半参数实现的联合风险价值和预期短缺

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英文标题：
《A Semi-parametric Realized Joint Value-at-Risk and Expected Shortfall
  Regression Framework》
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作者：
Chao Wang, Richard Gerlach, Qian Chen
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  A new realized conditional autoregressive Value-at-Risk (VaR) framework is proposed, through incorporating a measurement equation into the original quantile regression model. The framework is further extended by employing various Expected Shortfall (ES) components, to jointly estimate and forecast VaR and ES. The measurement equation models the contemporaneous dependence between the realized measure (i.e., Realized Variance and Realized Range) and the latent conditional ES. An adaptive Bayesian Markov Chain Monte Carlo method is employed for estimation and forecasting, the properties of which are assessed and compared with maximum likelihood through a simulation study. In a comprehensive forecasting study on 1% and 2.5 % quantile levels, the proposed models are compared to a range of parametric, non-parametric and semi-parametric models, based on 7 market indices and 7 individual assets. One-day-ahead VaR and ES forecasting results favor the proposed models, especially when incorporating the sub-sampled Realized Variance and the sub-sampled Realized Range in the model.
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中文摘要：
通过在原始分位数回归模型中加入度量方程，提出了一种新的实现条件自回归风险值（VaR）框架。该框架通过采用各种预期缺口（ES）组件进一步扩展，以联合估计和预测VaR和ES。测量方程建模了已实现测量（即已实现方差和已实现范围）与潜在条件ES之间的同期相关性。采用自适应贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法进行估计和预测，并通过仿真研究对其性能进行了评估，并与最大似然法进行了比较。在1%和2.5%分位数水平的综合预测研究中，基于7个市场指数和7个单项资产，将拟议模型与一系列参数、非参数和半参数模型进行了比较。提前一天的VaR和ES预测结果有利于所提出的模型，尤其是在模型中加入次抽样实现方差和次抽样实现范围时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_Semi-parametric_Realized_Joint_Value-at-Risk_and_Expected_Shortfall_Regression.pdf (910.12 KB)

2022-6-10 06:21:59 上传

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关键词：风险价值 半参数 Applications Quantitative Econophysics

一个半参数实现的联合风险值和预期短缺回归框架深圳科技大学悉尼商学院商业分析专业王超、理查德·格拉赫、钱晨摘要提出了一个新的实现条件自回归风险值（VaR）框架，通过将测量方程合并到原始量化回归模型中。该框架通过采用各种预期缺口（ES）组件进一步扩展，以联合估计和预测VaR和ES。测量方程对实际测量值（即已实现方差和已实现方差）与潜在条件ES之间的同期相关性进行建模。采用自适应贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法进行估计和预测，通过仿真研究，对其性质进行了评估，并与最大似然法进行了比较。在1%和2.5%分位数水平的综合预测研究中，基于7个市场指数和7个单项资产，将提出的模型与一系列参数、非参数和s-emi参数模型进行了比较。提前一天的VaR和ES预测结果有利于所提出的模型，尤其是当在模型中加入次抽样实现方差和次抽样实现范围时。关键词：分位数回归、已实现测度、马尔可夫链蒙特卡罗、风险价值、预期短缺。1简介自J.P.Morgan于1993年9月19日将其引入风险度量模型以来，世界各地的金融机构和公司已广泛采用价值风险（VaR）度量，以协助其在资本配置和风险管理方面的决策。

