半参数实现的联合风险价值和预期短缺

此外，预计τ的符号与区域化GARCH模型的符号相反，因为较低分位数水平的分位数QT为负值，例如，α=1%；2.5%，本文考虑。最后，如Taylor（2019）所述，结果似然表达式由：p（rt | It-1) =(α - 1） EStexp（rt- Qt）（α- I（rt≤ Qt））αESt,暗示That rt- QT服从时变尺度的AL分布。然而，我们想强调的是，该框架并不依赖于AL或任何分配假设f或回报。这只是一个假设，它会导致在相同的参数值下优化psuedo可能性，从而最小化相关的联合VaR和ESloss函数。3.3 Gerlach和Wang（2020a）中讨论的已实现-ES-X-CAViaR-X模型，上述两个规范限制了已实现度量影响ES的通道，即X仅直接出现在分位数回归方程中。因此，在本文中，我们通过引入一个加法模型，进一步扩展了RealizedES鱼子酱，通过r e-指定wt=Qt上的动态，实现的度量可以影响VaR和ES，并分别影响VaR和ES- EST将直接由已实现的措施驱动，紧随Gerlach和Wang（2020a）之后。然而，对于任何零平均常数条件回报分布：Qt=aασt；ESt=bασtwt=Qt- ESt=（aα- bα）σt其中aα和bα是依赖于分布的常数标度因子。然后，对于绝对值GARCH-X模型：σt=β+βXt-1+βσt-1、由此得出：wt=（aα- bα）β+（aα- bα）βXt-1+βwt-1，=γ+γXt-1+βwt-最后，通过进一步放宽β参数，使其成为一个新的参数γ，使时变wtcomponent具有更灵活的自身自动整合（AR）动力学，我们得到：wt=γ+γXt-1+γwt-1.（8）因此，我们提出以下实现的-ES-X-CAViaR-X框架。

模型名称中的两个“X”强调VaR和ES分别受到已实现度量的影响，通过QT和wt的两个AR规范。最后一个度量方程通过重新评估ES上的已实现度量来“完成”模型，以建模其关系。已实现-ES-X-CAViaR-X：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（9）wt=γ+γXt-1+γwt-1，ESt=Qt- wt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+ut，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0以确保VaR和ES估计值不交叉。和UTA的定义与已实现的ES CAViaR Mult和已实现的ES CAViaR Add中的定义相同。在本文中，当需要时，我们使用Realized ES（-X）-CAViaR（-X）作为通用名称，其中包括拟议的Realized ES CAViaR Mult、Realized ES CAViaR-Add和Realized-ES-X-CAViaR-X框架。已实现的ES（-X）-CAViaR（-X）框架可以扩展到其他非线性模型中，例如，通过选择Gerlach et al.（2011）中的量子动力学，这在本文中没有探讨。4似然和贝叶斯估计4.1 ES鱼子酱对数似然函数，但实现的ESCAViaR模型的分位数和ES方程的伪似然表达式与Taylor（2019）中ES鱼子酱模型的伪似然表达式相同，即：l（r；θ）=nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））αESt. （10） 然而，已实现的ES-CAViaR模型中的测量方程意味着在该框架中，联合伪似然函数需要添加组件。4.2实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）对数可能性，因为实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）框架有一个测量方程，即UTI。i、 d。~ N（0，σu），实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）（如（7）和（6）所示）的全伪对数似然函数包括两部分，即：l（r，X；θ）=l（r；θ）+l（X | r；θ）=（11）nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- Qt）（α- I（rt≤ Qt））αESt|{z}l（r；θ）-nXt=1对数（2π）+对数（σu）+ut/σu|{z}l（X | r；θ），其中ut=Xt- ξ - φ| ESt |- τt- τ（t-\'t），t=1。

，n.在已实现的GARCH框架中，测量方程变量XT有助于波动率估计，因此与经典GARCH相比，样本内和预测的对数似然度都有所提高。我们预计，与ES鱼子酱模型相比，已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）中的测量方程也有助于改进对ESt（和Qt）的估计，从而实现更准确的VaR和ES预测。4.3最大似然估计Taylor（2019）中的伪最大似然（ML）方法适用于拟议的已实现ES鱼子酱模型。总的来说，ML方法包括一个四步过程，为ro-bust“MultiStart”优化方案精心选择起始值。在第一步中，通过优化基于分位数损失的分位数回归伪似然，分别估计分位数方程参数（β、β、β）。在第二步中，测量方程参数（ξ、φ、τ、τ、σu）和ES分量参数γ的多个起始值用于实现ES鱼子酱Mult，或（γ、γ、γ）用于实现ES鱼子酱Add和实现ES-X-CAViaR-X，随机抽样：50,00 0个随机候选起始向量用于已实现的ES CAViaRMult，10个用于已实现的ES CAVia R-Add和已实现的ES-X-CAViaR-X，因为涉及的参数较多。在第三步中，第一步中β、β、β的估计值与第二步中随机抽样的候选值相结合，生成局部最优参数集，使对数似然函数最大化（11）。在第四步中，该局部最优imum参数集被用作Matla b“MultiStart”优化的起始值，这是一种稳健的优化方法。

