建模范式实现了不同程度的可操作性，例如稳健优化（Bandi and Bertsimas（2014）），这些结果是ourChen和Goldberg无法比拟的：在期权定价和最优停售中击败维度诅咒。在典型应用中，Y将是股票价格和经济指标的高维向量，在非马尔可夫f ashion中演化（Rogers（2002）），其中我们注意到，最近对几个这样的马尔可夫模型产生了相当大的兴趣（Bayer et al.（2016））。不幸的是，这种高维性和路径依赖性的结合确保了在DP（描述问题m的自然方式）的任何幼稚模式将需要时间在维度、时间范围和/或两者中呈指数增长。从20世纪90年代末到2000年代中期（并持续到今天），采用的主要方法之一是ADP。

在这里，我们使用抽样，或许是基函数的明智选择，来近似DP方程并生成可处理的算法。这方面的开创性论文包括e Tsitiklis和Van Roy（1999），尤其是Longsta off和Schwartz（2001）。随后进行了许多工作，包括政策迭代、神经网络和深度学习等方面的工作，也包括多重停止设置（Kolodko et al.（2006）、Lai et al.（2004）、Kohler et al.（2010）、Becker et al.（2018）、Bender et al.（2006a，b）、Kohler（2010）、Bender et al.（2008）、Beveridge（2013））。通常，这些方法是对基于模拟的方法论的增强（Bro-adie和Glasserman（20 04），Broadie et al.（2000），Broadie和Detemple（2004），Kan et al.（2009），Hong和Juneja（2 009），Belomestny et al.（2013），Bolia et al.（2004），Liu和Hong（2009），Kashtanov（201 7），Boyle et al.（2003），Ibanez et al.（2 004），Meinshausen et al.（2004），Egloff et al.（2007），Kargin（2005），Bolia et al.（2005）、Lemie ux et al.（2005）、Staum（2002）、Chen和Hong（2007）、Belomestny et a l.（2015）、Agarwal et al.（2016）），我们注意到，即使在ADP普及之前，模拟也是期权定价中一种流行的工具（Broadie和Glasserman（1997））。虽然这些MethodSoft在实践中提供了很好的界限，但在非马尔可夫和路径依赖设置中严格的性能保证是有限的，通常是：1。要求给出一组良好的基函数和/或初始近似值；2、在维数和其他参数s中有可以快速降级的界限；3、在难以控制和解释的数量方面有界限；或4。基本上没有严格的限制。此类分析显示为ine。g、 Avramidis et al.（2002），Clement et al.（2002），Bouchard et al.（2012），Glasserman and Yu（2004b），Bezerra et al.（2017），Belomestny et al。

（2018）、Stentoft（2004）、Belomestny（2011，b）、Agarwal和Juneja（2013）、Glasserman和Yu（2004）、Eglo off等人（2005）、Zanger（2013）、Kim（2017）、Bhandari等人（2018）和Del Moral等人（2011）。在Davis和Karatzas（1994）的开创性工作基础上，Haugh和Kogan（2004）以及Rogers（2002）同时提出了期权定价的双重方法论，并取得了显著的进展。特别是对于x∈ R、 le t mx表示关于（w.R.t）过滤F的均值x，t维鞅s的集合。那么上述工作证明了infτ∈TE公司gτ（Y[τ]）= supM公司∈我造币厂∈[1，T]gt（Y[t]）- Mt公司, 这为Chen和Goldberg提供了另一种方法：击败期权定价中的维度诅咒，并以最优方式解决问题。随后，在多重映射设置中也发现了其他双重表示（Jameshidian（2007）、Joshi（2015）、Lerche et al.（2010）、Schoenmakers（2012）、Chandramouli et al.（2012）、Lerche et al.（2007））；该方法被扩展到更一般的控制问题（Br own（2010）、Brown and Hau gh（2017）、Rogers（2007）、Bender（2018））。混合原对偶、ADP（包括通过适当的基函数逼近最优对偶鞅的方法）和相关的迭代方法（基于消费过程等）已经导致了大量的算法进步（Andersen和Broad ie（2004）、Chen和Glasserman（2007）、Belomestny和Milstein（2006）、Belomestny et al.（2013）、Ibanez et al.（2017），Desai et al.（2012），Christensen（2014），Belomestny（2013，2017），Lelong（2018），Rogers（201 5），Chan dramouli et al.（2018），Fuji et al.（2011），Mair et al.（2013），Belomestny et al.（2009），Hepperg er（2013），Broadie and Cao（2008），Zhu et al.（2015））。不幸的是，上述所有工程中的性能保证都与前面提到的相同。