Va R是衡量和控制金融风险的量化工具，将市场风险表示为一个数字，并已成为资本配置和风险管理的标准衡量标准。让它成为时间t和ft（r）=P r（rt）时可用的信息≤ r | It-1） 是其上return rtcondition的累积分布函数（CD F）-1、我们假设在实线上严格递增且连续R. 在此假设下，时间t的一步α水平值-at-R isk可定义为：Qt=F-1t（α）0<α<1。然而，Va R一直受到批评，因为它无法衡量违规的预期损失，并且在数学上不一致，因为它有利于非分散。Artzner et al.（1997、1999）提出的预期Shor-tfall（ES）给出了预期损失，前提是回报率超过VaR阈值，是一个一致性度量；因此，近年来，它已被更广泛地用于尾部风险度量，目前受到巴塞尔银行监管委员会的青睐。在上述相同的框架内，可以显示提前一步的α水平预期短缺（参见Acerbi和Tasche，2002等）等于rt的尾部条件预期：ESt=E（rt | rt≤ Qt，It-1).2019年实施的《巴塞尔协议III》将新的重点放在了ES上。2019年文件《市场风险最低资本要求》中阐述了其对市场风险管理的建议，其中指出：“全行内部模型必须每天计算ES，以确定市场风险资本要求。对于使用内部模型法（IMA）的每个交易台，也必须每天计算ES。”；“在计算ES时，银行必须使用97.5%的单尾置信水平”（巴塞尔银行监管委员会201 9，第89页）。

因此，在本文的实证应用中，我们侧重于2.5%分位数水平上的单步骤a头尾风险预测。为了研究尾部r ISK模型的性能，我们还测试了更极端的1%分位数水平。波动性估计和预测在形成准确的VaR或ESPredictions方面起着关键作用。自从Engle（1982）的自回归条件异方差（ARCH）模型和Bollerslev（198 6）的广义（G）ARCH模型引入以来，两者都将平方收益作为模型输入，许多不同的波动率度量和模型已经开发出来。Parkinson（1980）和Garman and Klass（1980）提出，dailyhigh–low区间是比每日平方收益更有效的波动率估计器。高频日内数据的可用性产生了几种流行且有效的测量方法，包括实现方差（RV）（Andersen and Bollerslev，1998，Andersen et al.2003）和实现范围（RR）（Martens and van Dijk，2007；Christensenand Podo lskij，2007）。为了处理众所周知的固有微观结构噪声和高频波动性测量，Zhang et al.（200 5）和Martens and van Dijk（2007）分别设计了子采样和缩放过程，旨在提供更平滑和更有效的实现测量。Hansen等人（2012年）通过提出已实现的GARCH，扩展了准度量GARCH模型框架，增加了一个测量方程，同时将观测到的波动率与已实现的测量联系起来。Gerlach和Wang（2016）通过采用RR作为已实现测度对已实现GARCH模型进行了扩展，并说明与传统GARCH和RealizedGARCH模型相比，所提出的已实现GARCH RR fr模型可以生成更准确、更有效的可用性以及VaR和ES预测。

Hansen和Huang（2016）最近扩展了parametricRealized GARCH框架，以包括多个已实现的度量。参数波动率模型的尾部风险预测性能在很大程度上取决于误差分布的选择。Engle和Manganelli（2004）提出的非参数条件自回归VaR（CAViaR）模型可以直接估计分位数（VaR），无需收益分布假设。Gerlach et al.（2011）在半参数框架下将鱼子酱模型推广到一个完全非线性的族，并将非对称拉普拉斯（al）分布用于似然构造。然而，鱼子酱型模型不能直接估计ES。Taylor（2019）提出了一种直接估计VaR和ES的联合半参数模型，这里称为ES鱼子酱模型。通过将AL分布与时间尺度相结合，可以建立可能性，以便在此框架中联合估计条件变量和条件ES。Fissler和Ziegel（20 16）为相关VaR和ES系列开发了一系列jo intloss函数（或“评分规则”），这些函数与真实VaR和ES系列严格一致，也就是说，它们被真实VaR和ES系列唯一最小化。应用Fissler和Ziegel（2016）的连接损失函数的特定函数选择，可以证明这种损失函数与Taylor（2019）提出的对数似然函数的负值完全相同。Patton等人（2019年）通过采用广义累积分数（GAS）框架（Creal等人，201 3；Harvey，2013），并利用Fissler和Ziegel（2016）中的损失函数，提出了VaR和ES的新动力学模型。