在我们的论文中，所使用的“MultiStart”函数使用50个单独的起点，生成50个局部解，然后最终选择其中的全局o pt imum作为ML参数估计。如Matlab文档中所述：“MultiStart”对象包含的属性（选项）影响“run”如何重复运行局部解算器以生成GlobalOptimSolution对象。运行时，解算器尝试从不同的分歧点开始，找到问题的多个局部解决方案。4.4贝叶斯估计在Gerlach和Wang（2016）的推动下，我们还采用了贝叶斯方法来估计拟议模型。给定一个似然函数和aprior分布的规格，可以使用贝叶斯方法来估计所提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型的参数。采用了一种自适应MCMC方法，该方法是Gerlach和Wang（2016）中的方法的扩展。使用三个块：θ=（β，β，β，φ），θ=（ξ，τ，τ，σu），θ=（γ，γ，γ），用于实现ES鱼子酱添加和实现-ES-X-CAViaR-X；θ=（γ）对于已实现的ES鱼子酱Mult，其动机是同一块内的参数在后验（似然）方面比块间的参数更密切相关。先验被选择为对正性有效且对平稳性必要的区域无信息，例如π（θ）∝ I（A），是区域A上θ的一个优先值。对于已实现的ES CAViaR Add和已实现的ES-X-CAVia R-X模型，区域A限制γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0，以确保每个wt的正性，并且γ<1，这对于平稳性是必要的。限制γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0对于每个wtterm的积极性并不是严格必要的，在贝叶斯方法中，这些限制可以放宽。

然而，由于本文将直接比较贝叶斯估计和最大似然估计，因此此处保留了限制条件。在“磨合”期间，采用了Chen等人（2017）提出的“划时代”方法。对于磨合期的初始“纪元”，对每个参数块使用Metropolis算法（Metropolis et al.，1953），该算法采用3个高斯建议分布与随机游走平均向量的混合。每个混合元素中每个块的建议方差协方差矩阵为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01，∑初始设置为2.38√（di）Idi，其中dii是参数块（i）的维数，dii是维数di的单位矩阵。随后对该协方差矩阵进行了调整，目标是使tar的接受率达到23.4%（如果di>4，则为35%），如果di>2≤ di公司≤ 4，如果di=1，则为44%），作为标准，通过Roberts等人（1997）的算法。为了增强链的收敛性，在第一个历元结束时，例如20000次迭代，在丢弃（比如）前2000次迭代后，计算每个参数块的协方差矩阵。然后在下一个历元（20000次迭代）的概率分布中使用协方差矩阵。在每个历元之后，计算该历元中每个参数链的标准偏差，并与前一历元的标准偏差进行比较。如果标准偏差的平均绝对百分比变化低于预先规定的阈值，例如10%，则继续此过程。在实证研究中，平均需要3-4个时期才能观察到这种绝对百分比变化达到低于10%；因此，链作为一个磨合期总共运行60000–80000次迭代。最后运行一个epoch，比如10000次迭代，使用“独立”的Metropolis Hastings算法，每个块混合使用三个高斯建议分布。

将每个块的平均向量设置为磨合期内最后一次ep och迭代（丢弃前2000次迭代后）的样本平均向量。每个元素中的建议方差协方差矩阵为Ci∑，其中c=1；C=100；C=0.01，∑是该区块在老化期内最后一种环氧化合物的样本协方差矩阵（在丢弃前2000次迭代后）。然后，使用所有独立的Metropo-lis-Hasting（IMH）迭代（在丢弃2000次迭代后）计算预测的总风险，并将其后验平均值用作最终预测。Gelman-Rubin诊断（G elman et al.，2014）用于诊断自适应MCMC方法的收敛性。此外，还结合了有效的样本量测量来评估MCMC链的效率（Gelman等人，201 4）。为了节省空间，我们在本文中不详细介绍这些效率结果。一般来说，在不同的块设置下，每个参数的Gelman-Rubin统计量都非常接近1（例如<1.1），这表明使用adaptiveMCMC的每个参数都有足够的收敛性。通过更仔细地检查链间和链内方差，我们观察到每个参数的链内方差都很小，这导致了接近1的GelmanRubin统计量，并显示出良好的收敛性。此外，所有参数的有效样本量远大于Gelman等人（2014）提出的基准，这也突出了自适应MCMC算法的效率。在附录A中，针对已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）类型模型，进行了一项模拟研究，以比较贝叶斯方法和ML在参数估计、一步超前VaR和ES预测准确性方面的特性和性能。

