半参数实现的联合风险价值和预期短缺

该定量损失函数由样本外大小m平均，因此不同数据集的预测结果具有可比性。表1总结了51款车型中每款车型在7项指标和7项资产中2.5%和1%分位数的VRATE。“MAD”列显示了七个指数和七个资产的平均绝对偏差，分别采用1%或2.5%作为目标VRate。“排名”列是七项指标和七项资产的排名平均值，基于每个VRate从1%到r2.5%的偏差的绝对值。根据这些度量，框表示最佳模型，而虚线框表示第二个最佳模型，蓝色底纹表示第三个最佳模型。在所有实证结果中，采用了相同的突出显示规则。水平线用于区分有无已实现测量的模型。此外，我们将相似类型的模型放在彼此相近的位置，即GARCH型、CARE型、ES CAViaRtype等，以明确表示和比较。总的来说，表1显示，与竞争模型相比，拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型产生了具有竞争力的VRATE，并且其性能明显优于已实现的GARCH类型模型。根据各指数或资产的MAD或（2.5%或1%）VRates排名，除了1%指数研究外，至少有一个拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型被列为3个最佳模型之一。然而，可以看出，对于不同分位数水平的指数和资产，没有实现度量的模型，如GARCHtype模型、ES CAViaR as模型和CARE-as模型，可以产生非常好的VRATE结果。

现在，我们将这些模型与我们提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型进行更详细的比较，以利用分位数损失提高经济效率，并提供证据说明为什么在VaR预测中首选已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型。表2显示了每个模型的VaR预测的平均数量损失，指数和资产在单独的列中。更好的模型具有更低的分位数损失。此外，还包括平均等级，该等级基于51个模型中七个指数和七项资产的分位数损失等级。结果清楚地表明，所提出的实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型和实现GARCH-tG-ssrv模型在总体上排名更好，损失更低。特别是，首选带有SSRV和SSRR的理想ES（-X）-鱼子酱（-X）模型。最后，具有精确VRATE的模型（即GARCH型模型）的分位数损失明显高于拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型。图2和图3提供了进一步的证据，说明为什么与那些也产生接近标称1%的VRATE的模型相比，propo-sed实现的ES鱼子酱模型产生的分位数损失明显更低。具体而言，对于标准普尔500指数回报，GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaR SAV Mult和Realized ES CAViaR Mult RR模型的VRATE分别为1.041%、1.278%和1.088%：这三种模型的表现相当接近，GJR-GARCH-t-HS排名最佳。然而，它们的QuantileLoss为0。0370、0.0387和0.0347，支持实现的ES CAViaR MultRR模型。通过仔细检查图3，可以清楚地看出，与实现的ES鱼子酱多RR相比，ES鱼子酱SAVMult和GJR-GARCH-t-HS在第一天产生的Va R预测水平明显更极端（在负方向）。

这意味着，根据上述预测，金融机构为弥补极端损失而预留的资本在GJR-GARCH-t-HS或ES CAViaR-SAV多模型中的水平高于已实现的ES CAViaR多RR模型。换言之，已实现的ES CAVia R-Mult-RR模型产生的VaR预测相对准确，损失较低，表明在巴塞尔协议框架内，需要较低的资本额来防范市场风险，同时产生适当的违约率。对于标准普尔500指数的2113个预测日，已实现的ES CAViaR Mult RR预测的极端程度低于ESCAViaR SAV Mult 1397天的预测（66.2%）。这表明，与ES CAViaR SAV Mult和GJR-GARCH-t-HS模型相比，实现的ES CAViaR Mult RR模型在风险水平方面具有更高的信息（和成本）效率，这可能是由于平方收益范围序列的统计效率提高所致。由于经济资本由金融机构自身的模型决定，并应与VaR预测成正比，因此，Realized-ES-CAViaR-Mult-R R模型可以通过将部分监管资本l从风险覆盖中解放出来，用于投资，从而减少成本资本分配，提高这些机构的可盈利性，同时将提供足够的保护，防止违规行为。