Gerlach和Wang（2 020a）扩展了theES-CAViaR模型，将已实现的度量作为外生变量，以提高VaR和ES预测精度。本文的主要贡献如下。首先，我们提出了一个新的非参数实现的条件自回归VaR框架（realized CAViaR）。我们表明，就VaR估计和预测而言，所提出的已实现鱼子酱将已实现GARCH作为一个特例。其次，在Hansen et al.（2012）、Taylor（2019）和Gerlachand Wang（2020a）的推动下，他认识到鱼子酱框架通过合并各种ES组件进行了扩展，以便联合估计和预测VaR和ES。这个新的框架被称为已实现的ES CAViaR，其中包括一个测量方程，用于建模已实现的测量与最近的ES系列之间的依赖关系。此外，还采用了缩放和亚采样实现措施，以解决微结构噪声和潜在效率问题。此外，采用自适应贝叶斯MCMC算法对提出的模型进行估计，扩展了Gerlach和Wang（2016）的算法。在实证研究中，通过var和预测性能，评估了采用各种已实现度量作为输入的已实现鱼子酱模型。在2008年至2016年的预测期内，实证结果表明，已实现ES鱼子酱模型的表现优于现有ES鱼子酱模型和一系列竞争模型和方法，如标准GARCH、已实现GARCH模型和条件自回归期望值（CARE）（Taylor，2008）。本文的组织结构如下。第2节brie Fly回顾了现有的ES鱼子酱和Realized-G ARCH模型。第3节提出了已实现的CAViaR和已实现的ESCAViaR类模型。第4节介绍了用于参数估计的相关似然和自适应贝叶斯McMcMcCal算法。

第5节回顾了员工实现的措施，并给出了预测研究和回溯测试结果。第6节总结了本文并讨论了未来的工作。2 ES-CAVIAR和REALIZED-GARCH模型2.1 ES CAViaRKoenker和Machado（1999）注意到，当假设数据与分位数处的模式有条件相关时，通常的分位数回归估计量等效于最大似然估计量，也就是说，如果RTI是第t天和第r天的返回数据（rt<Qt | It-1） =α然后可以使用基于：p（rt | It）的alikelihood估计QT模型中的参数-1) =α(1 - α） σtexp-（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））σt,对于t=1，其中σ是比例参数。Taylor（2019）扩展了这一结果，将相关ES量纳入条件密度。通过注意esta和动态σt之间的联系，扩展到允许异方差的条件密度函数变成：p（rt | It-1) =(α - 1） EStexp（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））αESt, （1） 允许建立一个似然函数，给定QT和Est的模型表达式和零平均回报。

Taylor（2019）指出，结果似然函数的负对数与联合考虑的QT和EST严格一致，也就是说，它属于Fisslerand Zeigel（2016）开发的VaR和ES的严格一致联合函数类。Taylor（2019）针对VaR-andES之间的动力学提出了两种不同的公式，这也避免了ES估计值与相应的VaR估计值交叉，如（2）（ES鱼子酱添加：ES鱼子酱添加到ES组分的VaR中）和（3）（ES鱼子酱添加：ES鱼子酱添加到ES组分的VaR中）所示：Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（2）ESt=Qt- 重量，重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1如果rt-1.≤ Qt-1.wt公司-1另一方面，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0以确保VaR和ES估计值不交叉。Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（3）ESt=（1+exp（γ））Qt，其中γ是无约束的。2.2已实现GARCH已实现GARCH框架是Hansen等人（2012）提出的，他们在模型中使用已实现变量和已实现核作为已实现度量。与传统的GARCH模型相比，已实现GARCH引入了一个度量方程，该方程捕获了未观察到的波动率与已实现度量之间的同期关系。例如，Hansen等人（2012）、Wata na be（201 2）、Gerlach和Wang（201 6）的研究表明，与GARCH和GARCH-X相比，已实现的GARCH具有优越性。计量方程的主要优点是，可以将更多关于潜在波动性的信息纳入可能性中。此外，还考虑了正回报和负回报冲击对波动性的不对称影响。实现的绝对值GARCH（Abs实现的GARCH）规格可以写为：Abs实现的GARCHRT=σtzt，（4）σt=β+βXt-1+βσt-1，Xt=ξ+Дσt+τzt+τ（zt- 1） +ut，其中XT是波动率σt标度的实际度量，即实际方差的平方根。