结果证明了采用MCMC估计的优点。5数据和实证研究5.1已实现测度在拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型中纳入了各种已实现测度，包括已实现方差（RV）和已实现范围（RR）。为了减少已实现测量的微观结构噪声的影响，Martens和vanDijk（2007）提出了一种缩放过程，其灵感来自这样一个事实，即与高频对应物相比，每日平方返回和范围受微观结构噪声的影响较小。因此，该过程可用于smoo th和缩放RV和RR，从而创建较小的微观结构敏感措施。此外，Zhang等人（2005年）提出了一个次级抽样过程，以处理微观结构对已实现方差的影响（SSRV）。次抽样过程适用于R Rin Gerla ch和Wang（2020b）。在Gerlachand Wang（2020b）的三种场景下，通过模拟评估了次采样RR与其他已实现度量的特性。App endix B中给出了所采用的实现措施的详细信息。在拟议的框架中，还采用并测试了标度RV（ScRV）、标度RR（ScRR）、亚采样RV（SSRV）和亚采样DRR（SSRV）。例如，Realized ES CAViaR Add RV表示使用RV的Realized ES CAViaR Add框架，Realized ES CAVia R-Mult-RR表示使用RR的Realized ES CAViaR Mult框架。Realized ES SSRR-CAViaR SSRR代表使用SSRR的Realized-ES-X-CAVia RX框架。5.2数据说明2000年1月至2016年6月期间，以1分钟和5分钟为频率的每日和高频数据，包括开盘价、高价、低价和收盘价，可从汤森路透交易记录（TRTH）下载。

收集了七个市场指数的数据：标准普尔500指数、纳斯达克指数（均为美国）、恒生指数（香港）、富时100指数（英国）、DAX指数（德国）、SMI指数（瑞士）和ASX200指数（澳大利亚）；此外，道琼斯指数的七项个人资产包括：卡特彼勒公司（CAT）、可口可乐公司卡夫食品公司（KO）、通用电气公司（GE）、IBM（International BusinessMachines）、摩根大通公司（JPMorgan Chase&Company）、MMM公司（3M Company）和埃克森美孚公司（XOM）。每日价格数据用于计算每日收益率、每日范围和每日范围加上隔夜价格上涨。此外，5分钟的价格用于计算每日RV、RR、标度RV和标度RR测量值，而5分钟和1分钟的数据用于产生每日次抽样RV和RR测量值，如附录B所示；q=66用于缩放过程，约为3个月的每日数据。图1显示了每日回报绝对值的时间序列图，√RV和√标准普尔500的RR。从图表上看，绝对收益率是一个有噪声的波动率估值器，而两者√RV和√RR是噪声较小且更有效的估计器。因此，合并√RV和√已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型中的RR可能会提高VaRand ES估计和预测精度。2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 20160.020.040.060.080.10.12标准普尔500指数绝对收益率，√RV和√RR图。5.3尾部风险预测在分位数水平α=1%、2.5%的情况下，对14个收益序列的每日VaR和ES预测进行了提前估计。采用固定样本数据量（n）的滚动窗口进行估计，以在预测期内对每个系列的VaR和ES进行α=2.5%、1%的预测。不同数据集的样本内大小n和样本外大小m可能略有不同，例如，由于阅读天数不同。

表1给出了指数和资产上的样本大小n和ecast样本大小m的平均值。为了评估全球金融危机（GFC）期间的模型绩效，预测期从2008年初开始。平均而言，为每个收益系列f r om51模型生成了约为2110个提前一步的VaR和ES预测。这些模型包括拟议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型，具有不同的容量输入度量：RV&RR、缩放RV&RR和亚采样RV&RR。还包括采用相同实现度量的参数实现GARCH，以进行比较，并测试高斯（实现GARCH GG）和Student-t（实现GARCH tG）返回误差。还包括具有对称绝对值和不对称斜率规格的ES-CAViaR Taylor模型（2019），以及CARE-SAV模型（Taylor，2008）。本文还评估了采用相同realizedmeasures的CARE-AS-X framewo r k（Gerlach et al.，2017）。

此外，还测试了CARE-AS-X框架，该框架包含每日高-低范围和范围，包括隔夜价格上涨（定义见附录B中的方程式（17）和（18））。此外，其他竞争模型包括：传统GARCH（Bollerslev，1986）、EGARCH（Nelson，1991）和GJR-GARCH（Glosten等人，1993），以及学生错误；GARCH采用Hansen的偏态t分布（Hansen，1994），三种过滤历史模拟（GARCH-HS）类型模型，分别采用GARCHt、EGARCH-t和GJR-GARCH-t作为波动过程。已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）和ES鱼子酱模型使用自适应MCMC进行估计，其余模型使用Matlab中的计量经济学工具箱（G ARCH-t、EGARCH-t、GJR-GARCH-t）或作者开发的代码（GARCH-t-HS、EGARCH-t-HS、GJR-GARCH-t-HS、GARCH-SKEK-t、CARE-SAV、CARE-AS-X和已实现的GARCH）通过MLE进行估计。5.3.1风险价值采用VaR违约率（VRate）初步评估VaR预测准确性。VRate只是预测期内超过预测VaR的回报比例，如（12）所示。首选VRate最接近标称分位数水平α=1%、2.5%的模型。VRate=mn+mXt=n+1I（rt<VaRt），（12），其中n是样本内尺寸，m是样本外尺寸。此外，还使用标准分位数损失函数来比较模型的VaR预测精度：最准确的VaR预测应使分位数损失函数最小化，如下所示：mn+mXt=n+1（α- I（rt<Qt））（rt- Qt），（13），其中Qn+1，Qn+mis一系列分位数预测t水平α，用于观测rn+1，rn+m。