已实现的ES CAViaR MultRR得出的更准确且通常不太极端的VaR预测对金融部门的决策者具有特别重要的战略意义。与本研究中的其他市场/资产相比，拟议的已实现ES-CAViaR-Add和已实现ES-X-CAViaR-X模型也经常观察到这种额外的效率。此外，在高波动期间，包括GFC，当极端回报持续存在时，已实现的ES CAViaR Mult RR VaR预测“恢复”了3个模型中最快的，如图3所示，在生成再次加入并跟随回报序列尾部的预测方面，速度最快。正如Harvey和Chakravarty（2009）所讨论的那样，传统的GARCH模型往往对极端事件反应过度，随后恢复非常缓慢，因为它们经常被估计为非常高的持续性水平。已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型明显改善了这方面的性能。通常，与传统的ARCH和原始ES鱼子酱模型相比，已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型更能描述波动性和尾部区域的动态，从而大大提高了风险水平预测的响应性和准确性，尤其是在高波动期之后。2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016-20-15-10-5S&P 500 ReturnGJR-GARCH-t-HSES-CAViaR-SAV-MultRealized-ES-CAViaR-Mult-RR图2：标准普尔500 VaR预测与GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaR SAV Mult和ES CAViaR Mult RR。VRates：1.041%、1.278%和1.088%。分位数损失：0.0370、0.0387和0.0347。2011年7月2012年1月2012年7月2013年1月2013年7月2014年7月2014-10-8-6-4-2S&P 500 ReturnGJR-GARCH-t-HSES-CAViaR-SAV-MultRealized-ES-CAViaR-Mult-RR图3:GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaRSAV Mult和实现ES CAViaR Mult RR的标准普尔500 VaR预测（放大）。

VRates：1.041%、1.278%和1.088%。分位数损失：0.0370、0.0387和0.0347。由于VRate接近预期水平是保证准确预测模型的必要条件，但并非有效条件，因此还采用了几个分位数精度和独立性测试。这些测试包括：Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）分别进行的无条件覆盖（UC）和条件覆盖（CC）测试，以及Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ使用滞后分别等于1和4）测试和Gaglianone等人（2011）的VQR测试。表3显示了指数或资产系列的总数（分别为七个），其中2.5%或1%的VaR预测模型均被拒绝，在5%的显著水平上进行。总的来说，与其他模型相比，已实现的ES鱼子酱模型一般不太可能受到背部测试的影响。大多数已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型在每一列中排名前三。

第三部分，指数结果清楚地表明，与已实现的GARCH型模型相比，已实现的ES（-X）-CAViaR（-X）型模型被拒绝的可能性较小。5.3.2预期空头在预测期内，使用同一组51个模型对所有14个系列的1%和2.5%ES进行一步预测。为了评估ES预测，纳入了几个正式的后验测试，包括VA R＆ES联合损失（Fissler和Zeigel，2016；Taylor，2017）、ES回归后验测试（Bayerand Dimitriadis，2018）和模型置信集（MCS）后验测试（Hansen et al.，2011）。5.3.3 Taylor（2019）在第2.1节中讨论的VaR&ES联合损失函数表明，对于联合考虑的QT和EST，似然函数（10）的负对数是严格一致的，并且属于Fissler和Zeigel（2016）开发的VaR和ES的严格一致联合函数类别。方程（1-4）中的损失函数也称为AL log score inTaylor（201-9）。我们使用平均j点损失S=mPn+mt=n+1Stto正式和联合评估，并比较所有模型的VaR和ES预测。St（rt，V aRt，ESt）=-日志α - 1测试-（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt）αESt，（14）表4显示了预测期内的平均联合损失S，分别针对指数和资产。还包括基于每个模型的jo int VaR和损失s在指数和资产中的排名的平均排名。一般来说，在这一措施下，使用已实现的ES（-X）CAViaR（-X）框架的优势得到了明确的证明。就指数而言，按平均损失或平均排名，排名前三的模型均来自已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）家族。就资产而言，已实现的GARCH tG SSRV具有良好的性能，在两个数量级别上都是排名前3的模型，而最优秀的模型都来自已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）。