第三个方程称为测量方程。这里是zti。i、 d。~ D（0，1）和UTI。i、 d。~ Hansen等人（2012）选择D（0，σu）和D作为高斯分布。3提出的模型3.1实现的鱼子酱模型在Abs实现的GARCH框架中，返回误差分布为高斯分布，wehave Qt=Φ-1（α）σt，其中Φ-1（α）是标准高斯逆cdf。因此，为了将Abs实现的GARCH框架推广到任何常数条件返回分布，我们将Qt=aασt，其中aα是常数比例因子，等于给定分布的逆CDF。将σt=Qtaα代入Abs实现的GARCHframework（4）中，去掉返回方程，提出非参数实现鱼子酱框架：实现鱼子酱：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（5）Xt=ξ+ДQt+τt+τ（t- E（））+超声波探伤。就VaR估计和预测而言，已实现鱼子酱以非参数方式将AbsRealized GARCH框架（4）作为特例包括在内，注意到回报率没有参数分布假设。测量方程中的乘法误差t=rtqt用于捕捉众所周知的杠杆效应，这将在下一节中详细讨论。3.2已实现的ES鱼子酱模型拟议的已实现鱼子酱框架（5）无法直接估计和预测ES，因此在本节中，我们进一步将已实现鱼子酱扩展到联合已实现VaR和ES回归框架，该框架可以同时估计和预测va R和ES。给定任何均值为零的常数条件收益分布：Qt=aασt；ESt=bασt，EStQt=bαaα=cα（即常数），其中aα、bα和cα≥ 1是取决于分布的常数比例因子。在ES CAViaR Mult框架（3）中，Taylor（201 9）使用cα=（1+exp（γ））。

在选择cα之后，我们进一步将已实现的鱼子酱框架扩展到可联合估计和预测VaR和ES的RealizedES CAViaR-Mult。通过将潜在ES与已实现的测量联系起来，更新测量方程：已实现ES鱼子酱Mult:Qt=β+βXt-1+βQt-1，（6）ESt=（1+exp（γ））Qt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+超声波探伤。此外，根据ES CAViaR Add框架（2），建议实现的ES CAViaRAdd框架为：实现的ES CAViaR Add：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（7）重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1，rt-1.≤ Qt-1.wt公司-1，否则，ESt=Qt- wt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+ut，其中XT表示波动率尺度上的已实现度量。除了模型中的ES成分外，（6）和（7）中的方程是：分位数方程（Qt）和测量方程（Xt）。Contino和Gerlach（2017）考虑了测量方程误差ut的不同分布，即Student-t。他们发现，这种分布的变化对模型的性能没有实际影响。因此，在我们的论文中，我们使用uti。i、 d。~ N（0，σu）。测量方程中的乘性误差t=rtqt用于捕捉众所周知的杠杆效应。如第3.1节所述，在参数设置中，我们有Qt=aασt，其中aα是常数比例因子，等于给定回报分布zt的逆CDF。因此，E（t）=ErtQt= Ertaασt= Eσtztaασt= Eztaα=E（zt）aα=0。此外，为了保持零平均不对称项- E（）），我们需要知道E（）=ErtQt.已实现的ES鱼子酱模型不包含此二阶矩信息。相反，通过E（）提出了经验估计≈\'，是平方乘法误差的样本平均值，因此E（t-“）=0被保留（因为“”是无偏的）。因此，术语τt+τ（t-“（）仍然会在数量序列中产生不对称响应，以返回冲击。