风险厌恶型投资者在市场冲击博弈中的纳什均衡

使用我们的假设θ=θ*=n-1，我们明白了γ，θ+（n- 1） eΓ]νi=Γγ，0i0ν+∞Xj=1Γγ，0ijνj+[2θδi0+（n- 1） eΓi0]ν+∞Xj=1[2θδij+（n- 1） eΓij]νj=e-ρiν+∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj+（n- 1） e类-ρiν+（n- 1） iXj=1e-ρ（i-j） e类-αj=ne-ρiν+∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj+（n- 1） e类-ρiiXj=1e-(α-ρ） j.扩大中心术语，∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj=iXj=1[e-ρ（i-j） +γσj]e-αj+∞Xj=i+1[e-ρ（j-i） +γσi]e-αj=e-ρiiXj=1e-(α-ρ） j+γσiXj=1je-αj+eρi∞Xj=i+1e-（α+ρ）j+γσi∞Xj=i+1e-αj.因此，γ，θ+（n- 1） eΓ]νi=ne-ρiν+ne-ρiiXj=1e-(α-ρ） j+eρi∞Xj=i+1e-（α+ρ）j+γσiXj=1je-αj+γσi∞Xj=i+1e-αj=ne-ρiν+nhe-ρi- e-αie（α-ρ)- 1i+e-αie（α+ρ）- 1+ (1 - e-αi）γσe-α(1 - e-α） =东北-ρih1- e（α-ρ） +e（α-ρ)- 1i+e-αihe（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α） i+γσe-α(1 - e-α） =γσe-α(1 - e-α） ，其中我们使用了ν=1-e（α-ρ） 以及最后一步中的方程式（24）。这建立了（28）。现在我们可以定义v=>νν=eα-1+1-eα-ρν，在有限的时间范围内满足我们设定的（8）的等效值。现在让我们处理向量w。为此，我们采用引理3.5提供的β，并定义ω∈ `通过ωi=e-βi.然后[（Γγ，θ-eΓ）ω]i=（2θ+）e-βi+eρi∞Xj=i+1e-（β+ρ）j+γσiXj=0je-βj+γσi∞Xj=i+1e-βj=e-βih2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β） i+γσe-β(1 - e-β） =γσe-β(1 - e-β).因此，我们可以定义新=>ωω=eβ- 1eβω，在有限的时间范围内满足我们设定的（9）的等效值。最后，如果初始位置X，Xn公司∈ 给出R，我们定义ξ，ξnvia（16），则向前延伸，以验证一阶条件（19）是否与我们当前选择的V、w、γ、θ、andeΓ相一致。如（22）所示，这些公式得出ξ，ξn形成平均方差优化的纳什均衡。在定理2.4的证明中，我们得出结论，这也是卡拉效用最大化的纳什均衡。命题2.13的证明。

如果n=1且γ>0，我们希望找到一个满足（α+ρ）的α- 1.-e（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α)= 0.如果从（25）得出γσ2- 2 cosh（α）-sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）=0。通过重新排列方程，我们得到cosh（α）=γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）。由于ρ>0，我们有sinh（ρ）>0和cosh（ρ）>1，这意味着γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）>1。因此，我们可以求解α并得到α=cosh-1hγσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）i。此外，由于ρ>0，意味着γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）<cosh（ρ）和cosh-1（·）是一个增函数，我们有0<α<ρ。参考文献【1】A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。限制订单簿模型中的约束投资组合清算。巴纳赫中心出版物，83:9–252008。[2] A.阿方西、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格操纵和积极投资组合问题。暹罗J.金融数学。，3:511–533, 2012.[3] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5–392000。[4] D.P.Bertsekas。非线性规划。雅典娜科学优化与计算系列。雅典娜科学出版社，马萨诸塞州贝尔蒙特，第二版，1999年。[5] D.Bertsimas和A.Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1:1–501998。[6] M.K.Brunnermeier和L.H.Pedersen。掠夺性交易。《金融杂志》，60（4）：1825-18632005年8月。[7] B.I.Carlin、M.S.Lobo和S.Viswanathan。偶发性流动性危机：合作和掠夺性交易。《金融杂志》，65:2235–22742007。[8] R.Carmona。关于BSDE、随机控制和随机微分对策与金融应用的讲座，金融数学第一卷。工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，2016年。[9] R.A.Carmona和J.Yang。掠夺性交易：关于波动性和流动性的游戏。预印本，2011年。[10] P.Casgrain和S.Jaimungal。

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