同样，使用SSRVand SSRV的已实现ES（-X）-CAVia R（-X）尤其优选关节损失值低且等级好的。此外，拜耳和Dimitriadis（2018）提出了一种基于回归的后验预测：它对ES预测和收益的截距项进行回归，并测试截距和斜率的系数是否分别为（0,1），并在5%的显著水平上进行。表5给出了该回溯测试的结果，显示了7个指数和7个资产的每个测试中每个模型的拒绝计数。可以看出，除了RealizedGARCH GG模型之外，该测试的功耗明显较低，产生的拒绝率也很低，该模型是唯一使用高斯条件回报分布的参数框架。然而，一般来说，与其他模型相比，拟议实现的ES（-X）-CaViaR-X类模型被测试拒绝的可能性仍然较小（或同等）。为了进一步证明，通过使用拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型，可以提高额外的预测效率，图4显示了CARE、ES CAViaR-AR和已实现ES SSRRCAViaR SSR R R模型对S&P500的ES预测（放大）。这三种模型的VaR和ES联合Los分别为2.2890、2.2716和2.1191。图4显示了从RealizedES（-X）-CAViaR（-X）模型中获得的成本效率收益与VA R预测中的模式相似，甚至更清晰。CARE模型在预测期内1687天（79.8%）生成的ES预测比实际的ES SSRR CAVia R-SSRR模型更极端。此外，ES CAViaR AS Add模型比在1363天内实现ES SSRRCAViaR SSR R更极端（64.5%）。因此，与CARE和ES CAViaRAS Add相比，采用子采样实现范围的实现-ES-X-CAViaR-X明显提高了预测效率。

同样，对于具有其他资产回报序列的已实现ES（-X）鱼子酱（-X）模型，也经常观察到这种额外的效率。2011年1月-2011年7月-2012年1月-2012年7月-2013年1月-2013年7月-2014年7月-2014年12-10-8-6-4-2S&P 500 ReturnCAREES CAViaR AS AddRealized ES SSRR CAViaR SSRRFigure 4:S&P 500 ES Forecast（Zomed in）with CARE，ES CAViaR AS Adds and Realized ES SSRR CAVia R-SSRR。VaR和ES联合损失：2.2890、2.2716和2.1191.5.3.4模型置信度集Hansen et al.（2011）引入的MCS可以通过损失函数对一组预测模型进行统计比较。应用MCS进一步比较了27个预测模型。MCS是一组模型，其构造使其包含具有更高置信度的最佳模型，在本文中选择为90%。MCS测试的Matlab代码从“www.kevinsheppard.com/MFEToolbox”下载，适用于合并VaR和ES联合损失函数（14）。theMCS中使用了两种方法R和SQ来计算测试统计量。具体而言，R方法在计算中使用求和的a B绝对值，而SQ使用求和的平方；inHansen等人（2011年，第465页）提供了更多详细信息。在表6中，每列统计了一个模型包含在90%MCS中的系列数，包括七个指数和七个资产，以及1%和2.5%的量化水平。框表示最佳模型，虚线框表示第二个最佳模型，蓝色阴影表示第三个最佳模型。综上所述，与其他模型相比，拟议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型更多或同等可能包含在MCS中。

表现最好的模型是利用SSRV和SSRR实现的ES（-X）-鱼子酱（-X），这两种模型在资产和指数以及1%和2.5%的水平上被纳入主题分类系统至少6次。关于指数的性能，所提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型明显优于其他具有已实现度量的模型，如CARE as X和已实现GARCH。关于资产的绩效，拟议的RealizedES（-X）-CAViaR（-X）模型、CARE-AS-X和Realized GARCH的绩效结果相近，其中大多数模型在不同的列中被排除在MCS之外。总的来说，当预测14个财务收益序列中1%和2.5%的VaR和ES时，通过预测准确性和模型比较的多个度量和测试，建议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型的性能，尤其是采用次抽样RV和次抽样RR的模型，通常非常有利。6结论在本文中，我们首先提出了一种新的半参数实现条件自回归函数，称为实现鱼子酱。我们表明，在VaR估计和预测方面，所提出的已实现鱼子酱包括作为特例的已实现GARCH。其次，通过合并名为Realized ES（-X）-CAViaR（-X）的各种EScomponents，扩展了已实现的CAViaR框架。通过合并日内和高频波动率度量，在一系列竞争模型上观察到尾风险度量的样本外预测的改进。具体而言，在对14个财务回报序列的实证研究中，采用SSRV和SSRR的Realizedes（-X）-鱼子酱（-X）模型生成了最理想的Varandes预测。就VaR和ES预测的回溯测试而言，已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型也通常不太可能被拒绝。

此外，模型密度集结果也验证了拟议的已实现ES（-X）-CAVia R（-X）框架。除了更加准确外，已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型通常会生成更少的尾部风险预测，从而允许金融机构留出少量的监管资本，以防范市场波动。综上所述，拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型，尤其是使用次抽样RV和次抽样RR的模型，应考虑用于尾部风险预测的金融应用，因为它们允许金融机构根据巴塞尔资本协议更准确地分配资本，以保护其投资免受极端市场波动的影响。