尽管缺乏理论依据，但我们确实注意到，这些算法中的许多算法，以及之前在ADP、模拟和政策迭代中讨论的那些算法，似乎在一系列数值示例中表现良好。最近，Rogers（2010）提出了一种所谓的纯对偶方法，在该方法中，他使用向后s归纳法对最优鞅给出了一种新的明确表示，无需循环引用cos t-to-go-functions（因为在过去的文献中，通过与被称为Snell包络的过程相关的Doob-Meyer-dec组合，通常定义了最优鞅，参见Davis和Karatzas（1994））。不幸的是，正如罗杰斯所指出的那样，这种构造需要条件期望的深度T嵌套，而高维和路径依赖的设置无法有效模拟。事实上，众所周知，就这种完全嵌套的条件期望而言，即使是原始的问题也有一个类似不切实际的“显式解决方案”。随后，该方法在几项工作中得到了扩展（Bender et al.（2015），Schoenmakers e t al.（2013），Belomestny et al.（2013），Belomestny（2017））。我们注意到，Chen和Glasserman（2007）早期的一项重要工作在某种意义上预测了他的纯对偶解的概念，因为作者定义了一个基于所谓上解的迭代过程，该过程导致了最优对偶鞅的展开（类似的想法也出现在Amshidian（2007））。此外，我们注意到上面提到的一些算法，包括原始对偶方法的most以及Kolodko等人。

（2006）、Belomestny and d Milstein（2006）、Beveridge（2013）和Chen and Glasserman（2007）具有一定的对比性质（一系列轮次的屈服边界），并且似乎只经过几次迭代就产生了强大的边界，至少在许多参考文献中研究的数值示例上是如此。由于这些方法可以在不使用深度嵌套的条件期望的情况下有效地实现大量迭代，这表明在实践中，这些迭代方法中的许多方法通常可以屈服于Eldchen和Goldberg：有效地克服期权定价中的维数诅咒和最优停止良好界限。然而，据我们所知，这些方法都没有强有力的理论保证，仅需少量迭代即可确保良好的性能，在这项工作之前，设计这样一种操作方法仍然是一个基本的公开挑战，这种方法允许在所需的迭代次数/嵌套条件期望的深度和实现的精度之间进行明确的权衡。1.2. 当前高维路径相关百慕大选项的定价技术包括以下两个方面：1。ADP和primal-dual方法，其中性能和运行时保证受到限制，并且问题参数可能会迅速降低；2、无法有效实施或没有性能保证的纯双重方法；3、迭代方法，在经过很少的迭代（可以有效地实现）之后，似乎可以在数值示例上产生良好的界限，但在这些方面没有任何理论保证；或4。替代方法，如PDE方法，可解决许多相同的问题。

对于许多具有严格理论保证的当前方法来说，深层嵌套条件期望的存在是一个根本瓶颈，尤其是在那些不需要一组好的基础函数作为输入的方法中。2、主要结果2.1。附加符号我们现在陈述我们的主要结果，并从形式化一些附加符号开始。回想一下，Y={Yt，t∈ [1，T]}是一个一般的（可能是高维和非马尔可夫的）离散时间随机过程。对于混凝土，我们将每个YT的尺寸固定为一些固定值D（可能非常大，甚至相对于T和任何其他参数）。对于t∈ [1，T]，让t指定所有D×t矩阵（即D行、t列）的集合，其中R、so、Y[t]中有条目∈ t、 回想一下，FTI是由Y[t]生成的σ场；F相应的过滤；和T适应于F s.T.τ的整数值停止时间τ集∈ [1，T]w.p.1。让Zt= gt（Y[t]），如果我们希望使依赖关系显式，那么我们写Zt（Y[t]），并假设Zt对于所有t都是非负的和可积的。更一般地，对于适应于F，t的随机过程X∈ [1，T]和γ∈ t、 我们让Xt（γ）在事件{Y[t]=γ}的条件下定义X的值，其中，如果该事件的度量值为零，则Xt（γ）应在所谓的正则条件概率意义下进行解释（Faden（1985））。通常我们假设Y和{gt，t∈ [1，T]}是完全非病理性的，以确保所有相关条件和条件分布，以及各种感兴趣的衍生随机变量（r.v.s），都得到了很好的定义（至少在规则条件概率的意义上），并为未来的研究留下更正式的此类技术问题的研究。所有对数都应该以e为基数来解读：战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒。